Файл: Стандартизация и качество машин учеб. пособие.pdf

СТОСТЬЮ события А. Ясно, ЧТО O^/W i^ni или 0< т < 1, т. е час­

тость наступления события А всегда лежит в пределах от нуля (со­ бытие не наступило) до единицы (событие А наступило во всех « опытах).

Если продолжать испытания дальше, то из следующих /г2 опы­ тов событие А наступит «г2 раз и т. д. В результате будет получена некоторая серия относительных частот наступления события А:

Практика показывает, что при большом числе щ выполненных

испытаний отношения — мало отличаются друг от друга. Следо­

вательно, можно сделать вывод, что существует некоторая постоян­ ная величина, около которой колеблется случайная частость слу­ чайного события и к которой она приближается все ближе с уве­ личением числа испытаний. Эта величина называется вероятностью случайного события А и обозначается символом Р (Л).

На практике при большом числе наблюдений случайного собы­ тия его относительная частота считается равной вероятности, т. е.

Существует и так называемое классическое определение вероят­ ности случайного события:

вероятность случайного события А равна частному от деления числа элементарных событий q, благоприятствующих наступлению события А, на число всех возможных элементарных событий k.

что данная деталь окажется дефектной?

В данном примере под событием А понимается выбор дефектной детали. Если

выбор любой из 100 деталей. Это значит, что fe=100. Отсюда получаем:

(18)

Рассмотрим статистическое определение понятия «вероятность». Пусть в предыдущем примере из партии последовательно берут вы­ борки ni = 5, «2= 10, п3=50, «4=90 деталей и в каждом из них под­ считывают число дефектных деталей ти m2, т3, m/L, но после каж­ дого подсчета все детали возвращают в партию. Отношение

28

приближаться к некоторой постоянной величине, характеризующей действительное соотношение между дефектными и годными дета­ лями в партии. Это значит, что Wi стремится к вероятности случай­ ного события Af.

^ - > Р ( Л ;).

ты появления события А в п испытаниях /г-э-оо.

Это определение вероятности утверждается законом больших чисел: частость события в большой серии испытаний с вероят­ ностью, близкой к единице, как угодно мало отличается от вероят­

ности данного события.

Для расчета вероятностей события наиболее валены следующие

теоремы:

1) вероятность суммы нескольких событий равна сумме их ве­ роятностей

Р (Л! + Л2 4- • • • -I- Л„) = Р (ЛД + Р ( А 2) + ... + Р (Л„).

Если, например, вероятность выхода размера детали за верх­ нюю границу допуска P(Ai)=0,05, за нижнюю — -Р(Л2) =0,03, то вероятность события Л = Л 1+Л 2 (вероятность появления бракован­ ной детали) равна

Р (А = А, + Л2) = Р {AJ + Р (Л2) = 0,05 + 0,03 = 0,08;

2) вероятность совместного наступления нескольких независи­ мых событий равна произведению вероятностей наступления каж­ дого из этих событий:

Р( Аг ■Л, ... Л) = Р (Л 1) • Я(Л2) ... Р[А).

События называются независимыми, если вероятность любого из них не изменяется при наступлении других.

Пример 2. Имеется система, состоящая из четырех последовательно соединен­ ных элементов. Величины наработок каждого из них являются случайными и не­ зависимыми между собой. Найти вероятность безотказной работы системы Р(А), если вероятности безотказной работы каждого из элементов соответствен­

но равны

Р Ш = Р Ш = Р (Л3) = р (А.) = 0 , 9 0 ,

где Ai, А2, ASl А4— события, заключающиеся в том, что элементы работоспособны. Система будет работать безотказно до момента времени t, если до этого мо­

рассчитывать надежность машин и агрегатов по надежности их элементов.

29

Если по результатам испытания каждое событие характеризо­ вать не только фактом появления или непоявления события, но и некоторым числом, то приходим к понятию случайной величины. Следовательно, случайной величиной называется численная харак­ теристика некоторого случайного события. Например, случайными величинами будут: размер детали, срок службы конкретного трак­ тора до списания, количество бракованных изделий в выборке.

Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерыв­ ные.

Д и с к р е т н ы м и называются случайные величины, принимаю­ щие конечное счетное число различных значений, которые мож­ но пронумеровать. Например, количество дефектных изделий в вы­ борке, число отказов.

Н е п р е р ы в н ы м и называются такие случайные величины, которые могут принимать любое значение в данном интервале чис­ ловой оси. Например, вес детали — непрерывная случайная вели­ чина, так как с какой бы точностью ни взвешивали ее, всегда мож­ но указать сколько угодно чисел, уточняющих предыдущее значе­ ние; если взвешивание произвели с точностью до грамма, то можно взвесить с точностью до десятых, сотых, тысячных долей грамма и т. д. К непрерывным относятся такие величины, как наработка до отказа, время ремонта, мощность двигателя и др.

В силу ограниченности измерительных средств в большинстве практических случаев непрерывные величины представляются в виде дискретных.

Случайные величины обычно обозначают через X, понимая под этим символом все значения, которые может принимать случайная величина. Следовательно, для полного определения случайной ве­ личины необходимо знать не только диапазон изменения ее значе­ ний, но и как часто эти значения встречаются в большой серии опы­ тов, т. е. необходимо знать закон ее распределения.

З а к о н о м р а с п р е д е л е н и я случайной величины X назы­ вается соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями этой случайной величины и соответствующими вероят­ ностями их появления.

Закон распределения принято задавать функцией распреде­ ления случайной величины. Случайная величина задана, если из­ вестна ее функция распределения. Функцией распределения слу­ чайной величины X называется вероятность того, что случайная

Функция распределения случайной величины может быть задана в виде таблицы, графика или формулы.

Пример 3. При бросании игральной кости случайной величиной является чис­ ло, обозначенное на одной из шести ее граней. Эта случайная величина дискретна и может принимать следующие значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность появления каждого из них одинакова и равна

30

Р <Х) = Т ■

Функция распределения этой величины может быть задана в виде таблицы:

В теории надежности чаще встречаются непрерывные случайные величины и для их определения удобнее пользоваться не функ­ цией распределения случайной величины F(x), а функцией плотности распределения

вероятностей, представляющей собой пре­ дел отношения вероятности попадания слу­

Площадь фигуры, очерченной кривой f(x), всегда равна единице

(в данном примере F = — (1—1) = 1, так как она выражает вероят-

6

ность полной суммы событий.

Теория вероятностей предлагает целый ряд различных функций распределения дискретных и непрерывных случайных величин, ис­ пользуемых для решения различных практических задач.

Экспериментальное построение кривой распределения очень трудоемко (необходимо выполнить большое количество опытов), а иногда практически и невозможно. Поэтому была найдена возмож­ ность задавать закон распределения через некоторые характеристи-

31