ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 109
Скачиваний: 0
ческие величины, называемые п а р а м е т р а м и р а с п р е д е л е - м и я. Если известен тип закона распределения и найдены его пара метры, этого достаточно для полного определения случайной вели чины.
Важнейшими параметрами распределения являются математи
ческое ожидание и дисперсия. |
дискретной случайной |
|
М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е |
||
величины X, |
принимающей значения Хг с вероятностью pi |
|
(t'= 1, 2, 3, . . . , |
п) , определяется формулой |
|
MX — Б .гiPi.
1= 1
В предыдущем примере
М Х = — (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5.
6
Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется уравнением
+ 00
и. = J xf(x)dx.
—00
Следует обратить внимание на следующее: математическое ожи дание имеет ту же размерность, что и случайная величина, и что математическое ожидание постоянной величины равно этой постоян ной величине.
Д и с п е р с и я |
дискретной случайной величины X определяется |
|
уравнением |
|
|
D X = |
Е (хг— MX)2/?г= ( 2 xfpt) - (MX)2. |
|
|
/= 1 |
1= 1 |
В примере с игральной костью
D X = — (1 + 4 4 -9 + 16 + 25 + 36) — 3,53 = 2,916.
6
Дисперсия непрерывной случайной величины определяется урав нением
D = j (х — jл)2/ (x) dx = |
j' x2f (х) dx — [х2. |
—00 |
—00 |
Дисперсия постоянной величины равна нулю.
Очень часто наряду с дисперсией используется еще одна харак теристика распределения — с р е д н е е к в а д р а т и ч е с к о е от
к л о н е н и е , |
определяемое, как корень квадратный (положи |
тельный) из |
дисперсии сг=ф£>. Для нашего примера о=У2,916 = |
= 1,71. |
|
Как отмечалось, результаты каждого конкретного вида испы таний могут быть описаны одним из предложенных законов распре деления. Наибольшее распространение в решении задач надежности
32
машин и контроля качества нашли следующие законы распределе ния: для дискретных случайных величин — биномиальное, распреде ление Пуассона, гипергеометрическое распределение; для непрерыв ных случайных величин — нормальное, экспоненциальное и распре деление Вейбулла. Подробные сведения о законах распределения можно найти в специальной литературе.
Мы ограничимся рассмотрением уравнений функции распре деления случайной величины, функции распределения плотности ве роятностей и параметров функции распределения в принятых обо значениях.
При б и н о м и а л ь н о м |
р а с п р е д е л е н и и функция рас |
пределения случайной величины т имеет вид |
|
Р т, п |
-------- ----------p m q ' |
|
т \ (п — т )\ |
где п — количество выполненных испытании;
т— случайная величина, равная количеству наступлений случайного события А;
р= —----частость события А\
п
q= 1—р — частость появления противоположного события.
Параметры |
биномиального закона распределения |
М (т) = пр |
D(m) = npq. |
Этот закон применим, например, при |
выборочном |
контроле качества, если после измерения деталь кладется обратно в бункер.
При р а с п р е д е л е н и и П у а с с о н а функция распределе ния имеет вид
(22)
где а = пр\ е= 2,71828 — основание натурального логарифма.
Математическое ожидание и дисперсия в этом случае равны и
определяются просто |
(23) |
М (т) -- D (т) - а. |
|
Этот закон распределения прост для вычислений, |
применяется |
в тех же случаях, что и биномиальный, при условии, что р ^0,1 . Г и п е р г е о м е т р и ч е с к о е р а с п р е д е л е н и е
Ч н Ч У —АГ |
(24) |
4v |
|
Г п |
|
где С ^ — число сочетаний из М по /п; |
|
N \\п — полное количество изделий в партии и выборке; |
|
Мя т — количество годных изделий в партии и выборке.
М(т) -- пр,
D (пг) = npq (l — |
) • |
(25) |
3 —1819 |
за |
Этот закон распределения применяется при статистическом конт роле качества и справедлив в тех случаях, когда проконтролиро ванные изделия изымаются из выборки.
Закон н о р м а л ь н о г о р а с п р е д е л е н и я непрерывных случайных величин получил широкое распространение, поэтому его следует рассмотреть несколько подробнее.
Непрерывная случайная величина х, принимающая значения на вещественной оси от — оо до + оо, имеет нормальное распределе ние, если ее плотность вероятностей описывается уравнением
/( * ) = |
(26) |
о к |
2-с |
■где аир, — параметры распределения.
Функция распределения вероятностей в этом случае имеет вид
F(x) = -----^ |
.С _ (.Г—|Х)3 |
|
||
( е |
dx. |
(27) |
||
с |
2я |
-оо |
|
|
Графическое изображение функции f{x) — кривая нормального |
||||
■распределения или кривая |
Гаусса — представлено на рис. 3. |
|||
Свойства кривой нормального распределения: |
соответствует |
|||
максимальное значение плотности |
вероятностей |
|||
.значению х = р и равно |
|
|
|
|
/ ( • * ) т а х = |
о у |
____: |
|
|
|
|
2к |
|
|
Рис. 3. Функция нормального распределе ния (кривая Гаусса)
функция f(x) симметрична |
относительно х = \х и при х-»-±оо |
асимптотически приближается |
к оси абсцисс; |
34
точки перегиба функции f{x), определяемые путем взятия второй производной, соответствуют значениям
*1 = ja— |
х 2 = р. + о; |
если принять ц=0; а=1, получим нормированное нормальное распределение, у которого плотность вероятности и функция рас пределения выражаются формулами:
|
(28) |
Ф (х) = j ср (х) dx. |
(29) |
Значения функций ср(х) и Ф(х) протабулированы |
и сведеньг |
в справочные таблицы; 99,73% всей площади под кривой нормального распределения'
лежит в интервале значений от р.—Зет до р + Зсг, что означает следу ющее: вероятность того, что случайная величина х меньше чем' на За отличается от своего математического ожидания ц, состав ляет 0,9973, т. е. почти равна единице. При нормальном законе рас пределения хорошо виден физический смысл параметров функции распределения. Так, математическое ожидание здесь характеризует такое значение случайной величины, появление которого наиболее вероятно. Среднее квадратическое отклонение характеризует сте пень разброса отдельных значений случайной величины х. Чем боль ше а, тем больше область возможных значений х, тем шире рас ходятся ветви кривой Гаусса, как показано на рис. 4.
Рис. 4. Зависимость вида функции плотности вероятностей нор мального закона распределения от величины среднего квадратич ного отклонения (сп < егд < а3)
Э к с п о н е н ц и а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е часто |
приме |
няется в теории надежности и описывается такой функцией |
|
/(.t) = Xe- u , |
(30) |
3 ’ |
ЗБ. |
где X — постоянный коэффициент (в некоторых |
случаях — функ |
|
ция). |
|
|
Функция распределения выражается уравнением |
|
|
F(x) = J f ( x ) d x = 1 — e-Xr. |
^ |
(31) |
—00 |
|
|
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение |
||
выражаются так |
|
|
Н- = ° = - у - ‘ |
|
(32) |
Функция плотности распределения показана на рис. 5.
Рис. 5. Функция экспонен |
Рис. 6. Функция плотности распре |
циального распределения |
деления Вейбулла |
Функция плотности и функция |
р а с п р е д е л е н и я |
В е й б у л - |
||||||
л а записываются так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
г , . |
т |
х |
т — i |
— — |
(33) |
||
(х) = — |
|
е |
-ч>; |
|||||
|
|
|
*0 |
|
|
|
|
|
|
F (х) — 1 |
— е |
•'» . |
(34) |
||||
Параметры функции плотностей определяются из уравнений: |
||||||||
|
Н‘= Г (1 |
|
1 \ уШ..т„• |
|
||||
|
|
т |
ло |
» |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
= * ? ] / : |
Г |
! + |
■ |
|
Г(1 -I- — |
|
||
|
|
|
|
|
т |
|
||
36
где т и х0 — коэффициенты, определяющие вид кривой распреде ления плотностей (рис. 6);
Г — символическое обозначение гамма-функции. Распределению Вейбулла подчиняются пределы упругости, пре
делы прочности и пределы выносливости сталей и других материа лов, усталостная прочность подшипников качения, зубчатых колес
имногие другие параметры, характеризующие сложные процессы. Приближенные значения («оценки») параметров функции рас
пределения вычисляются по данным эксперимента с привлечением
методов |
м а т е м а т и ч е с к о й |
с т а т и с т и к и |
в |
виде |
среднего |
||
значения |
(х) |
и эмпирического среднего квадратического |
отклоне |
||||
ния (s): |
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
х, |
|
|
|
|
|
|
х — —— ~ F. |
|
|
(35) |
||
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
*7 « з, |
|
|
(36) |
где Xi — опытные значения случайной величины. |
|
|
|||||
Пример 4. |
В результате испытания 20 |
подшипников |
А305 |
на долговечность |
|||
получены следующие значения их ресурсов |
(табл. 1). |
|
Таблица 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
jV> подшипников |
Ресурс х , г |
|
№ подшипников |
|
Ресурс .г, г |
||
1 |
|
202 |
|
11 |
|
|
410 |
2 |
|
215 |
|
12 |
|
|
1205 |
3 |
|
501 |
|
13 |
|
|
778 |
4 |
|
806 |
|
14 |
|
|
|
5 |
|
947 |
|
15 |
|
|
1109 |
6 |
|
642 |
|
16 |
|
|
853 |
7 |
|
368 |
|
17 |
|
|
704 |
8 |
|
315 |
|
18 |
|
|
1269 |
9 |
|
582 |
|
19 |
|
|
1020 |
10 |
|
1109 |
|
20 |
|
|
2108 |
По этим данным требуется определить среднее значение ресурса и среднее квадратическое отклонение.
Используя формулы (35), (36), находим
х = -^~ (202 + 215 + 501 + . . . + 1020 + 2108)= 754 ч;
(2022 + 2152+ . . . + 2 1 0 8 2 ) - 7542= 462 ч.
/5-
Так как в рассматриваемом примере объем выборки равен только 20, то ве личины х, s будут отличаться от своих теоретических значений ц и а и равны им
только приближенно: .v»(x; s«cr.
37