Файл: Крачино, В. В. Электрорадиоавтоматика на морском транспорте учеб. пособие.pdf

Апериодическое звено первого порядка в динамическом режиме описывается следующим дифференциальным уравнением (см. табл. 1):

где Г — постоянная времени звена, характеризующая инерционность звена;

/г — статический коэффициент передачи звена (в общем слу­ чае — размерная величина).

Вустановившемся режиме при постоянном входном сигнале хвх (г) =

=А'вх0 производная выходной величины равна нулю. Применяя это к

формуле (45), получим лвых. уст = кхвх0. Передаточная функция звена из табл. 2

Т р + 1

Изображение переходной функции звена по формуле (16)

К _і_

Л (Р ) =

Т р + 1 р

Тогда, согласно таблице преобразований по Лапласу, оригинал пере­ ходной функции

тим, что для упрощения записи формулы (47) множитель 1 (/) нередко опускается. .

Если провести касательную к экспоненте h (t) в любой точке, то проекция отрезка, отсекаемого на асимптоте этой кривой, на ось вре­ мени равна постоянной времени звена Т. Установившегося значения

звена.

т. е. она также представляет собой экспоненту (см. табл. 2).

Для построения АФХ преобразуем ККП для данного звена, взя­ тый из табл. 1

56

или

Путем исключения из выражений (51) частоты получим следующее уравнение окружности с радиусом к/2 и с центром на действительной оси (см. табл. 2):

Для построения ЛАХ имеем, согласно формуле (38), следующее уравнение:

В соответствии с методическими указаниями построение кривой по

тота сопряжения) вертикаль бг, перпендикулярную к оси частот.

Слева от вертикали, т. е. при со < у из формулы (52) следует при­

ближенное соотношение В (со) « 201g/c дб. Этому выражению соот­ ветствует на рис. 28 горизонтальная прямая аб, которая и является первой асимптотой или асимптотой низких частот в ЛАХ данного звена.

57

Справа от вертикали, т. е. при со > из того же (52) следует, что

В (со) « —201gcoT <56. Данному приближенному выражению соответ­ ствует на рис. 28 прямая бв (асимптота высоких частот), которая обра­ зует с осью частот некоторый угол. Чтобы определить наклон асим­ птоты бв, предположим, что при какой-либо частоте со = сщ имеет место В (сОі) = —201gco1T. Допустим, что частота со возросла в 10 раз относительно частоты сох, т. е. увеличение составило одну декаду. В этом случае, очевидно, должно быть В (10сох) = —20lgl0coi. Опре­ делим изменение В (со): В (Юсщ) — В (сох) = —201gl0 = —20 дб/дек.

Следовательно, с возрастанием частоты на одну декаду амплитуда В (со) убывает (получает отрицательное приращение) на 20 дб. Поэто­ му принято обозначать асимптоту бв, как имеющую наклон — 20 дб/дек.

Наибольшая погрешность при замене точной ЛАХ асимптотиче­

ской имеет место при соспр = -уг

АВ (со) = 20 lg / с - В (со) = 20 lg / с - 20 lg -7 = = - =

У 1 *т 1

= 201g]/2" « 2 0 .0 ,1 5 = 306.

Слева и справа от точки б асимптотическая ЛАХ отличается от

точной менее чем на 3 дб. При частотах, отличающихся от соепр = -у

более чем в десять раз, эта погрешность пренебрежимо мала. В тех­ нических расчетах отклонение даже в 3 дб существенного значения не имеет и поэтому точная ЛАХ практически не строится.

Для апериодического звена 1-го порядка рекомендуют следую­ щий упрощенный метод построения ЛАХ непосредственно по переда­ точной функции звена (46) без записи выражения ККП (50). На сов­ мещенной сетке (см. рис. 25) проводят вертикаль при частоте сопря­

жения юспр = . Далее в положительном направлении оси орди­

нат на расстоянии 201gfc дб проводят горизонталь. Наконец, из точ­ ки б строят прямую с наклоном — 20 дб/дек. ЛФХ (51) ф (со) = = —arctgcöT с практически достаточной степенью точности может быть построена по нескольким точкам. Прежде всего она не зависит

58

от статического коэффициента передачи к звена. Далее на частоте соп­ ряжения ф (соспр) = —arctgl = —45°, т. е. ЛФХ симметрична относи­ тельно со = соспр. При приближениях частоты со к нулю и плюс бес­ конечности ЛФХ асимптотически стремится соответственно к пря­ мым 0° и —90°.

Симметричность ЛФХ относительно соспр позволяет рекомендовать учащимся при построении этой кривой пользоваться также следую­ щими дискретными точками:

фазовый сдвиг на частотах, отличающихся от частоты сопряжения на 1 октаву в одну и другую стороны (т. е. на частотах 0,5 соспр и 2соспр), разнитса отф (соспр) примерно на 0,1 я рад « 18,4°;

то же на частотах 0,2соспр и 5соспр отклонения фазы от прямых

0° и —90° = — тррад соответственно составляют 0,6я рад « 11,4°.

Характеристика ЛФХ, построенная с помощью этого метода для апериодического звена первого порядка, помещена в табл. 2.

На практике ЛФХ нередко строятся с помощью специального шаблона.

Примеры реализации апериодических звеньев 1-го порядка про­ стой схемы, используемых в электрических й радиотехнических САУ (см. п. 2 табл. 2): однозвенный фильтр RC нижних частот (а); однозвен­ ная электрическая цепь из индуктивности и емкости (б); усилительный каскад на сопротивлениях (в); электрический генератор постоянного тока с независимым возбуждением, где входной величиной является напряжение возбуждения хвх = ивозб, а выходной — э. д. с. ге­ нератора хВЬІХ = е при постоянном числе оборотов ротора генератора

п= const (г).

Пр и м е р . Применяя операторный символический метод, покажем, что однозвенный фильтр R C нижних частот действительно представляет апериоди­ ческое (инерционное) звено 1-го порядка.

Предположим, что на вход рассматриваемой схемы (см. табл. 2, п. 2, схема а) подано синусоидальное напряжение с амплитудой хвх(р) = 1/вх(р). Ток, про­

текающий в схеме, пусть будет г(р). Входной операторный импеданс для данной

Амплитуда тока в схеме в операторной в форме

Амплитуда сигнала на выходе цепи:

(р) = / (р)

рС

или

I (р) — б'вых (р) р С .

59

Расчетные формулы и построенные с их помощью временные и час­ тотные характеристики для рассматриваемого звена, а также примеры реализации последнего применительно к электрорадиотехническим САУ приведены в табл. 2 (п.З) и табл.1 (п.4).

Временные и частотные характеристики апериодического звена вто­ рого порядка можно изучить самостоятельно, пользуясь методами, применяемыми для апериодического звена первого порядка, и данными табл. 1 и 2.

Колебательное звено

Колебательным называется такое типовое звено второго порядка, у которого переходный процесс сопровождается гармоническими ко­ лебаниями.

где а — относительный коэффициент затухания звена.

60