Файл: Крачино, В. В. Электрорадиоавтоматика на морском транспорте учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 121
Скачиваний: 0
Графики функций Я (со) иф(со) при 0 ^со ^о о называются соответ ственно амплитудной частотной (АЧХ) и фазово-частотной (ФЧХ) характеристиками той же разомкнутой САУ.
Из несложного анализа выражений (27) и (172) можно заключить,
что
Н (со) = Х*ых т- и ф (со) = ф2 (со)—фі.
т
Следовательно, в случае устойчивой разомкнутой линейной САУ час тотные характеристики АЧХ, ФЧХ и АФХ имеют реальный смысл. На этом основывается, в частности, возможность нахождения их экс периментальным путем, что бывает полезным в некоторых ситуациях.
В общем же случае частотные характеристики разомкнутой САУ (АФХ, АЧХ, ФЧХ) приходится строить по точкам.
Обобщенные расчетные выражения для этих |
характеристик имеют |
|||
следующий вид: |
|
|
|
|
Я (со) - У U2(со) + |
І/ 2 (со); |
(176) |
||
ф (со) = |
arctg |
; |
(177) |
|
U (со) = |
Я |
(со) cos ф (со); |
(178) |
|
V (со) = |
Я |
(со) sin ф (со). |
(179) |
|
Однако особенности этих характеристик при очень низких (со-*-0) и достаточно высоких (со-*- + оо) частотах могут быть выявлены без расчетов непосредственно по одной из передаточных функций, напри мер, (115) и (116).
Действительно для co->-0 из формулы (116) имеем
Ц70 (/со) |ш^ о » 1
и, следовательно, из |
(171) получаем |
|
|
п |
|
||
|
|
|
|
7, |
. |
|
|
И? ( / 0 ) 1 ^ 0 « - ^ - = , \ < Г " т |
|
||||||
Поэтому |
|
Осо)5 |
СО5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я (со) Іи -^о = Я |
(0 ) = |
( К |
п р и |
s = |
0 |
( 1 8 0 ) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
[ ОО п р и s = 1, 2 , . . . ; |
|
|||
|
Ф (со) |и ^,о = |
Ф (0 ) == |
|
Jt |
. |
(1 8 1 ) |
|
|
— S — |
||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
При достаточно высоких частотах (со->-оо) |
имеем для формул |
(116) |
|||||
и (171): |
К |
|
втт т |
|
|
|
|
W (/со)|со |
|
|
(/со)т - п = |
|
|||
(/со)5 |
|
(/CO)"" 5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
V Вт |
|
|
—/ (п—ш) — |
|
||
= |
к ~ „ |
(СО)" |
|
|
|
|
|
101
В реализуемых радиотехнических |
устойчивых |
разомкнутых САУ |
|
обычно |
|
|
|
т < п; Вт> 0; |
Ап > 0. |
|
|
Поэтому в формулах (172), (177) и (176): |
|
||
Н (®)|а-*со “ |
Н (о о ) яе 0; |
(1 8 2 ) |
|
Ф И І» - « « |
—(л—т ) - у . |
(183) |
|
Выражения (180) и (183) позволяют несколько уменьшить трудоемкость процессов построения графиков частотных характеристик разомк нутых САУ при небольших порядках дифференциальных уравнений.
Рис. 40. Годографы амплитудно-фазовых характеристик некоторых разомкнутых линейных САУ:
а — статических; б — с астатизмом первого порядка; в — с астатнзмом второго порядка
В качестве иллюстрации на рис. 40 представлены годографы АФХ разомкнутых линейных САУ для т = 0 и п = 1-^5 при s = 0 [15].
Более действенным методом для облегчения построения и последую щего анализа составных частей годографов (амплитуд и аргументов) разомкнутых САУ являются логарифмические частотные характери стики разомкнутых САУ : ЛАХ и ЛФХ.
Уравнения ЛАХ и ЛФХ для разомкнутой САУ идентичны соот ветствующим уравнениям ЛАХ и ЛФХ одиночных звеньев и групп
звеньев (37), (38), (84), (85), |
(87): |
|
|
В (со) = |
20 lg Я (со); |
(184) |
|
9 (со) |
= |
arg W (/со). |
(185) |
Построение характеристик ЛАХ и ЛФХ разомкнутых САУ прак тически остается таким же, как построение тех же характеристик для типовых звеньев. Некоторой особенностью является возможность при менения в характеристиках ЛАХ логарифмического масштаба и по оси амплитуд, если это оказывается полезным.
Для использования логарифмических частотных характеристик удобным оказывается представление передаточной функции разомкну
102
той САУ в виде (115) и (116). В этом случае стремятся придать ПФ W0 (р) форму произведения простых сомножителей
Wo(p)= П « М р ). |
(1 8 6 ) |
(•= 1 |
|
где Wi (р) — передаточные функции либо типовых звеньев (см. табл. 1 ),
либо обратные им величины (например, |
Т2 р2 |
+ 2аТр + 1; Т2 р2 |
+ 1 |
и т. п.). |
|
|
|
Как вытекает из формул (84), (85), |
(87), |
если разомкнутая |
САУ |
представляет собой последовательное соединение типовых звеньев, выражение (186) получается простой подстановкой в нее ПФ этих звеньев. При более сложных структурных схемах разомкнутых САУ реализация выражения (186) связана с необходимостью отыскания
корней характеристических |
уравнений |
числителя |
(Bmpm + |
|||||
+ |
pm~x + . . . + |
1 |
= |
0 ) |
и |
знаменателя |
(A npn~s + |
|
+ |
An_1 pn~<3+ 1>+ . .. + |
1 = |
0) передаточной функции (116). |
|||||
|
Если подставить формулу (186) в выражение (115), то последнее |
|||||||
приобретает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W { p )= ~ T |
IѴ |
і (Р). |
|
(187) |
||
|
|
|
|
р |
/= 1 |
|
|
|
Заменив в выражении (187) оператор р на/со, получим ККП для разомк нутой САУ:
W (/со) = |
П Wt (/со) = |
П 1 ^ (/со)!е'Ъ (ш), (188) |
|
/= ! |
(= ] |
где Wt (/со)= I Wt (/со)| е'^1(и) —ККП промежуточного звена с номером і. Логарифмируя левую и правую части (188) по основанию е полу
чаем:
In W (ja) —ln _/L -j- |
У |
l n |r , ( / f i > ) ( - / s - f + / 2 ^ H . (189) |
|
cos |
«•= I |
1 |
i = 1 |
В соответствии с формулами (38) и (37) уравнения ЛАХ и ЛФХ для разомкнутой САУ (187) будут на основе выражения (189) определяться
соответственно |
выражениями: |
|
|
|
ЛАХ: |
|
|
К |
|
|
В (со) = 20 lg \W (/co)| = 20 lg |
|
||
|
|
|
со |
|
+ |
S 20 lg |Г г (/СО) I = Ввч (со) + І |
B t (со), |
(190) |
|
|
i= 1 |
i= 1 |
|
|
где Bm (со) = 20 lg - |
-низкочастотная асимптота ЛАХ; |
(191) |
||
|
co° |
|
|
|
|
Ві (ш) = |
20 lg\Wi (/со) |, i = l,2 , |
.... N. |
(192) |
103
ЛФХ:
N |
|
(193) |
Ф Н = — S y - + У |
^ И ’ |
|
і = |
1 |
|
iM<a) = arg W t (/со). |
(194) |
|
Из рассмотрения выражений (190) и (193) ясно, что логарифмические частотные характеристики разомкнутой САУ, выражение передаточной функции которой состоит из произведения типовых сомножителей (186), получаются простым суммированием логарифмических частот ных амплитудных (ЛАХ) и фазовых (ЛФХ) характеристик этих типо вых сомножителей.
При построении ЛАХ разомкнутой САУ, как и при построении типовых звеньев, можно получить начальные, вполне достаточные для
а) |
■ |
5) |
6) |
Рис. 41. Низкочастотные асимптоты ЛАХ для некоторых разомкнутых САУ:
а — статических; б — с астатизмом первого порядка; в — с астатнзмом второго порядка
исследователя сведения даже из асимптотической ЛАХ. Последняя, как и в случае одиночных звеньев, представляет ломаную линию, состоящую из отрезков прямых с наклонами к оси частот, кратными
± 20 дб (см. рис. 27).
Асимптотическую ЛАХ разомкнутой САУ можно получить пост роением сначала асимптотических ЛАХ сомножителей (jсо) с по следующим суммированием их. Однако практика построения характе ристик ЛАХ по формулам (190) — (192) выработала несколько реко мендаций, отчасти облегчающих построение асимптотической ЛАХ для разомкнутой САУ:
1. Вычисляют сопрягающие частоты (см., например, § 4, гл. Ill), соответствующие каждому из сомножителей Wt (jсо) в (190) и (192).
2. На оси частот с логарифмическим масштабом (см. рис. 28) через значения соспр, соответствующие сопрягающим частотам, проводят вертикальные прямые.
3. Осуществляют построения низкочастотной асимптоты по урав нению (191). Последнее может быть записано в виде:
•бич (<*>) = 2 0 lg АС— s 2 0 lg (о.
Для статических САУ s = 0 и Вач (со) = 20 lg К, т. е. характери стики ЛАХ в этом случае представляют прямую, параллельную оси частот (рис. 41, а).
104