Файл: Крачино, В. В. Электрорадиоавтоматика на морском транспорте учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 115
Скачиваний: 0
ществленной и эксплуатируемой САУ отклонения ее переменных (обобщенных координат) от равновесного установившегося состояния не должны быть велики. Это предположение, естественно, распростра няется и на рассматриваемый элемент САУ (205). В данных условиях обобщенные координаты последнего можно представить в таком виде:
•^ВХ— *BX Д-^ВХ» |
(207) |
•^вых ~ -^ВЫХ“Ь АхВых, |
(207, а) |
hx= h\ + Аhx\ |
(208) |
/ ^ 2 h%“1“ A/Z2 J |
(208, а) |
где
Д-^вх -- ЛВХ Хвх, Д-^ВЫХ •'•вых Л'вых,
А/г1 =/г1 —/г“; Д/г2 — /г2— h%—малые отклонения обобщенных коорди нат от их значений, принятых за исходные при линеаризации.
Подстановкой соотношений (207)—(208, а) в уравнение (205) пре образуем последнее в следующее
N (ДхВЬІХ, Д х ВЬ]х> |
-^вых "Ь Д-^вых» Д-^вх» *^вх “f" Д-^вх» ^1 “Ь |
|||
+ |
A/ix /г2 + |
Д/г2) = |
0 . |
(209) |
Допустим, что функции хВЬІХ, |
хвх, hi, |
/г3 |
являются однозначными |
|
и непрерывными в исследуемом диапазоне их изменений. Тогда уравне ние (209) может быть разложено в ряд Тэйлора по возрастающим сте пеням Дхвых, Дхвх, Д/гх, Д/г2 относительно точки равновесия с коорди натами из уравнения (206), т. е. 0, 0, х£ых, 0, хвх, /г", hl- При разложе нии, основываясь на предположении о малых значениях отклонений обобщенных координат от их значений в исходном установившемся режиме (206), ограничимся только теми членами, которые не содержат вторую и более высокие степени отклонений АхВЬ1Х, Дхвх, Ahly Д/г2 и их произведений. В соответствии с этим будем иметь следующее разложе
ние для выражения |
(209): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
М (0, 0, * “ых, 0, |
А , |
hl, а2) + |
( З Ц |
° Дхвых + |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V5дгвых / |
|
|
||
+ |
дМ |
|
Д-'-вых |
дМ |
Ах |
вых |
|
дМ |
Д^вх + |
|||||
дХВЫХ |
З-^ВЫХ |
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
+ |
|
дМ |
Дхр |
|
дМ |
|
л/ |
, |
( |
дМ |
Д/г2 |
-|- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
дХ-а-ѵ |
|
дІіг |
|
А , , > + |
Ы |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
+ |
D(AxBbIXi |
Дхвх, |
Ahx, |
Д/г2) = 0, |
|
(210) |
|||||
где D — нелинейная часть ряда, содержащая вторые и старшие степе ни переменных и их произведений.
Влевой части уравнения (210) частные производные вычисляются
ввыбранной точке установившегося режима (206). В связи с этим со ответствующие символы обозначают:
ПО
I дМ \o |
_ / |
дМ |
) при |
л:ВЬІХ= д:?Ых; |
xBX = x°BX] |
1іг = 1і°й Л2 = А§. |
||
\ 0Л'ВЫХ / |
\6Д хвых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 7 ^ — ) |
при |
xBX= xJU; |
хВЫІ = ХвЫХ; К |
||
|
|
|
оДхвх J |
|
|
|
|
|
|
|
|
А, — h% и так |
далее. |
|
|||
Следовательно, выражение |
дМ |
например, |
обозначает частную |
|||||
|
||||||||
производную |
|
|
дхв |
|
Дхвх, которая вычисляет |
|||
от функции М по переменной |
||||||||
ся при подстановке величин: |
|
|
|
|
||||
= |
0 ; |
= |
0; |
|
|
|
|
|
хвх — 0; |
хвх = х£х; |
hx = h\\ Л2 |
= А§. |
|
|
|
||
В связи с тем, что в исходном уста новившемся режиме (206) все обоб щенные координаты являются посто янными, то и все частные производ ные в уравнении (2 1 0 ) представля ются вещественными числами, вели чины которых зависят от значений этих обобщенных координат.
Приняв во внимание (206) и от бросив остаточный член D (Дхвых, Дхвх, ДАц, Д/г2), получим следующее лианеризированное уравнение для рассматриваемого функционального элемента (рис. 46):
Рис. 46. Статические характери стики магнитоэлектрического чув ствительного элемента
I дМ \° |
А” |
1 |
, |
і дМ |
1 - ^ 4 |
° |
д*в : + |
|
|
Vс^вых/) |
^ XBLX+ |
\ 0 ХВЫХ ^■^вых + |
\ ^А'вых |
|
|
|
|
||
дМ |
|
|
дМ |
^ |
|
|
дМ |
ДА, |
s 0 . |
Д*вх + |
дхп |
А* в х + f u r ) ° |
M 1 + |
|
дкг |
||||
|
|
|
|
|
|||||
( 211)
Уравнение (211) представляет обыкновенное линейное дифференциаль ное уравнение с постоянными коэффициентами.
Метод лианеризации нелинейного дифференциального уравнения функционального элемента не имеет силы, если разложение функции М в ряд Тэйлора в окрестности выбранной точки с координатами хВЫх. х£х, А°, А§ невозможно (например, если функция оказывается недифферен цируемой по какой-либо из этих координат). В подобном случае диф ференциальное уравнение функционального элемента называют суще
ственно нелинейным, т. е. нелинеаризуемым. |
(211) |
можно |
записать |
|
Полученное |
линеаризованное уравнение |
|||
в распространенном в теории САУ виде (13): |
|
|
|
|
Йо Д-^БЫХ |
^ВЫХ "Ь а0Д-^ЕЫХ -- ^ 1 ^^“БХ |
^ 0 |
Д^"ВХ+/і> |
1^) |
|
|
|
|
111 |
где введены обозначения:
о —
|
'ВЫХ |
(213) |
|
|
|
В операторной |
форме записи уравнения (212) и (213) будут: |
|
« 2 Р2 |
Д*вых (р) + а1РА^ВЫХ(Р) + а0Д*ИЫх (Р) = |
|
или |
= bj, РДхвх (р) + & 0 Д*вх (р) + |
|
|
|
|
(а2 р 2 + |
Й! р + а 0) Д х вых (р) = (&! р + 6„) Д^вх (Р) + /і . |
(2 ■14) |
Рассмотрим в качестве иллюстрации пример линеаризации нелинейно го дифференциального уравнения для одного из функциональных эле ментов, а именно для так называемого магнитоэлектрического чувст вительного элемента [21]. Последний используется в качестве измери теля постоянного тока или напряжения небольшой величины в цепях обратной связи в замкнутых радиотехнических САУ, например в сле дящих системах малой мощности.
Так как с устройством и принципами действия электроизмеритель ных приборов магнитоэлектрической системы учащиеся знакомы из курса «Электрорадиоизмерения», напомним, что в качестве выходной величины в магнитоэлектрическом чувствительном элементе рассма тривается угол поворота (отклонения) а его подвижной системы (рам ки). Входной величиной в нем будет ток і, поступающий в обмотку рам ки.
Дифференциальное уравнение второго |
порядка |
движения рамки |
|||
в общем случае может быть записано в виде (2 2 ] |
|
||||
|
Т2 — |
+ Г — + F (a) = lV(i. а), |
(215) |
||
|
dt* |
dt |
4 ; |
4 ’ ' |
|
где Т — |
— период |
колебаний |
рамки; |
|
|
|
/ — момент инерции рамки; |
|
|
||
|
спр — коэффициент пропорциональности в уравнении проти |
||||
|
водействующего момента пружины |
F (а); |
|||
|
г — коэффициент трения рамки; |
|
|||
F(a) — противодействующий момент пружины; |
|||||
N(i, |
а) — крутящий момент, действующий на рамку. |
||||
112
В общем случае F (а) и N (і, а) являются нелинейными функциями от угла отклонения рамки а и тока і.
Допустим, что функции F и N могут быть разложены в ряды Тэйло ра по степеням малых отклонений Да и Ді от условного равновесного (установившегося) состояния а 0 и і°. Предположим, что при і = і° и не
котором а = а° наступает |
равновесие между |
противодействующим |
F (а) и крутящим N (і, а) моментами рамки, т. е. |
|
|
F (а |
N {i, |
(216) |
=;° |
|
|
Статические характеристики, соответствующие уравнению (216), по казаны на рис. 46. Точки пересечения характеристики F (а) с характе ристиками N (і, а) могут быть использованы в качестве опорных для линеаризации уравнения (215). В дальнейших выкладках за такую точку будет принята точка Q, удовлетворяющая уравнению (216):
|
|
F (а3)° = N (Ц а5). |
(217) |
Для |
упрощения |
записей последующих выкладок будет принято: |
|
аз = |
а 0 и із — і°. |
Согласно изложенной методике считаем изменения |
|
углов отклонения рамки от равновесного состояния а 0 и соответствен ные изменения тока в ней небольшими и в связи с этим полагаем:
і |
= |
і° + Ді; |
а = |
а 0 + Да. |
|
|
(218) |
|
Подставим эти величины в линеаризируемое уравнение (215) |
|
|||||||
Т 2 £ _ ( а ° + А а ) |
4 ( а ° + |
Аа) |
+ |
/ г ( а о + Д а ) = |
|
|
||
dp |
|
dt |
|
^ |
|
|
|
|
или |
= |
N (і° + Ді, |
а 0 |
+ |
Да), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T>d± ^ + r ^ |
+ F(a° + Aa)~N(i<> + Ai, |
а° + |
Да). |
(219) |
||||
Разложим нелинейные функции F (а0 + |
Да) и N |
(і° + |
Ді, а 0 |
+ Да) |
||||
в ряды Тэйлора по возрастающим степеням малых приращений Да и Ді, причем ограничиваемся членами со степенями не старше первой:
F (а0 + Да) = F (а0) + |
( — |
1 |
( d2F |
Д2а + |
|
Да-|---- |
ба2 |
||||
|
,5а |
<х=а° |
2 |
|
|
d3F А3 а |
а = а " |
f (®°)+ |
( 1 г ' А“ |
(220) |
|
да3 |
а = а ° |
||||
N (і° + Ді, а° -J- Аа) та N (і°, |
а°) -}~ |
|
|||
|
=а° |
Да а = а " ■ |
( 221) |
||
|
|
|
|
||
113