Файл: Крачино, В. В. Электрорадиоавтоматика на морском транспорте учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 102
Скачиваний: 0
т. е. передаточной функцией звена называется отношение изображения функции сигнала на выходе звена к изображению функции воздей ствия на входе того же звена при нулевых начальных условиях.
Приведем изображения согласно таблицы преобразований по Лап ласу [13] для некоторых из упоминавшихся выше функций.
Изображение единичной ступенчатой функции
M l (01 = — - |
(15) |
Р
Изображение переходной функции
L[ft(*)l = Mp) = — . |
(16) |
р
т. е. чтобы найти изображение переходной функции звена САУ, нужно его передаточную функцию W (р) разделить на оператор р.
Изображение дельта-функции синусоидальной
L [б (01 = S (р) = 1. |
(17) |
Изображение гармонической функции синусоидальной
L [s in H + cp)]=-----— Ü; |
(18) |
косинусоидальной
L [cos (coH-cp)]=mcos(p~ psinC|) . |
(19) |
P3 + c ö 2
Изображение функции непрерывно возрастающего воздействия
L [mt] = m. |
(20) |
Изображение единичной импульсной переходной функции (функ ции веса)
L [w(t)] = L ' dh (t) = ph (p)-=W(p). |
( 21) |
dt |
|
§ 3. АППАРАТ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ АНАЛИЗА ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ
1.Комплексный коэффициент передачи
ичастотные характеристики
Для оценки свойств и поведения типовых звеньев (а также и радио технических САУ в целом) в области рабочих частот используется аппарат математических и графических методов.
В данном учебном пособии рассмотрены применения следующих частотных методов: комплексный коэффициент передачи (ККП) или, что то же, амплитудно-фазовая характеристика (АФХ); амплитудночастотная (АЧХ) и фазово-частотная (ФЧХ) характеристики; лога рифмические амплитудно-частотные (ЛАХ) и фазово-частотные (ЛФХ) характеристики.
39
Динамический режим в детерминированной обыкновенной линей ной САУ в наиболее общем случае описывается линейным дифферен циальным уравнением с постоянными коэффициентами (уравнение движения для данной САУ):
d" х„ |
Лп—1г |
dxвь |
|
|
|
|
U |
Лп |
|
|
|
||
dtn |
71~1 ' |
dt п — I |
dt |
: + Оо : |
|
|
dl" |
А , - 1 |
.. +Ö j |
dxпх |
А. |
(22) |
|
|
dt" |
|
dt |
|
|
|
где |
xBX = |
xBX(t) — входное |
воздействие; |
|
||
|
л'вых — лгвых (0 — реакция системы |
управления, |
||||
|
|
т. е. управляемая величина на |
||||
|
|
выходе управляющего устрой |
||||
|
|
ства; |
|
|
|
|
а„, ап_и ..., аъ а0\ bm, bm_lt ..., bit b0 — постоянные коэффициенты, за висящие от параметров систе мы управления.
Очевидно, что приведенное выше уравнение (13) является частным случаем (22).
Применяя к (22) операторную форму записи для преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях, получим:
Dip) *шых (Р) = Я (Р) *вх(Р).
где
D (р) = апрп + ап^р"~' + ... + fljp ф- ао', R (Р) = Ьтрт ф 6m-iPm_1 + ... + Ьур -1- Ь0,
причем обычно т < п.
Из (23) получаем: |
|
|
IF (г) |
*вь,х (Р) |
R (Р) |
W |
*вАр) |
Dip) ' |
(23)
(24)
(25)
(26)
По аналогии с (14) полученное выражение (22) представляет пере даточную функцию для разомкнутой системы автоматического управ ления.
Для получения первой из вышеупомянутых частотных функций — комплексного коэффициента передачи (ККП) — необходимо положить в формулах (24), (25) и (26) р = /со. При этом получаем
[W(p)]p=ja = w ( M =
_ Ьщ (/CD)'” Ч~ &m-X |
1 ~Ь ■■■-f-bl (/CD) 4- b0 _ |
R (/со) |
(2 7 ) |
«n (/co)n + an-i(;co)n |
1+ • • • + fli (/со) + °o |
b)(j(£>) |
|
По аналогии с уравнением (27) ККП для типового звена может быть получен путем подстановки в выражение (14) р = /со. Проведя эту замену в (14), получаем ККП для типового звена в следующем виде:
W (/со) |
М/со) + бО |
(28) |
а2 (/со)2 + ах (/со) + а0
40
Как и следовало ожидать, выражение (28) является частным значением ККП САУ (27).
В соответствии с правилами действий над комплексными числами* ККП может быть записан в следующих формах:
|
|
|
|
W (/со) |
= |
W (<а)еЖ«>; |
|
|
|
(29> |
|||
|
|
|
W (/со) |
= |
Wa (со) |
+ |
jW p (со). |
|
(30) |
||||
|
Одновременно с этим имеют место соотношения: |
|
|
||||||||||
|
|
Wa (со) = |
W (со) cos гр |
(со); |
Wp (со) = |
W (со) sin ij? |
(со). |
(31) |
|||||
|
|
Щсо) = |
Y ^ |
H |
+ ^ N |
; |
tg ^ (со) = WJLM - . |
(32) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wa (со) |
|
|
При этом W (со) и Wa (со) — четные |
функции |
от со, т. е. W ( — со) = |
|||||||||||
= |
W (®) и Wa ( — со) |
= Wa (со); ф (со) и Wp (со) — нечетные функции |
|||||||||||
от со; т. е. ф ( — со) = |
— ф (со) и |
U7 |
(—со) = |
|
|
|
|||||||
= |
- |
Wp (со). |
|
|
|
|
|
|
в виде |
|
|
|
|
|
ККП (29) может быть изображен |
|
|
|
|||||||||
вектора на комплексной плоскости. Ввиду |
|
|
|
||||||||||
того, |
что модуль |
ККП W (со) = |
I W (/со). I |
и |
|
|
|
||||||
аргумент ф (со) = |
arg \Ѵ (jсо) являются |
функ- . |
|
|
|||||||||
днями частоты со, то при непрерывном из |
|
|
|
||||||||||
менении последней от со = |
0 до со = |
оо вели |
Рис. 22. Амплитудно-фа |
||||||||||
чина и направление вектора будут изменять |
|||||||||||||
ся. При этом конец вектора будет |
описы |
зовая характеристика ра |
|||||||||||
зомкнутой системы |
авто |
||||||||||||
вать |
на комплексной |
плоскости |
некоторую |
матического регулирова |
|||||||||
кривую — годограф вектора. |
Этот |
годограф |
|
ния |
|
||||||||
принято называть амплитудно-фазовой харак |
|
|
|
||||||||||
теристикой (АФХ) системы |
управления или |
звена. |
Соответствен- |
||||||||||
но формулы (29) и (30) будут |
уравнениями |
АФХ. АФХ нередко |
|
строится для диапазона частот от со |
оо до со = — оо , при этом |
||
отрицательная частота является |
формальным |
понятием. |
|
В качестве примера на рис. 22 показан годограф АФХ некоторой разомкнутой системы автоматического регулирования в диапазоне частот О^со^оо.
Возвращаясь к соотношениям (30) — (32), образующим системы частотных характеристик, которые находят широкое применение как' в теории САУ, так и в ее практических приложениях, напомним наи менования уравнений этих частотных систем:
амплитудная |
частотная характеристика |
(АЧХ) |
|
W (со) = I W (/со) I; |
(33) |
фазовая частотная характеристика (ФЧХ) |
|
|
|
ф (со) = arglT (/со); |
(34) |
вещественная |
(активная) частотная характеристика |
|
|
Wa (w) = R eW (/со); |
(35) |
4L
мнимая (реактивная) частотная характеристика
Wa(<o) = I mW (ja). |
(36) |
АЧХ показывает зависимость от частоты отношения амплитуд сигналов (колебаний) на выходе и входе звена или САУ в целом.
При поддержании постоянства амплитуды сигнала на входе звена САУ хВХтах = const, АЧХ непосредственно определяет свойства
радиотехнической САУ (звена) как некоторого частотного фильтра. ФЧХ определяет сдвиг по фазе между сигналами иа выходе и входе
W/coJA
Рис. 23. Амплитудно-частотная |
Рис. 24. |
Вещественная |
№„(«) и |
(И7(со)) и фазово-частотная |
мнимая W P (со) частотные характери |
||
[Ф(“ Ш |
стики |
разомкнутой |
САР |
характеристики разомкнутой САР |
|
|
|
радиотехнической САУ (звена, т. е. позволяет количественно оценить запаздывание выходного сигнала по отношению к сигналу на входе. Так как W (со) является четной функцией частоты, а ф (со) — нечет ной функцией частоты, то при построении графиков этих функций (что обычно приходится выполнять по точкам) полезно знать, что кри вая зависимости W (со) симметрична относительно оси ординат, а кри вая зависимости ф (со) — относительно начала координат (рис. 23).
Более редко на практике используются вещественная Wa (со) и мнимая Wp (со) частотные характеристики (рис. 24). Дело в том, что эти характеристики не позволяют получить достаточно «прозрачную» оценку частотных свойств радиотехнической САУ (звена), как это дают АЧХ и ФЧХ. При построении лоточкам кривых Wa (со) и Wp (со) полезно помнить, что Wa (со) является четной, a Wp (со) — нечетной функциями частоты.
2. Логарифмические частотные характеристики
Частотные характеристики разомкнутых САУ могут служить ин струментом для выявления параметров переходного процесса и устой чивости в квазиадэкватных им замкнутых САУ. Но построение час тотных характеристик по точкам даже не очень сложных по структуре
42