Файл: Кляус, Е. М. Гендрик Антон Лоренц, 1853-1928.pdf

щим обстоятельством для сравнения двух родов собраний, которое мы имеем в виду, является то, что множитель при d E имеет ярко выраженный максимум для определенно­

Как следствие получается, что почти все изображающие точки собраны в слое АЕ весьма малой толщины. Этот слой определяет микроканоническое собрание, которым можно заменить во всех приложениях каноническое соб­ рание Гиббса» 7. Исходя из этого, Лоренц показывает, что функция і]5, определенная по методу Гиббса, и функция S , вычисленная по формуле Больцмана, связаны друг с другом уравнением:

ф= Е — T S .

Вчетвертой лекции рассмотрено броуновское движе­ ние'и^флуктуации в черном излучении. Пятая'—'послед­ няя —^лекция посвящена главным образом излучению.

7 Л о р е н ц . Статистические теории в термодинам ике, стр. 33.

XIV

Лоренц и квантовая механика

1

Работы Лоренца, Планка, Эйнштейна, с одной стороны, и фундаментальные открытия Резерфорда, заложившего основы учения о радиоактивности и строении атома, с другой стороны, послужили исходными пунктами при создании атомной теории Бора. В 1913 г. Бор сформули­ ровал постулаты, позволившие рационально трактовать комбинационный принцип Ритца;

Предложенные Бором постулаты позволили определять круговые орбиты, по которым вращаются электроны, соответствующие стационарным состояниям атома.В 1915 г. Вильсон, а в 1916 г. Зоммерфельд, независимо друг от друга, открыли более общие методы отбора орбит, соотвётствующих стационарным состояниям. На основании сфор­ мулированных “Бором квантовых постулатов можно бы­ ло вычислить частоты спектральных линий, испускаемых атомом водорода, но не удавалось определить их интен­ сивность и поляризацию. Расширив положение о совпа­ дении классической и квантовой теории при больших квантовых числах до самостоятельного принципа («прин­ цип соответствия»), Бор получил новые существенные результаты, в том числе и для расчетов интенсивностей и поляризации спектральных линий. При всех ее пора­ зительных успехах теория Бора не в состоянии была разрешить практические и логические трудности, став­ шие на ее пути, Л. ПІифф, характеризуя теорию Бора, писал: «Старая квантовая теория столкнулась с рядом практических трудностей. Так, ее нельзя было применять к апериодическим системам; она давала лишь качествен-

229

иое и неполное объяснение интенсивности спектральных линий; наконец, она не давала удовлетворительного объяс­ нения дисперсии света» Б

Первый шаг по пути развития новой квантовой ме­ ханики был сделан Луи де Бройлем в 1924 г. Он высказал гипотезу, что существование корпускулярных и волновых средств представляет собой закономерность, присущую всем частицам. Весьма существенна эта закономерность для микрочастиц. Возникла задача создания волновой теории движения микрочастиц. Эту задачу разрешил в 1926 г. Э. ІПредингер. Об исходных позициях своей теории он писал: «Прежде всего нельзя не упомянуть, что основным исходным толчком, приведшим к появлению приведенных здесь рассуждений, была диссертация де Бройля, содер­ жащая много глубоких идей, а также размышлений о пространственном распределении «фазовых волн», кото­ рым, как показал де Бройль, всякий раз соответствует периодическое или квазипериодическое движение электро­ на, если только эти волны укладываются на траектории целое число раз. Главное, что заимствовано из теории де Бройля, в которой говорится о прямолинейно распро­ страняющейся волне, заключается в том, что мы рас­ сматриваем, если использовать волновую трактовку, стоячие собственные колебания» 1.2 ІПредингер усматри­ вал также связь между своими исследованиями о кван­ товании как задаче о собственных значениях и данным им же обоснованием теории газов Эйнштейна. Поиски пути к установлению вида волнового уравнения облегчала формальная аналогия между механическими и оптичес­ кими явлениями.

Идея оптико-механической аналогии восходит к XVII в. Около 1660 г. французский математик П. Ферма сформу­ лировал принцип, согласно которому свет выбирает та­ кой путь, прохождение которого требует наименьшего времени. В современной формулировке принцип гласит, что путь светового луча между двумя точками А и В удовлетворяет условию стационарного интеграла от

1 Л. Шифф. Квантовая механика. ИЛ, 1957, стр. 15.

2Э. Шредингер. Квантование как задача о собственных значени­ ях.— В сб.: «Вариационные принципы механики». М., Физмат-

гиз, 1959, стр. 676.

230

светового луча.

Выраженный в таком виде принцип носит чисто гео­ метрический характер. Воспользовавшись значением по­ казателя преломления п = c/w, имеем:

в'в

Элементарная волновая оптика связывает геометри­ ческий смысл принципа Ферма с его кинематическим смыслом, приближая его к механике. Принцип Ферма в приведенной форме аналогичен уравнению Гамильтона — Якоби:

в

б U/ 2 т ( Е — U ) d l .

'п = Ѵ 2т ( Е - U).

Аналогия не могла быть углублена, пока оперировали обычной скоростью. Де Бройль, оперируя групповой скоростью волн и видоизменив выражение для показа­ теля преломления, нашел, что именно групповая скорость совпадает со скоростью точки, движущейся по законам классической механики.

Влияние работ де Бройля на творческий путь Шре­ дингера не подлежит сомнению, но одновременно значи­ тельную роль в развитии квантовой теории Шредингера сыграла переписка Шредингера с Эйнштейном и Лоренцем.

Всвоем первом сообщении «О квантовании как задаче

особственных значениях» Шредиигер на примере иерелятивистского свободного атома водорода показал, ка-

231

киы образом правила квантования Бора — Зоммерфельда могут быть заменены квантованием, вытекающим из решения определенного уравнения для атомной системы. Путь, по которому он пришел к своему уравнению, нео­ бычен. Вычисление энергии атома Шредингер свел к проблеме собственных значений. Вначале его смущал тот факт, что в уравнении

отсутствуют граничные условия. В дальнейшем он писал: «Когда я впервые занялся этим вопросом, мне это упро­ щение казалось неблагоприятным, так как я не был до­ статочно математически подготовлен н не мог себе пред­ ставить, каким образом могут получиться собственные частоты, без граничных условий. Позже я понял, что более сложная форма коэффициентов, а именно появле­ ние V (х, у , z), до известной степени даст то, что обычно достигается граничными условиями,— отбор определен­ ных значений А»3.

На решения уравнений Шредингера — линейного диф­ ференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, поскольку потенциальная энергия есть функция координат, накладываются требования конеч­ ности, однозначности и непрерывности. Эти условия выполнимы в том случае, если параметр Е имеет опреде­ ленные значения — собственные значения параметра. Простейшим примером применения метода Шредингера может служить материальная точка, связанная упругой силой с положением равновесия и способная колебаться около этого положения равновесия, — гармонический ос­ циллятор. Согласно теории Шредингера, стационарные состояния линейного осциллятора определяются такими значениями энергии осциллятора Е , при которых уравне­ ние имеет решения, конечные при любом значении неза­ висимой переменной.

2

Анализируя работу Шредингера «Квантование как проблема собственных значений», Лоренц писал ее автору:

3Четыре лекции по волновой механике. В кн.: Э. Шредингер. Но­ вые пути в физике. М., «Наука», 1971, стр. 283.

232

«Если мне пришлось бы теперь выбирать между Башей волновой механикой и матричной механикой, я предпо­ чел бы первую из-за большей наглядности, пока речь идет о трех координатах х, у, z. Ио при большем числе степенейсвободыяужене могу физически интерпретировать волны и колебания в ^-пространстве п поэтому должен был бы предпочесть матричную механику» 4.

Это глубокое замечание Лоренца не теряло своей зна­ чимости на протяжении всего дальнейшего развития кван­ товой механики. Лоренц одновременно отмечает, что в

В работе Шредингера Лоренцу также понравился способ построения подходящих матриц и доказательство, что они удовлетворяют уравнениям движения. Многие годы, уже после письма Лоренца, Шредингер все еще полагал что вопрос о наглядности движения электрона в ^-простран­ стве сможет им быть разрешен, однако дальнейшее разви­ тие волновой механики не оправдало этих надежд. Весь­ ма интересно доказательство Лоренцем мысли, выска­ занной Шредингером, что скорость электрона должна быть групповой.

где и — групповая скорость, іи — скорость распростра­ нения волн, V — частота их.

Лоренцу понравилось предложение Шредингера, что преобразование,4 которое претерпевает динамика в его теории, подобно переходу от лучевой оптики к волновой, и что, следовательно, электрон должен быть сравним с волновым пакетом, движущимся с групповой скоростью. «Но, — писал Лоренц, — волновой пакет никогда не может долго держаться вместе и ограничиваться малым простран­ ством. Малейшая дисперсия среды растянет его в направ­ лении распространения, и, кроме дисперсии, этот пакет также будет все больше расширяться в поперечном на­ правлении (дифракция). Из-за этого неизбежного разма­ зывания, мне кажется, что волновой пакет мало пригоден для представления вещей, которым мы приписываем,

4Переписка Шредингера с Лоренцем.— В кн.: Э. Шредингер. Но­ вые пути в физике, стр. 193—194.

233