Файл: Каули, Ч. Теория звездных спектров.pdf

б глубину линии Rx как подынтегральную функцию выражения (2.12.5). Среднюю функцию вклада C(lgx0) можно определить

Соотношения (2.12.2) и (2.12.5) универсальны. Они приме­ нимы как к сильным, так и к слабым линиям и простым спосо­ бом выражают зависимость от глубины таких параметров, как допплеровская ширина и постоянная затухания.

Рис. 2.12.1. Средние функции вклада для линий Nil в центре диска Солнца. Кривая для линии с потенциалом возбуждения 5,50 эВ смещена к более глубоким слоям по отношению к кри­ вой для линии с потенциалом возбуждения 0 эВ. [Astophys J., 143,352(1966).]

Рис. 2.12.1 иллюстрирует использование средних функций вклада для установления относительных глубин образования линий. Вычисления сделаны по удельной интенсивности двух солнечных линий Nil с одинаковыми эквивалентными шири­ нами, но разными потенциалами возбуждения: 0,00 и 5,50 эВ. Ясно видно, что функция вклада для высоковозбужденной ли­ нии смещена к большим оптическим глубинам.

Функции вкладов в форме, использованной в (2.12.2) или (2.12.5), при самых малых оптических глубинах отрицательны. Обычно

К + Ч Ж > !>

поэтому функция вклада отрицательна при малых тф. Когда тф

шая значение отрицательного члена, и функция вклада стано­ вится положительной. Рассмотрение отрицательной части функ­ ции вклада дает наиболее чувствительный показатель относи­ тельных глубин образования линий.

Интеграл функции вклада от 0 до т* определяет глубину линии, которая наблюдалась бы при отсутствии атмосферы от т* до оо. Отрицательная часть функции вклада показывает, что при отсутствии более глубоких слоев атмосферы мы наблюдали бы эмиссионные линии (отрицательные глубины линии)! Это не должно удивлять, так как в этом и заключается один из за­ конов спектроскопии — закон Кирхгофа, гласящий, что в спектре горячего газа наблюдаются эмиссионные линии. И только если за этим газом находится более горячий источник непрерывного спектра, то наблюдаются линии поглощения.

Г Л А В А 3

Статистическая механика

3.1.ВВЕДЕНИЕ

Вгл. 2 мы рассмотрели методы, которые позволяют полу­ чить величину, пропорциональную концентрации атомов данного сорта, образующих спектральную линию. Вообще только малая

доля атомов, находящихся в объеме газа, способна поглощать в данной спектральной линии. Остальные атомы будут в других стадиях возбуждения или ионизации, а при низких температурах войдут в состав молекул.

Хотелось бы уметь вычислять полное число атомов в 1 см3 по числу атомов, находящихся в данной стадии возбуждения, ионизации и диссоциации. Кроме того, может возникнуть по­ требность исследовать линии, обусловленные атомами в различ­ ных стадиях возбуждения, ионизации и диссоциации, и по ним сделать заключения о физических условиях в звездной атмо­ сфере: температуре, газовом и электронном давлениях.

Область физики, позволяющая предсказывать распределение частиц по различным энергетическим состояниям, называется статистической механикой. В этой главе мы введем ряд соотно­ шений статистической механики, которые будут необходимы при изучении звездных атмосфер.

Рассмотрим большое число частиц N, помещенных в полость и пришедших в состояние равновесия. Будем считать, что каж­ дая частица может находиться в любом из большого числа энергетических состояний Еп. Число частиц в энергетическом состоянии Еп обозначим через Nn. Наша задача — найти Nn как функцию Еп.

В качестве энергетических состояний можно рассматривать состояние движения, состояние внутренней энергии или оба вместе. Поскольку мы обозначаем каждое состояние целым чи­ слом п, мы считаем, что состояния дискретны. Классическая же статистика допускает применимость к частице представления о непрерывности энергии. Следовательно, считая, что наши энергетические состояния дискретны (счетны или несчетны), мы становимся на современную квантовомеханическую точку зре­ ния. В последнем разделе мы покажем, исходя из решения -уравнения Шредингера, что состояния кинетической энергии по­ ступательного движения частицы, помещенной в прямоугольный ящик, действительно дискретны.

88 ГЛАВА 3

С точки зрения измерений физических величин не должно быть расхождений между классической статистикой с ее конти­ нуумом энергий и квантовой статистикой с ее дискретными энер­ гиями. Обе теории предскажут одинаковые экспериментальные результаты при условии, что число дискретных состояний до­ статочно велико, чтобы аппроксимироваться континуумом, а ци­ ферблаты и шкалы, при помощи которых снимаются отсчеты, не настолько точны, чтобы обнаружить разницу между истин­ ным континуумом и квазиконтинуумом близких состояний.

Для кинетической энергии поступательного движения иде­ ального газа число квантовых состояний действительно велико, поэтому и классическая, и квантовая статистики предсказы­ вают одни и те же газовые законы (для идеальных газов).

Рассмотрим описание таких свойств газа, как, например, среднее число атомов в 1 см3 в данном энергетическом состоя­ нии. Для многих задач подобного рода можно допустить диск­ ретность энергетических состояний без привлечения других квантовомеханических концепций и выводить соотношения, ко­ торые выполняются также и при более общих допущениях. Для статистического анализа важны два квантовомеханических принципа: принцип Паули и принцип неразличимости одина­ ковых элементарных частиц. Статистическое описание явлений без учета этих принципов дается классической статистикой, или статистикой Больцмана. Если принимается во внимание прин­ цип неразличимости частиц, то приходят к статистике Бозе — Эйнштейна (или статистике Бозе), а если используются оба принципа, то имеют дело со статистикой Ферми — Дирака (или статистикой Ферми).

При описании возбуждения, ионизации и диссоциации мы будем учитывать квантовомеханические свойства вещества. Возможно другое рассмотрение, когда сохраняется больцмановская статистика, а к квантовомеханическим концепциям обра­ щаются только в случае необходимости. Однако не так уж сложно с самого начала ввести квантовомеханические представ­ ления. При этом мы получим статистику Больцмана как соот­ ветствующее приближение, но наши уравнения имеют более широкую применимость и смогут помочь исследователю, же­ лающему понять свойства вещества в недрах звезд, при рас­ смотрении которых принцип Паули и принцип неразличимости частиц могут стать решающими.

Принцип Паули, хорошо известный из элементарных учеб­ ников атомной физики (см., например, [74, р. 122]), гласит, что два электрона в атоме не могут одновременно иметь четыре одинаковых квантовых числа. Эти четыре квантовых числа обеспечивают полное описание элементарного состояния элек­ трона, так что можно также сказать, что принцип Паули запре­

щает пребывание двух электронов в одинаковых элементарных состояниях*). Полное описание элементарного состояния сво­ бодной частицы, вероятно, менее знакомо читателю, так как квантовые представления для описания свободных частиц тре­ буются реже. Свободная частица находится в элементарном состоянии, когда ей приписана ячейка фазового пространства (положение х и импульс р) объема /г3 и задана ориентация ее спина. Некоторое понимание причины, почему ячейки размера /г3 играют важную роль в определении состояния свободной частицы, можно получить при обращении к принципу неопре­ деленности, который гласит, что можно «локализовать» частицу в фазовом пространстве только с неопределенностью АхАрх ~ h (см., например, [74, р. 36]). (См. также рассмотрение поведения частицы в ящике в разд. 3.4.)

Неразличимость частиц — свойство, которое проявляется только тогда, когда, например, две частицы близко располо­ жены в пространстве и имеют почти одинаковые импульсы. Если положения или импульсы двух идентичных частиц полностью разделены, то мы можем использовать эти свойства для иден­ тификации частиц: частица А — это та, которая находится в данном месте и с данным импульсом, а частица В — та, которая находится в другом месте и с другим импульсом. В идеальном газе нет скопления частиц в фазовом пространстве, т. е. частиц с одинаковыми положением и импульсом, и поэтому статистика Больцмана правильно предсказывает свойства идеального газа.

Если частицы настолько близки, что их волновые функции перекрываются, то действительно нельзя отличить одну ча­ стицу от другой, и статистика должна учесть этот факт. Теория, которую мы изложим, имеет дело с неразличимыми частицами, но она, конечно, будет справедлива и тогда, когда волновые функции не перекрываются.

3.2. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА И СТАТИСТИКА БОЛЬЦМАНА

Обратимся теперь к нашим N частицам, помещенным в по­ лость. Когда каждой частице приписана определенная энергия, мы получаем «состояние» для системы в , целом. Мы хотим узнать, какое распределение энергий частиц является наибо­ лее вероятным среди бесконечного множества возможных со­ стояний.

Попытаемся вычислить вероятность состояния системы, в ко­ торой имеется Nі частиц с энергией Еи N2 частиц с энергией Е2

*) Слово «состояние» иногда используется более вольно, чем в настоя­ щем контексте. Говорят, что при самой низкой энергии атома гелия два элек­ трона находятся в одном и том же «энергетическом состоянии», но элемен­ тарные состояния отличаются, так как спины направлены противоположно.