ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 161
Скачиваний: 0
90 |
Г ЛАВА 3 |
и т. д. Ясно, что вероятность такой конфигурации пропорцио нальна числу способов, которыми может быть распределено Nx частиц с энергией Еі, N2 частиц с энергией Е2 и т. д. Мы огра ничены в этом выборе «краевыми» условиями:
а) общее число частиц должно быть N, т. е.
= |
(3.2.1) |
п
б) общая энергия системы должна быть постоянной:
= |
(3.2.2) |
П |
|
Может существовать ряд различных элементарных состоя ний с энергией Еп. На языке квантовой механики энергетиче ское состояние Еп является ^„-кратно вырожденным, где gn — число элементарных состояний с энергией Еп.
Продолжим вывод статистики Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна (в зависимости от того, проигнорируем мы или учтем принцип Паули). Здесь мы изложим вывод статистики Ферми — Дирака, а для статистики Бозе — Эйнштейна приведем лишь конечный результат, оставляя подробный вывод читателю.
Согласно принципу Паули, максимальное число частиц, ко торые могут занять п-е энергетическое состояние, есть gn, так что всегда Nn ^ gn. Рассмотрим теперь п-е энергетическое со стояние и спросим, сколькими способами Nn частиц можно рас ставить по gn состояниям. Первую частицу можно поместить в любое из gn состояний, вторую — в любое из gn — 1 оставшихся состояний и т. д. (Порядок, в котором помещаются частицы по состояниям, не важен.) Таким образом, мы насчитаем
g n ( g n - l ) ••• {gn — Nn+ \ ) = gn\l{gn — Nn)\ |
(3.2.3) |
способов. В каждом наборе из Nn частиц можно произвести Nn\ перестановок, а в силу принципа неразличимости одинако вых частиц нельзя считать эти перестановки различными реа лизациями, поэтому общее число реализаций для п-го энерге тического состояния теперь равно
grMNn\ (gn — Nn)\. |
(3.2.4) |
Для каждого возможного распределения частиц по т-му энерге тическому состоянию получим
gmW m\{gm- N m)\ |
(3.2.5) |
различных реализаций, а общее число способов, которыми мож' но осуществить распределение по энергиям, составит
g n\ |
(3.2.6) |
|
*-пп Nn\(gn -N ^\' |
||
|
СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА |
91 |
Это произведение берется по всем возможным энергетическим состояниям. Величина W называется термодинамической веро ятностью. Поскольку W ^ 1, это не истинная вероятность, но ясно, что эта величина пропорциональна вероятности.
Найдем теперь условный максимум ln W при выполнении двух краевых условий (3.2.1) и (3.2.2). Ясно, что W имеет ма ксимум, когда ln W максимален. Процесс максимизации ln W при двух краевых условиях проводится методом лагранжевых
множителей [90, р. |
128]. Вводя неопределенные множители Я и р, |
|||
запишем |
|
|
|
|
6 ln W + Я26УѴ„+ р 2£„6УѴ„ = |
0. |
(3.2.7) |
||
|
п |
п |
|
|
Если использовать |
формулу |
Стирлинга для |
In Х\ |
при боль |
ших X: |
In Я! = |
Я In X — X, |
|
(3.2.8) |
|
|
|||
то легко получить |
|
|
|
|
2 [— ln Nn4- ln (gn— Nn) Я p £ rt] бNn= 0. |
(3.2.9) |
|||
Вариации Nn считаются произвольными, т. е. бУѴі может рав няться нулю, а бМ2 может быть конечной величиной или на оборот и т. д. Чтобы сумма всегда обращалась в нуль, необхо димо равенство нулю при всех п выражения в квадратных скоб ках. Следовательно, можно заключить, что
Xn/(gn — М„) = ехр(Я + р £ л), |
(3.2.10) |
||
или |
________ Sn______ _ |
|
|
Nn |
(3.2.11) |
||
exp (— Я — цЕп) + 1 |
|||
|
|
||
Для статистики Бозе — Эйнштейна выражениями, аналогичными
(3.2.6) и (3.2.11), являются:
хѵ/ ТТ (Nn + gn —1)!
1L Aalten-1)! ’
п
ДГ gn
пexp (—Я — (х£„) — 1 '
(3.2.12)
(3.2.13)
Промежуточные выкладки приводятся в [151, § 87, 88] и в боль шинстве книг по статистической механике.
Теперь нужно определить постоянные Я и р. Мы сделаем это для статистики Больцмана, в которую переходят при gn >> Nn и статистика Ферми — Дирака, и статистика Бозе — Эйнштейна.
92 ГЛАВА 3
Производя упрощение (3.2.10) и используя формулу (3.2.1),
получим |
V |
|
ехр (Я) |
||
(3.2.14) |
||
2 |
Sn ехр (\іЕп) |
|
П |
|
Сумма в уравнении (3.2.14) называется суммой по состояниям.
Вобщем случае обозначим ее через Q.
Вследующем разделе мы покажем, что множитель р опре деляется соотношением
ц = — 1 ЦкТ), |
(3.2.15) |
где k — постоянная Больцмана. Окончательно формула Больц мана приобретает вид
|
-jf- = Щ- ехр (— EJkT). |
(3.2.16) |
В астрономии |
часто используется переменная |
Ѳ= 5040/7". |
В этом случае, |
если энергия Еп выражается в электрон-вольтах |
|
и обозначается символом %п, то |
|
|
|
= |
(3.2.17) |
3.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ р
Самый простой вывод постоянной р в уравнении (3.2.14) делается на основе принципа Больцмана, который выражает связь между энтропией S системы и термодинамической вероят ностью W. В соответствии с вышеизложенной точкой зрения мы будем говорить, что все физические системы стремятся к наибо лее вероятному состоянию. Формулу Больцмана (3.2.16) мы вы водили, имея в виду это предположение.
Но, согласно термодинамике, все физические системы стре мятся к состоянию с максимальной энтропией. Известно, что энтропия системы обладает экстенсивным свойством, т. е. за висит от количества вещества в системе. Энтропия системы, составленной из двух частей с энтропиями Si и S2, равна их сумме
S = S, + S2. |
(3.3.1) |
С другой стороны, из теории вероятности известно, что если W1 есть термодинамическая вероятность одной части системы, а W2— другой, то термодинамическая вероятность W всей систе мы выражается произведением
W = W lW2. |
(3.3.2) |
СТАТИ СТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА |
93 |
Сравнение формул (3.3.1) и (3.3.2) наводит на мысль, что энтропия и термодинамическая вероятность должны быть свя заны логарифмически, скажем
S = £ l n r , |
(3.3.3) |
где k — постоянная. Уравнение (3 3.3) |
выражает принцип |
Больцмана, а постоянная k есть постоянная Больцмана *). Согласно термодинамике, введение элементарного количе
ства тепла dq в систему приводит к росту энтропии по закону **)
dS = dq/T. |
(3.3.4) |
В соответствии с первым законом термодинамики это тепло dq может повысить внутреннюю энергию на dE, а также совер шить работу PdV, где Р — давление, а V— объем. Таким об разом,
dS = Y dE + T dV- |
(3.3.5) |
Из того факта, чтоэнтропия является полным дифференциа лом, и из (3.3.5) следует
[dS/dE)v = \ / T . |
(3.3.6) |
Теперь оценим эту частную производную исходя из вели чины S, полученной из принципа Больцмана. Если воспользо ваться приближением Стирлинга при оценке натуральных лога рифмов всех множителей уравнения (3.2.6), то можно получить
1п1Г = - 2 |
( Ь 1 п 1 ^ - + |
^ 1 п |
(3.3.7) |
|
п |
|
|
Введем упрощающее допущение: gn |
Nn. Первое слагаемое в |
||
правой части (3.3.7) |
обратится в нуль, |
если мы пренебрежем Nn |
|
вчислителе выражения под знаком логарифма. Но мы запишем аргумент логарифмической функции в виде 1 — {NJën) и исполь зуем формулу 1п(1 — х) X —л: при малых х. Таким образом, первое слагаемое в (3.3.7) дает полное число частиц N, если просуммировать по п.
Представляем читателю убедиться, что при отбрасывании Nn
взнаменатель второго слагаемого (3.3.7) вносится относительно малая ошибка. Если при этом используется соотношение
== ехр (ц£п), |
(3.3.8) |
*) Согласно Зоммерфельду [137], как уравнение (3.3.3), гак и постоян ная Больцмана k были введены Планком.
**) См. ниже разд. 3.4. Чтобы выполнялось (3.3.4), количество тепла dq должно вводиться в систему медленно (или обратимо).
94 |
ГЛАВА 3 |
|
|
ТО |
|
|
|
S = |
k [N (l -fln -g-) — ц£ ] . |
(3.3.9) |
|
Таким образом, |
|
|
(3.3.10) |
(dS/dE)v = |
— i ik = 1IT, |
||
отсюда |
ц = |
— 1 IkT. |
(3.3.11) |
|
|||
Этот метод вывода постоянной р, не очень удобен для тех, кто не знаком с принципом Больцмана или с понятием энтро пии. Поэтому рассмотрим другой способ получения соотношения (3.3.11) из уравнения состояния идеального газа
|
PV = nNakT = nRT, |
(3.3.12) |
где V — объем газа, |
Na — число Авогадро, равное |
6,024-ІО23, |
а п — число молей в |
объеме V. Сначала получим |
максвеллов |
ское распределение скоростей из формулы Больцмана.
Левую часть выражения (3.2.16) можно интерпретировать как вероятность того, что частица будет иметь энергию Еп. Пе рейдем от этого соотношения, в котором постулируются дискрет ные энергетические состояния, к схеме, в которой возможна непрерывная область энергий, как в классическом случае моле кулярного газа. Если выразить энергию через импульсы, то по лучим вероятность, определенную как функция импульсов, а не энергии. Переход от дискретного к непрерывному распреде лению осуществляется по следующей схеме:
N n ^ N |
(р х , р у , р г ) d p x d p y d p z |
(а), |
||
|
d p x d p y d p z T7 |
|
V d p |
|
gn-> |
h 3 |
V, |
или |
h 3 |
(6),
(3.3.13)
И exp[~ {P l + Pl + Pl)l2 mkT]n jr- (e ) .
Здесь V— выделенный объем, в котором содержится N частиц; через d p обозначено произведение d p x d p y d p z , а не вектор. Мы использовали концепцию ячейки фазового пространства объема h3 (разд. 3.1).
Выражение для суммы по состояниям легко проинтегриро вать. Поскольку импульсы по направлениям х , у и г взаимоне зависимы, имеем произведение трех интегралов ошибок (см., например, [105, § 13.29]). Следовательно,
Q __ ( 2 n m k T ) ^ у |
(3.3.14) |
||
** |
h 3 |
||
|
|||