ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 172
Скачиваний: 0
ТЕОРИЯ УШИРЕНИЯ ЛИНИИ |
155 |
где |
(5.4.14) |
P = NkT. |
Приняв, что водородные линии уширяются главным образом линейным эффектом Штарка, обусловленным ионом, положив Ni = Ne и перейдя от Дсо к ДА,, получим
а (АЛ) = const (PJT) (1/ДА)*/.. |
(5.4.15) |
Мы не будем останавливаться на дальнейших применениях простейшего приближения «наиближайшей возмущающей ча стицы». На практике используются несколько более точные рас пределения электрических полей, которые мы рассмотрим в разд. 5.8.
Закончим этот раздел следующими замечаниями, связываю щими пп. 5.4.1 и 5.4.2. Среднее расстояние между частицами можно найти усреднением по распределению вероятностей, за данному уравнением (5.4.7):
|
оо |
|
f = J rdP(r). |
(5.4.16) |
|
|
О |
|
Подставляя это распределение и интегрируя, получим |
|
|
г = |
Г (4/з) (3/4лУѴ)'Л. |
(5.4.17) |
Поскольку Г(4/з) = 0,893, |
мы видим, что г « г0. Легко |
видеть, |
что Д(о0 является характерной шириной контура уравнения
(5.4.11). Поскольку г « |
г0, Дсо0 ~ Асос, Д<»о определяется (5.4.2), |
и анализ размерностей |
действительно предсказывает характер |
ную ширину контура. |
|
5.5. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УШИРЕНИЯ ВСЛЕДСТВИЕ СОУДАРЕНИЙ (ТЕОРИЯ ЛОРЕНЦА,
ИЛИ ЛОРЕНЦА-ВЕЙССКОПФА)
Будем считать, что излучение классических осцилляторов состоит из суммы «гармонических» колебаний, излучаемых в течение времени t0. Рассмотрим сначала спектр «одного» ко
лебания *) |
|
exp (гео4) |
при |
|
|
f(t) = |
(5.5.1) |
||
|
0 |
при |
||
|
|
\ t \ > t0/2. |
Функцию (5.5.1) легко представить интегралом Фурье. Распре деление интенсивности для цуга волн отдельного осциллятора
*) Как обычно в таких задачах, амплитуда колебаний будет найдена позднее из условия нормировки.
156 ГЛАВА 5
равно квадрату амплитуды колебаний:
і (а) ос |
sin (мр — со) /р/2 I2 |
(5.5.2) |
|
(ш0 — ®)/2 . |
|
Чтобы найти распределение интенсивности излучения, ис пускаемого набором таких осцилляторов, каждый из которых ха рактеризуется собственным временем излучения, нужно усред нить (5.5.2) по времени t0 с учетом распределения вероятностей. Это распределение вероятностей определяется почти таким же образом, как распределение вероятностей для расстояний до ближайшей частицы.
Пусть т — среднее время между столкновениями, a P{to) означает вероятность того, что колебания осциллятора были прерваны в пределах интервала времени t,. Обозначим через
P(t0) вероятность того, что колебания |
осциллятора_ не |
будут |
|
прерваны в течение времени_/о- Тогда |
P{t , )— \ — P{to)- Рас |
||
смотрим теперь вероятность *P{t, + |
dt,) |
того, что колебания ос |
|
циллятора не будут прерваны в интервале t0 + dt,. Эта вероят |
|||
ность дается произведением вероятностей |
|
||
Р Po + dt,) = Р (У + |
dt, = Р {t,) Р {dt,), |
(5.5.3) |
|
где P(dt0) — вероятность того, что |
колебания осциллятора не |
||
будут прерваны в интервале dt0. P{dt,)= |
\ — P{dt,) = {\—dt,/т), |
||
где P(dto)-— вероятность того, что колебания осциллятора |
будут |
||
прерваны в интервале времени dt,. В результате интегрирования |
|||
получим |
|
|
|
р (У = ехр (—у т), |
(5.5.4) |
||
откуда легко найти вероятность dP(t0) столкновения в интер вале времени {to, dt,)*)
|
|
dP (У = —— exp (— t,fт) dt,. |
|
(5.5.5) |
|||
Усреднив (5.5.2) при помощи распределения (5.5.5) по |
|||||||
времени, получим окончательное распределение |
интенсив |
||||||
ности |
для |
набора |
осцилляторов, |
излучающих в |
течение У |
||
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
7 |
(оз) °С -L I |
{ — |
}2 ехр ( - Ут) dt,. |
(5.5.6)I* |
||
*) |
Легко |
проверить, |
что из (5.5.5) |
получается исходное |
время |
между |
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
Столкновениями т = I |
(tatг) ехр ( — /о/т) dt,. |
|
|
||||
О
ТЕОРИЯ УШИРЕНИЯ ЛИНИЙ |
157 |
После интегрирования находим
/ (со) ос (ш0 — со)2 + (1/т)2 |
(5.5.7) |
Получился уже знакомый контур Лоренца, где вместо постоян ной затухания стоит 2/т.
Из рассмотрения свертки контура (5.5.7) с контуром зату хания излучения (гл. 1) следует, что результирующий контур будет дисперсионным с суммарной постоянной затухания
Ѵгіолн == 2/т -f- Уизл == Ѵст "Г" Yизл* |
(5.5.8) |
Таким образом, результаты элементарной теории уширения ли ний можно обобщить, включив уширение вследствие столкнове ний. Под величиной у теперь будем понимать
Ѵполн = Ѵст “f" Ѵизл-
Среднее время между столкновениями связано со средней длиной свободного пробега обычным способом. Но прежде чем оценить эту среднюю длину свободного пробега, мы должны выяснить, как обобщить понятие поперечного сечения для рас сматриваемого случая. Конечно, поперечное сечение должно быть несколько больше, чем сечение упругого рассеяния, имею щее порядок атомных (молекулярных) размеров.
Чтобы получить выражение для величины, которую можно назвать «оптическим» поперечным сечением, вернемся к нашей картине набора классических осцилляторов, которые излучают в течение времени t0 и не излучают ни до, ни после этого. Мы получили частотный спектр мощности случайного набора цугов волн, предполагая, что цуги разорваны на части длиной t0 из-за столкновений. Легко видеть, что по мере того, как расстояние между возмущающей и излучающей частицами возрастает и «столкновения» становятся все более и более слабыми, наше представление о ряде несвязанных цугов волн становится все менее оправданным.
Будем считать, более или менее произвольно, «столкнове нием» любое прохождение, при котором полное изменение фазы
г) = |
JАш dt « |
1, |
(5.5.9) |
|
|
— оо |
|
|
|
где Дсо, конечно, дается соотношением |
|
|
||
Д(о = |
2л<&п/гп. |
|
(5.5.10) |
|
Выбор в уравнении (5.5.9) |
1, |
а не л |
является |
произвольным. |
Тем не менее ясно, что для изменений фазы г] <С 1 едва ли можно считать, что цуги до и после столкновения не связаны,
158 |
ГЛАВА 5 |
тогда как при г) |
1 цуги до и после столкновения являются |
в известном смысле несвязанными.
Оценка «оптических» поперечных сечений включает оценку интегралов вида (5.5.9). Пусть возмущающая частица движется по прямой линии, и пусть р —■прицельный параметр, а ѵ — скорость возмущающей частицы (рис. 5.5.1). Если t = 0 соот-
ѵветствует моменту максимального сближения (г = р), то
|
г2==р2 + |
у2;2 |
(5.5.11) |
|
Из |
(5.5.9) — (5.5.11) |
нетрудно полу |
||
чить |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
Рис. 5.5.1. Траектория возму- |
г) = f |
— - Я? п—*— |
_ (5.5.12) |
|
щающей частицы. |
J |
(р2 + |
ѵЧг)піг |
|
Интегрирование по времени можно заменить интегрирова нием по углу Ѳот —л/2 до л/2 и результат выразить через вспомогательный параметр
|
л /2 |
|
|
|
|
|
|
|
qn= |
f co s " - ^ d Q = |
, / r |
Г [ ( я — l ) / 2 ] |
(5.5.13) |
||||
* |
|
Г (n/2) * |
||||||
Для |
— xc/2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
||
|
|
|||||||
|
qn |
n |
2 |
n/2 |
4/3 |
Зя/8. |
(5.5.14) |
|
При помощи |
(5.5.13) |
выражение |
для т} приводится к виду |
|||||
|
|
■x\ = |
lnf@nqnlvc |
$n- x. |
(5.5.15) |
|||
Подстановка т] = т]о « 1 в уравнение (5.5.15) дает «крити ческий» радиус *) ро, называемый радиусом Вейсскопфа:
р0 = (2ncë,nqnjvx\^l{n"'l). |
(5.5.16) |
В качестве ѵ берется относительная скорость между возму щающей и излучающей частицами. Пусть их массы равны т.\ и т2, тогда
V — |
(5.5.17) |
При концентрации возмущающих частиц N происходит
ЛГояр* |
(5.5.18) |
столкновений в секунду. Величина (5.5.18) обратно пропорцио нальна среднему времени между столкновениями т. Сопоставив
*) Для согласования с установившимися обозначениями иногда будет необходимо использовать различные выражения для ро, такие, как л/3, и т. п.
ТЕОРИЯ УШИРЕНИЯ л и н и й |
159 |
эти величины, получим следующее выражение для постоянной затухания вследствие столкновений уст:
2/т = Уст = ZnNv (2nWnqJv(]fli,l~l). |
(5.5.19) |
Таким образом, постоянная затухания для уширения линии вследствие столкновений растет как первая степень плотности числа частиц и в общем лишь слабо зависит от температуры.
Отметим, что результат уст = 2/тст совпадает с результатом, который получился бы из анализа размерностей. уст, по суще ству, равняется характерной ширине Дсос уширенного контура. Дсос имеет размерность частоты, так же как и сама частота со ударений. Таким образом, можно было бы сразу записать уст=
=1/Тст, и мы ошиблись бы всего в два раза!
5.6.ГРАНИЦА МЕЖДУ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ КВАЗИС1АТИЧЕСКОГО УШИРЕНИЯ
ИУШИРЕНИЯ ВСЛЕДСТВИЕ СТОЛКНОВЕНИЙ
На основании соображений размерности или аналогичных аргументов удается решить, является ли данный сдвиг частоты преимущественно квазистатическим или вызван столкнове ниями.
При столкновении атом подвержен возмущению, основная частота которого порядка ѵ/р. Однако характерные частоты за висящей от времени части волновой функции для рассматривае мого атома и возмущающей частицы могут не располагаться около значения ѵ/р. Согласно предположению, сделанному в разд. 5.4, атом будет реагировать на возмущения с частотами порядка
Дсо (атома) = 2п<&п/рп.
Допустим, что характерные частоты атома значительно боль ше, чем частота прохождения ѵ/р. Это значит, что реакция атома много короче, чем время р/ѵ действия возмущения. Следователь но, движением возмущающей частицы можно пренебречь для до статочно высоких Дсо (атома). Эта зависимость будет получена более строго в гл. 6 [уравнение (6.7.15)].
Таким образом, квазистатическая область — это крылья ли ний (большие Дсо), а область уширения столкновениями — это ядра линий (если пренебречь допплеровским уширением).
Можно сформулировать это заключение полуколичественно, вводя *)
Дсо (атома) = ѵ/р. |
(5.6.1) |
*) В общем случае это соотношение неверно.