ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 168
Скачиваний: 0
164 ГЛАВА 5
и записывая
{ |
СО |
1 л |
|
|
J [ l _ e x p ( t k .S i)]|ff<r ,/,d£/ |
• |
(5.7.15) |
||
|
Появившийся член в подынтегральном выражении сводится к интегралу по объему V по переменной г*. Если использовать (5.7.11) для обратного перехода от переменных &t к простран ственным переменным, то можно показать, что после интегри рования этот дополнительный член будет равен —1 и сокра тится с единицей в фигурных скобках. Устремив п —* оо в (5.7.15) и учитывая (5.7.14), получаем
F (k) = ехр |
— je'i'N |
J [1 — ехр (ік • З Д |
&t Г /г^ } . |
(5.7.16) |
Если |
экспоненту |
с комплексным |
показателем |
степени |
в (5.7.16) |
расписать в виде комплексной суммы косинуса и си |
|||
нуса, то часть интеграла, содержащая синус, обратится в нуль, так как синус — нечетная функция, а пределы берутся от минус до плюс бесконечности. Тройной интеграл по <охі, &уі и &zi мож но упростить, вводя полярные координаты, так, чтобы <g к =
—$ {k. cos Ѳ. Подставляя t = cos Ѳ, получим для интеграла в
(5.7.16)
оо
J
О
2 л |
I |
1 |
|
dcp |
[1J — cos (&ikt)}dt. |
(5.7.17) |
|
0 - 1 |
|
|
|
Интегрирование по t и ф и подстановка 2 — |
дают |
оо |
|
4лк3>21 (г — sinz)z~',2dz. |
(5.7.18) |
о |
|
Интегрированием по частям это выражение можно свести к сле дующему:
оо |
|
|
|
^■nksl* I"z~'l* cos z dz = -^r (2nk) h, |
(5.7.19) |
||
ö |
|
|
|
а после подстановки (5.7.19) в (5.7.16) найдем |
|
||
F (к) = |
ехр — |
j|- (2nek)% N |
(5.7.20) |
Распределение W(<£) |
тотчас |
же получается |
обратным пре |
образованием Е ( к ) . Опять используются полярные координаты,
ТЕОРИЯ УШИРЕНИЯ ЛИНИЙ |
165 |
и после некоторых преобразований находим
00
W(&) = ~2J,g3 J exp (— ах'Ц&Ц х sin х dx, |
(5.7.21) |
о |
|
где |
|
a = 4(2ne)ShN/l5. |
(5.7.22) |
Подробное описание вычислений этого и предшествующих ин тегралов приводится в [25].
Теперь удобно ввести обозначение, которое полностью игно
рирует векторный характер |
|
поскольку важно лишь значение |
|
& = |<?і. Положим |
= |
&lа \ |
_ |
ß |
(5.7,23) |
||
определяя ß (на время) как вектор. Тогда |
|
||
W { 8 ) d & |
= W ( ß ) d ß , |
(5.7.24) |
|
откуда следует |
= |
|
(5.7.25) |
W ( ß ) |
a 2W ( & ) . |
||
Наконец, если мы определим Н (ß) так, чтобы H(ß)dß давало вероятность того, что абсолютная величина ß находится в ин тервале (ß, dß), то
|
Я (ß) dß = W (ß) 4nß2 dß. |
(5.7.26) |
Объединяя эти результаты, можно записать |
|
|
|
00 |
|
Я (ß) = |
J exp [— (*/ß)s/s] Xsin X dx. |
(5.7.27) |
о
Выражение (5.7.27) аналогично выражению (5.7.4), которое получено в приближении воздействия единственной (наибли
жайшей) частицы. Легко видеть, |
что при ß —►оо можно разло |
|||
жить |
экспоненту в |
уравнении |
(5.7.27) в ряд |
и получить |
Н (ß) ~ |
\!ß6k*), что |
согласуется |
с приближением |
воздействия |
наиближайшей частицы для сильных полей. Однако для слабых полей экспонента в (5.7.4) преобладает, быстро уменьшая ве роятность такого поля (рис. 5.7.1).
В реальной плазме вероятность слабых полей должна быть выше, чем для идеализированной плазмы, в которой только ближайшая частица дает вклад в поле, потому что слабые поля
*) Утверждение автора не совсем точно. Дело в том, что указанное раз
ложение Н (ß) по ß- '^ лишено математического смысла, ибо «коэффициенты» такого «ряда» — расходящиеся несобственные интегралы. Фактически же речь идет об аппроксимации / / (ß) в узком диапазоне значений ß от нескольких единиц до десятков. — Прим, перев.
166 ГЛАВА 5
могут являться результатом неполного гашения двух более силь ных полей. Рассмотрим интеграл (5.7.27) при ß <С 1. Очевидно* что при x/ß > 1 подынтегральное выражение быстро спадает к нулю. Нужно интегрировать только, скажем, до х — <7ß, где q порядка единицы. Поскольку во всем этом интервале х <С 1, мыі
получаем оценку |
чР |
|
|
|
|
Н (ß) |
J x2dx ос ß2, |
(5.7.28) |
о
которая показывает, как и ожидалось, что вероятность слабых полей в реальной плазме уменьшается значительно медленнее.
Используя аппроксимацию ближайшей частицы, мы опреде
лили напряженность кулоновского поля: |
|
= <T/ß = е (4jtA7/3)7% |
(5.7.29) |
а, согласно теории Хольцмарка, |
|
ё’о — а2!* — 2ле (4N/l5)2/\ |
(5.7.30) |
Нам повезло: значения коэффициентов при /Ѵ3/з отличаются меньше чем на 1/200, т. е. значительно меньше, чем другие не определенности в теории уширения линий!
Теория Хольцмарка развита им в предположении, что возму щающие частицы, окружающие излучающий атом, имеют еди ничный заряд. Для звезд это предположение будет почти всегда хорошо выполняться из-за высокого содержания водорода по сравнению с другими элементами. В звездах, бедных водородом, где имеется заметное количество двукратно ионизованного ге лия, нужно заменить заряд е средним значением
N (Н+) + N (Не+) + 2N (Не++) |
(5.7.31) |
|
<«> ~ W(H) + tf(He+) + W(He++) |
||
|
Если бы содержание водорода и гелия было одинаковым и весь гелий был дважды ионизован, то напряженность кулоновского поля была бы на 50% выше.
5.7.3. Более общий вид распределения напряженности элек трического поля. Ряд авторов вычисляли распределение напря женности поля в более общем виде, чем (5.7.27), пытаясь объяс нить плазменные взаимодействия, впервые рассмотренные Де баем.
В табл. 5.7.1 и 5.7.2 мы приводим результаты вычислений Хупера [81]. Распределения даны для нескольких значений от ношения Го/pd, где r0 = (3/4jtiV),/s, рD— радиус Дебая *)
9о = (кТ/4яЫе*)'Іг, |
(5.7.32) |
*) Это определение радиуса Дебая отличается в Ѵ~2 |
раз от использо- |
ранного в гд. 3. |
|
Таблица 5.7.1
Плотности распределения вероятностей ff(ß) для нейтрального излучателя
(Напряженность электрического поля взята в единицах <§Г#)
а
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
|
||||
0,1 |
0,00696 |
0,01159 |
0,01938 |
0,03341 |
0,2 |
0,02723 |
0,04475 |
0,07321 |
0,12143 |
0,3 |
0,05908 |
0,09505 |
0,15020 |
0,23520 |
0,4 |
0,09989 |
0,15612 |
0,23601 |
0,34511 |
0,5 |
0,14643 |
0,22098 |
0,31745 |
0,43193 |
0,6 |
0,19529 |
0,28313 |
0,38516 |
0,48866 |
0,7 |
0,24319 |
0,33751 |
0,43440 |
0,51674 |
0,8 |
0,28729 |
0,38083 |
0,46434 |
0,52160 |
0,9 |
0,32539 |
0,41160 |
0,47677 |
0,50962 |
1,0 |
0,35604 |
0,42985 |
0,47487 |
0,48656 |
1,1 |
0,37851 |
0,43668 |
0,46215 |
0,45700 |
1,2 |
0,39273 |
0,43384 |
0,44193 |
0,42432 |
1,3 |
0,39914 |
0,42331 |
0,41706 |
0,39083 |
1,4 |
0,39857 |
0,40709 |
0,38960 |
0,35803 |
1,5 |
0,39206 |
0,38697 |
0,36132 |
0,32684 |
1,6 |
0,38077 |
0,36447 |
0,33331 |
0,29775 |
1,7 |
0,36582 |
0,34080 |
0,30633 |
0,27098 |
1,8 |
0,34828 |
0,31689 |
0,28085 |
0,24658 |
1,9 |
0,32908 |
0,29342 |
0,25710 |
0,22446 |
2,0 |
0,30900 |
0,27085 |
0,23520 |
0,20451 |
2,5 |
0,21296 |
0,17812 |
0,15167 |
0,13120 |
3,0 |
0,14208 |
0,11818 |
0,10098 |
0,08797 |
3,5 |
0,09611 |
0,08095 |
0,06999 |
0,06162 |
4,0 |
0,06704 |
0,05749 |
0,05038 |
0,04484 |
4,5 |
0,04838 |
0,04224 |
0,03749 |
0,03371 |
5,0 |
0,03603 |
0,03197 |
0,02870 |
0,02603 |
6,0 |
0,02166 |
0,01971 |
0,01804 |
0,01659 |
7,0 |
0,01415 |
0,01312 |
0,01217 |
0,01135 |
8,0 |
0,00977 |
0,00919 |
0,00862 |
0,00808 |
9,0 |
0,00710 |
0,00674 |
0,00637 |
0,00601 |
10,0 |
0,00537 |
0,00513 |
0,00488 |
0,00463 |
Таблица 5.7.2
Плотности распределения вероятностей Я (ß) для заряженного излучателя
(Напряженность электрического поля взята в единицах <^"0)
а
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
|
|
|
||||
0,1 |
0,00710 |
0,01244 |
0,02229 |
0,04114 |
|
0,2 |
0,02779 |
0,04801 |
0,08397 |
0,14866 |
|
0,3 |
0,06028 |
0,10180 |
0,17146 |
0,28527 |
|
0,4 |
0,10187 |
0,16687 |
0,26777 |
0,41354 |
|
0,5 |
0,14926 |
0,23557 |
0,35752 |
0,51032 |
|
0,6 |
0,19894 |
0,30091 |
0,43017 |
0,56853 |
|
0,7 |
0,24755 |
0,35745 |
0,48081 |
0,59163 |
|
0,8 |
0,29220 |
0,40179 |
0,50909 |
0,58755 |
|
0,9 |
0,33065 |
0,43248 |
0,51766 |
0,56481 |
|
1,0 |
0,36144 |
0,44972 |
0,51053 |
0,53069 |
|
1,1 |
0,38385 |
0,45484 |
0,49199 |
0,49072 |
|
1,2 |
0,39782 |
0,44982 |
0,46591 |
0,44876 |
|
1.3 |
0,40385 |
0,43690 |
0,43546 |
0,40731 |
|
1,4 |
0,40279 |
0,41822 |
0,40305 |
0,36786 |
|
1,5 |
0,39573 |
0,39572 |
0,37041 |
0,33125 |
|
1,6 |
0,38385 |
0,37102 |
0,33870 |
0,29782 |
|
1,7 |
0,36832 |
0,34537 |
0,30864 |
0,26763 |
|
1,8 |
0,35021 |
0,31974 |
0,28065 |
0,24057 |
|
1,9 |
0,33049 |
0,29480 |
0,25489 |
0,21644 |
|
2,0 |
0,30994 |
0,27100 |
0,23140 |
0,19498 |
|
2,5 |
0,21235 |
0,17489 |
0,14420 |
0,11889 |
|
3,0 |
0,14096 |
0,11423 |
0,09330 |
0,07636 |
|
3,5 |
0,09496 |
0,07722 |
0,06310 |
0,05152 |
|
4,0 |
0,06601 |
0,05423 |
0,04447 |
0,03627 |
|
4,5 |
0,04749 |
0,03945 |
0,03247 |
0,02645 |
|
5,0 |
0,03528 |
0,02960 |
0,02443 |
0,01988 |
|
6,0 |
0,02112 |
0,01798 |
0,01489 |
0,01205 |
|
7,0 |
0,01375 |
0,01181 |
0,00978 |
0,00788 |
|
8,0 |
0,00949 |
0,00818 |
0,00676 |
0,00540 |
|
9,0 |
0,00688 |
0,00595 |
0,00489 |
0,00388 |
. |
10,0 |
0,00518 |
0,00448 |
0,00367 |
0,00288 |
|