Файл: Каули, Ч. Теория звездных спектров.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 167

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

160

ГЛАВА 3

 

Это значение Дсо, назовем его Дсо*, лежит вблизи «границы» между частями контура линии, сформированными квазистатическим уширением и уширением вследствие столкновений. Гра­ ница, очевидно, не будет резкой, но можно надеяться, что она попадает либо в самый центр линии, либо заходит достаточно далеко в крыло. В каждом из этих случаев можно воспользо­ ваться той или иной подходящей теорией.

В большинстве астрофизических приложений Дсоь лежит да­ леко за видимыми границами линий, и потому оправданно при­ менение лишь теории уширения линий вследствие столкновений. Однако в случае уширения линий электронными соударениями Дсогр лежит в наблюдаемой части контура линии, и точная трак­

товка таких линий наиболее сложна.

 

Величина р, для которой выполняется соотношение

(5.6.1),

определяется из уравнения

 

2п<&п!рп= г»/р.

(5.6.2)

Поскольку всегда п > 1, это соотношение приводит к неожидан­ ному выводу, что при малых прицельных параметрах предпочти­ тельно квазистатическое описание, поскольку при уменьшении р атомные частоты возрастают быстрее, чем частоты возмущения. Значение ргр, при котором удовлетворяется соотношение (5.6.2), является, по существу, радиусом Вейсскопфа. В самом деле,

Pé = (2nVJv)ll(a~l)

(5.6.3)

отличается от р0 уравнения (5.5.16)

только множителем

(<7п/тіо) ‘/(п_1). Обычно этот множитель близок к единице, по­ этому при полуколичественном рассмотрении данного вида уши­ рения можно считать рь —ро- Мы воспользуемся этим допу­

щением, чтобы

привести

наше окончательное выражение для

А(Оь ■= Дк> (р =

р& ~ ро) в

соответствие с выражениями,

давае­

мыми в [20, 158]. Таким образом, получаем

 

Асо&= 2л‘5’,і/р* = ( и Х /2л<^„^)І/(гі-1>-

(5.6.4)

Мы оставили множитель цо в уравнении (5.6.4), а не положили его равным единице, чтобы показать полуколичественный ха­ рактер этого результата (ср. [158, § 78]).

5.7.О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

5.7.1.Элементарная теория. В п. 5.4.2 мы привели распреде­ ление dP(r) вероятности того, что ближайшая к данной точке частица попадает в сферический слой от г до г -f- dr. Используя закон обратной пропорциональности квадрату расстояния

8 = : el r \

(5.7.1)

ТЕОРИЯ УШИРЕНИЯ ЛИНИЙ

І 6 І

можно легко перейти от dP(r) к распределению вероятностей для электрического поля. Если P ( g ) d g — вероятность того, что напряженность электрического поля, вызванного ближайшим зарядом, заключена в пределах от g до g + dg, то элементар­ ная подстановка дает

Р (g) dg = (3g/2) (g0/ g f 2exp [ - (g0/g)Sh] dg,

(5.7.2)

где g о — напряженность нормального поля, определенная ранее соотношением

g Q=

e/rl = е (4яВДѵ\

(5.7.3)

Обычно вводят параметр

ß = g / g 0

и ищут распределение ве­

роятностей для него:

 

 

 

Н (ß) dß =

(3/2) ß_5/2 exp (— ß~'/j) dß.

(5.7.4)

На рис. 5.7.1 мы приводим схематически (сплошная кривая)

распределение //( ß), обусловленное

ближайшей частицей. От­

метим, что для сильных

полей Я ~

ß~7», тогда как

при ß —*0

Н —* 0 экспоненциально.

в ближайших окрестностях

частицы

Распределение поля

точно предсказывает вероятности сильных полей в реальной плазме, так как самые сильные электрические поля всегда опре­ деляются отдельной частицей вблизи рассматриваемой точки. Однако слабые поля всегда являются фоновыми, и здесь вклад отдельной частицы уже не преобладает. Для таких полей урав­ нение (5.7.4) некорректно, как видно и на рис. 5.7.1, где пред­ ставлено (пунктирная кривая) распределение Хольцмарка для многих частиц.

Имеется и другая причина непригодности распределения поля от ближайшей частицы для реальной плазмы — дебаевские кор­ реляции. В реальной плазме расположения положительных и отрицательных зарядов не являются полностью независимыми друг от друга. В среднем каждый заряд окружен «облаком» за­ ряженных частиц противоположного знака. Теория, позволяю­ щая вычислить плотности зарядов в этих облаках, была раз­ вита Дебаем и другими для объяснения наблюдаемого движе­ ния ионов в жидких растворах. Введение в эту теорию дано

вгл. 3.

5.7.2.Распределение Хольцмарка. Задача о распределении

вероятностей напряженности электрического поля в плазме, где заряды повсюду расположены случайным образом, впервые была решена Хольцмарком [78]. Можно значительно упростить обычное изложение, если использовать две «современные» тео­ ремы из теории вероятностей, которые мы приводим ниже.

6 Ч. Каули

162

ГЛАВА 5

 

 

Теорема 1. Пусть X = 2ix t и случайные величины Хі неза-

 

І

висимы. Тогда плотность распределения вероятностей Р(Х) дается обобщенной сверткой плотностей распределения вероятностей Рі (Хі) случайных величин х{ [Под обобщенной сверткой

 

мы подразумеваем вычис­

 

ление

 

свертки

Р\(Х\)

с

 

р2(х2), затем вычисление

 

свертки полученной функ­

 

ции с рг{хг)

и т.

д.]

 

 

 

Следствие.

Преобразо­

 

вание

 

Фурье

плотности

 

распределения

 

вероятно­

 

стей Р (X) дается произ­

 

ведением преобразований

 

Фурье

плотностей

рас­

 

пределения

вероятностей

 

Рі(Хі).

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.7.1. Распределение электрического

Теорема

 

2.

 

Пусть

поля, обусловленного ближайшей частицей.

Р(х 1, х2, ...)

— плотность

Пунктирной кривой приведено для сравне­

распределения

 

вероятно­

ния распределение Хольцмарка (п. 5.7.2).

стей

случайных

величин

 

хи х2, . . . .

которые

яв­

ляются функциями случайных величин у х, у2..........Тогда плот­

ность распределения вероятностей для у\, у2,

... дается соотно­

шением Р(уи у2, ...) =

д (хи х2, ...)

 

 

 

 

s= Р\х 1(у1>у2>• • •)) х2{уі, у2, ...) ,

 

’

(5.7.6)

• • • ] д {уи у2, ...)

где \д(хи х2, .. .)/д(уи Уг, .. •) |— якобиан.

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 1 и ее следствие являются непосредственным обоб­

щением рассмотрения, приведенного в разд.

1.8, и читатель дол­

жен уметь сам проверить их. Смысл теоремы 2 будет ясен, если

понять, что \д(хх,х2,

.. ,)/д(у\, у2,

...) | есть отношение объема

(в гиперпространстве)

dxxdx2 . ..

к объему dyxdy2 . .. (см. [90]).

Детальное рассмотрение этих и связанных с ними теорем можно найти в [120].

Полное электрическое поле & равно сумме полей от п ча­ стиц, находящихся в объеме V:

П

(5.7.6)

Поскольку мы пренебрегаем дебаевским взаимодействием, можно считать, что отдельные поля не зависят друг от друга.

ТЕОРИЯ УШИРЕНИЯ ЛИНИИ

163

Пусть W (ё) d& — вероятность того, что вектор полного электри­ ческого поля заключен в диапазоне от (8Х, <$у, <%г) до ( ёх + d $ x,

&У+ dSy, %г -f d ë z), или в интервале (&, d&).

Выражение для W(é’) можно получить из плотности рас­ пределения вероятностей w(<§i) для полей отдельных частиц на основе теоремы 1 и ее следствия. Функцию W(é’) можно пред­ ставить обобщенной сверткой функций w ( ë t). Следовательно, преобразование Фурье от W(<£)

 

 

со

 

 

F (k) —

J ехр (/к • ё) W (ё) d&

(5.7.7)

будет даваться произведением преобразований Фурье от

w(&t),

т. е.

П

оо

 

 

F (к) = J J

J ехр (/к • &і) w {&і) d ë t .

(5.7.8)

 

l = 1

— ОО

 

Элементы

объема d<$xd<%y d<Sz и d<§xi d<$yi d<§zi, как обычно,

обозначены через dfë и d&{.

 

Распределение w(ëi)

можно найти из соотношения

 

 

 

= еГі/\ гI I3,

(5.7.9)

связывающего напряженность поля и пространственные коорди­ наты (Хі, уи Zi), по теореме 2. Принимается, что плотность рас­ пределения вероятностей для пространственного вектора г* дается отношением элемента объема к объему Ѵ\

P b d d T i ^ d T d V .

(5.7.10)

После некоторых упрощений получается

I д ( ёх1, &уі, %г1)!д (xh Уі, zt) I = 2 е - Ц ë t ГА.

(5.7.11)

Выразив объем V через концентрацию частиц N:

 

 

V — n/N,

 

(5.7.12)

и используя

формулы (5.7.8) — (5.7.11),

можно привести

выра­

жение (5.7.7)

к виду

 

 

 

 

п

оо

 

 

f ( k ) = П

т еЪ-т I exp (/k•

^ |_9/!d & i-

(5-7ЛЗ)

 

1= 1

— со

 

 

Для выполнения предельного перехода п —►оо слегка модифи­ цируем выражение (5.7.13), вспоминая, что

lim [1 — (xjn)]n — ехр (— х),

(5.7.14)

П - > оо

6 *

Смотрите также файлы