ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 163
Скачиваний: 0
ТЕОРИЯ УШИРЕНИЯ ЛИНИЙ |
169 |
а Л/— концентрация электронов. В табл. 5.7.1 приводится рас пределение для нейтрального излучателя, а в табл. 5.7.2 — рас пределение, которое нужно использовать для однократно иони зованного излучателя. Распределения для нейтральной частицы показаны на рис. 5.7.2. Оба семейства распределений исполь зуются при квазистатическом уширении.
ß
Рис. 5.7.2. Распределение |
Н (ß) электрических |
микрополей |
||
в функции безразмерной |
напряженности |
поля ß в окрестностях |
||
незаряженной частицы |
для |
нескольких |
значений |
параметра |
^o/Pd f81J-
Впредельном случае высокой температуры и низкой плот ности дебаевские взаимодействия теряют свое значение, и спра
ведливо распределение |
Хольцмарка. Для звезд типа АО V с Г = |
|
= 10 000 К и N —2- ІО4 |
см-3 получим |
|
r0/pD« |
8,98 • 10- 2n ',sT~'12= 0,02. |
(5.7.33) |
Соотношение почти не зависит от электронной концентрации, так как она входит как корень шестой степени, тогда как тем пература входит под знаком квадратного корня. Поэтому для большинства звезд распределение напряженности электрических полей несильно отличается от хольцмарковского,
170 |
ГЛАВА 5 |
5.8. РЕЗУЛЬТИРУЮЩИЙ КОНТУР ПРИ НЕСКОЛЬКИХ МЕХАНИЗМАХ УШИРЕНИЯ ЛИНИЙ
В гл. 1, посвященной элементарной теории уширения линий, был рассмотрен метод нахождения результирующего контура линии, когда допплеровский эффект, затухание вследствие излу чения и столкновения действуют одновременно. Было показано, что контур, образованный совместным действием двух механиз мов, является сверткой двух отдельных контуров.
К этому результату можно прийти, исходя из теории вероят ностей. Мы уже применяли соответствующие теоремы теории ве роятностей при выводе распределения Хольцмарка. Полное сме щение от центра линии можно представить в виде
М = |
(5.8.1) |
|
І |
где величины ДЯ, — уширения |
Допплера, Штарка, ван дер |
Ваальса и т. п. Если эти различные механизмы уширения неза висимы, то применима теорема, приведенная в разд. 5.7, и мы заключаем, что распределение вероятностей ДА, будет получаться обобщенной сверткой отдельных распределений вероятностей ДА* в согласии с полученным выше результатом.
Для большинства линий, представляющих интерес в астро физике, турбулентный контур принимается гауссовым, а про фили, уширенные столкновениями, считаются лоренцевыми. В та ких случаях результирующий контур описывается функцией Фойгта Н(а,ѵ), нормированной к а. Тепловое и турбулентное уширения объединяются в допплеровскую ширину AXD, а все постоянные затухания складываются, т. е.
у (полное) = у (излучения) + у (штарковское) + у (другие) + . . . .
(5.8.2)
Линии водорода и некоторые линии гелия имеют квазистатические контуры, которые сильно отклоняются и от дисперсион ного, и от гауссова контуров, и результирующие контуры не бу дут функцией Фойгта. Несколько наиболее важных контуров было вычислено различными исследователями, и их результаты представлены в табличной форме. Читатель отсылается к по следним работам, так как в настоящее время вычисления кон туров постоянно уточняются. Мы дадим список последних работ в этой области в следующей главе. Эти табулированные контуры учитывают только уширение давлением и тепловое допплеров ское уширение, так что прежде чем применять их к звездам,
ТЕОРИЯ УШИРЕНИЯ ЛИНИЙ |
171 |
нужно провести свертку табличного контура с контуром, обус ловленным турбулентностью и, может быть, вращением звезды.
Теоретические эффекты давления обычно приводят к смеще нию линии того же порядка, что и уширение вследствие затуха ния. Однако для большинства атомных линий в спектрах Солнца и звезд наблюдаемая асимметрия не превосходит ошибок по строения обеих половин контура линии, так что можно считать контур затухания несмещенным. Строго говоря, нужно исследо вать смещения линий в звездных спектрах, которые в некоторых случаях могут оказаться измеримыми.
ГЛ А В А 6
Квантовомеханическое рассмотрение уширения давлением
6.1.ВВЕДЕНИЕ
Вгл. 1 мы видели, как можно получить классическое выра жение для контура линии, применяя анализ Фурье к временной зависимости электрического дипольного момента. Частотное
распределение интенсивности излучения давалось квадратом У (со)— преобразования Фурье классического диполя у(і)
(разд. 1.1).
Подобным же образом можно получить частотную зависи мость, или энергетический спектр, для квантовомеханической системы. Классическое выражение для дипольного момента нужно заменить его квантовомеханическим аналогом
{m\?(t)\n) |
(6.1.1) |
для перехода между уровнями т и п . Чтобы получить выраже ние для контура линии, необходимо, как и в классическом слу чае, пользоваться либо приближением квазистатического уши рения, либо приближением уширения вследствие соударений. Случаи, когда ни одно из этих упрощений не применимо, пока еще не изучены в деталях,' и в дальнейшем мы не будем их рас сматривать.
Воздействия столкновений продолжаются неограниченно долго, и, очевидно, они непериодичны. Энергетический спектр, вызванный уширением давлением, должен отыскиваться мето дами обобщенного гармонического анализа, приведенного в при ложении II. Вместо преобразования Фурье дипольного момента следует рассмотреть автокорреляционную функцию
Т - * оо |
772 |
(6.1.2) |
|
J |
(m\P(t)\n)(m\P(t + x)ln)dt, |
||
С (т) = lim |
|
|
|
|
-772 |
|
|
где черта сверху означает комплексную сопряженность. Выра жение для контура линии будет тогда даваться формулой
|
оо |
|
I (ш) |
т^т [ С (т) ехр (гит) dx, |
(6.1.3) |
— оо
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ 173
т. е. преобразование Фурье от автокорреляционной функции есть энергетический спектр.
Вследующих разделах мы будем оценивать корреляционную функцию при различных допущениях относительно природы взаимодействий между возмущающими и излучающими части цами. Помимо приближений квазистатического уширения и уширения вследствие столкновений, будут введены и другие упрощающие предположения. Когда будет необходимо учесть траекторию возмущающей частицы, траектория будет считаться классической. Мы не будем пользоваться представлением о пар циальных волнах. Иногда будет необходимо использовать адиа батическое приближение. При рассмотрении уширения вслед ствие электронных соударений мы будем пользоваться также ударным приближением. К сожалению, смысл этого термина в литературе неоднозначен, и мы попытаемся быть очень точными
вего использовании и определении.
Вконце главы мы остановимся на классической траектории и адиабатическом приближении. Ударное приближение будет рассмотрено на примере теории уширения вследствие столкно вений с электронами.
Полученный в итоге контур, объединяющий все источники уширения, должен быть нормирован таким образом, чтобы ин тегрирование коэффициента поглощения по всем длинам волн приводило к уже известному результату:
оо |
|
1 KidX = ^ - m nfnm. |
(6.1.4) |
— оо
По этой причине мы не будем беспокоиться об учете постоянных множителей, которые появятся в наших уравнениях, а вместо знака равенства часто будет употребляться знак пропорциональ ности.
6.2. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ. РЕДУКЦИЯ
Вообще говоря, спектральная линия состоит из набора зеемановских компонент. Кондон и Шортли [29] приводят следую щее выражение для интенсивности излучения в линии:
I W , $) — N (а) |
Лѵ^ |
| (а IР \Ь) |2. |
(6.2.1) |
|
|
|
а, |
b |
|
S4- и $ есть |
уровни, которые |
составлены из состояний |
а и Ь, |
|
о — волновое |
число, ѵ— частота излученной линии, N ( а ) — за |
|||
селенность состояния а. Р есть оператор электрического диполь ного момента, который в общем случае должен рассматриваться как вектор. Суммирование проводится -по всем состояниям, уча ствующим в образовании линии. Нашей квантовомеханической
174 глава б
«системой» будет отдельный атом, который время от времени
подвергается определенным |
возмущениям. |
Гамильтониан для |
системы будет записываться |
в виде Я0 + |
гДе Но — обыч |
ный, не зависящий от времени гамильтониан, а V(t)— завися щее от времени возмущение.
Множители перед знаком суммы в уравнении (6.2.1) меняются с частотой значительно медленнее, чем контур линии*). Следо вательно, удобно опустить их в выражении для корреляционной функции в расчете на конечную нормировку контура [ср. с урав нением (6.1.4)]. Таким образом, можно записать
Г/2
С (т); : lim • |
J |
P{t)\b){a\P{t-\-x)\b)dt. |
(6.2.2) |
Г-» О |
|
|
|
|
- Г /2 ab |
|
|
Ясно, что автокорреляционная функция С(г) есть среднее по времени от подынтегрального выражения. Удобно заменить усреднение по времени усреднением по ансамблю, используя так называемую эргодическую теорию. Для наших настоящих целей нужно лишь знать, что замена среднего по времени сред ним по ансамблю обоснованна. Блестящее рассмотрение этой теоретической задачи можно найти в монографии Ли [103, ch. 7]. Понятие ансамбля дается во всех книгах по статистической ме ханике.
Большинство специалистов по теории уширения линий (Грим, Баранже, Маргено и др.) выражает С(т) прямо как среднее по ансамблю, вводя квантовомеханический оператор плотности р. Этот оператор рассмотрен в [42, 151] и других монографиях. В данном изложении усреднение с использованием матрицы плотности будет проводиться без введения вспомогательной ве личины р (см. также [30]). Запишем
С (т )= І |
Z (а IP (0 lb) (а IP |
+ г) |ft)l , |
(6.2.3) |
I |
ab |
Jcp |
|
где индекс «cp» будет означать усреднение либо по времени, либо по ансамблю.
Перепишем выражение для С(т), используя оператор эволю ции системы во времени T(t, t0) и сопряженный оператор T(t, і0), вводя сумму по полному набору состояний се, ce', ß, ß' и
применяя правила обращения с матричными |
элементами (ср. |
||
[42, §8]): |
|
||
С(т) = |
{ |
2 (b\T(t, t0) Iß) (ß IР° Iа) <а IГ (f, *0)|а > Х |
|
|
I |
а б а а ßß |
|
X |
(а IГ (f + т, fо) I а') (а' I Р° I ß') (ß' IГ (/ -}- т, |
Q | Ь) } . (6.2.4) |
|
____________________ |
Jc p |
||
*) Для самых широких спектральных линий нельзя пренебрегать зависи мостью от четвертой степени частоты.