ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 162
Скачиваний: 0
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ 175
Здесь Р° — оператор дипольного момента для времени to, кото рое можно выбрать как момент совпадения картин Гейзенберга, Шредингера и картины взаимодействия. Введение в квантово механическую теорию, необходимое для понимании этих опера ций, и дальнейшие ссылки даются в приложении III.
Отметим, что сумма по а и b в уравнении (6.2.1) берется не по полной системе состояний, так как а и b представляют лишь состояния, обусловливающие данную линию. Но можно рассмо треть следующую ситуацию. Пусть атом находится в одном из состояний а или 6 в момент времени t0. Если возмущения, дей ствующие на систему, никогда не приводят к переходу атома с уровня, на котором он находится в момент to, то состояния уровня образуют полный набор состояний для физической си стемы и эту систему можно сделать ортогональной. Будем те перь считать, что все возмущения, приводящие к уширению давлением, таковы, что суммы по а и b берутся по полной орто гональной системе.
Конечно, поле излучения вносит возмущения, которые пере водят атом из состояния а в состояние Ь. Мы пренебрежем та кими возмущениями в выражении для корреляционной функ ции, обусловленной уширением давлением, так как контур за тухания вследствие излучения уже рассматривался. Мы также пренебрежем столкновениями первого и второго рода для пере хода S& —► Пока мы считаем их настолько редкими, что обус ловленный ими контур затухания гораздо уже контура, вызван ного другими эффектами давления.
При |
этих предположениях удается записать уравнение |
(6.2.4) |
в форме, которая содержит лишь интервал времени от t |
до t + т. Свойства Г-операторов позволяют исключить сумми рование по а из (6.2.4):
2<<*| T(t, t0) I а) (а I Т (t + т, t) Т (t, t0) |а') = |
|
а |
|
= < а | Г ( г + т , 0 | а ' ) . |
(6 . 2 . 5 ) |
Используя аналогичный результат для суммирования по Ь, по лучим
С (т )= { 2 |
(ß I Р° Iа) (а' |Е° I ß) (а' | Г(^ + |
т, *)|а )Х |
|
I aa'ßß' |
|
|
|
|
Х ( Р ' І П * + |
Т, о Iß)} . |
(6.2.6) |
|
|
J c p |
|
Здесь введено |
обозначение <а'| Г| а) = (а'| Т\а). Таким |
обра |
|
зом, звездочка над оператором означает, что нужно брать ком плексно-сопряженное матричного элемента, который получается действием оператора без звездочки.
176 ГЛАВА б
Уровни а, a', ß, ß' были введены первоначально как члены полной системы ортогональных состояний. На основе общего
допущения о полноте состояний уровней sé- и |
можно пони |
мать под а и а' только состояния внутри s&, |
а под ß и ß' — |
только состояния внутри 38. По существу, мы разделили наш
атом на две отдельные системы верхнего (b, |
ß, ß', ...) |
и ниж |
|
него (а, а, а', |
...) состояний. Таким образом, |
целесообразно пе |
|
реписать уравнение (6.2.6) в форме |
|
|
|
С ( т )= { 2 |
P l t f W i W v ' l T 1 (t + x,t)Tu{t + r,t)\af>))\ |
. (6.2.7) |
|
I aa'ßß' |
|
J cp |
|
*
Индексы I и u введены для того, чтобы подчеркнуть, что Т дей ствует только на нижние, а Т— только на верхние состояния. Уравнение (6.2.7) — просто новая формулировка уравнения (6.2.6) в других обозначениях. Мы записали матричный эле мент Р с индексами, чтобы избежать длинного выражения, и ис
пользовали тот факт, что элементы P^ß действительны. Двойной угловой скобке можно придать более глубокую интерпретацию, чем просто компактное обозначение, но здесь нам это не нужно (см. [9]). Читателю, который желает познакомиться с развитием этой теории по оригинальным статьям, укажем, что наши обо значения более соответствуют обозначениям Грима [62—68], не жели Баранже [9].
Оператор эволюции во времени U в картине взаимодействия
определен таким образом [см. уравнение (III. 4.7)], что |
||||||
|
Т (t + |
т, t) = exp (— iH0r/h) U (t + |
т, |
t), |
(6.2.8) |
|
где |
Н0— оператор |
Гамильтона |
невозмущенной |
системы. Если |
||
это |
соотношение используется |
в уравнении |
(6.2.7) |
и если мы |
||
рассматриваем |
представление с диагональным оператором Га |
||
мильтона (разд. III. 3), то |
|||
С (т )= |
2 |
|
PaßPa'ß'eXp(— ш0т) X |
|
aa'ßß' |
|
|
|
X |
{«Ot'ß' I u l (t + T, t) Uu(t + T, t) I aß»)cp. (6.2.9) |
|
Здесь постоянные операторы дипольного момента и экспонента вынесены за скобки, в которых производится усреднение по вре мени, а о)0 — частота центра линии. Пренебрегая временно по лями ионов (разд. 6.5), получаем
Щ = (Еѵ — Е а)ІП. |
(6.2. 10) |
Величины Е являются собственными значениями энергии опе ратора Но.
В самом простом случае имеется единственное нижнее со стояние. Если также пренебречь возмущениями в результате
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ 177
столкновений, то оператор эволюции в картине взаимодействия становится единичным оператором, а выражение в двойных уг ловых скобках в уравнении (6.2.9) становится равным единице
и
С (т) ос ехр(— ш0т). |
(6.2.11) |
Используя преобразование Фурье, находим, что распределение интенсивности / (со) определяется соотношением
/ (со) ос б (ю— ©0). |
(6.2.12) |
Таким образом, при отсутствии уширения давлением и других механизмов уширения контур линии описывается дельта-функ цией с частотой в центре ©о-
6.3. УШИРЕНИЕ ЛИНИЙ ВСЛЕДСТВИЕ СТОЛКНОВЕНИЙ. УДАРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
В этом разделе мы получим в явном виде выражение для ве личины
{«<z'ß'|C/“ (/ + T, t)Ul {t + x, 9 Ісф »ер. |
(6.3.1) |
Для этого потребуется сделать ряд допущений, совокупность которых мы будем называть ударным приближением. Хотя ре зультаты будут справедливы для нескольких типов взаимодей ствий, мы будем иметь в виду главным образом уширение вслед ствие столкновений с электронами.
Ударное приближение было введено для того, чтобы решить две задачи, возникающие при рассмотрении водородных линий. До работы Кольба (см. [96]) уширение линий водорода обычно целиком относилось на счет квазистатических полей ионов, а электронные столкновения пренебрегались. Работа Кольба по казала, что электроны вызывают неадиабатические эффекты, ко торые могут дать существенный вклад в ширину линии. Кроме того, стало понятно, что необходимо рассматривать ядра водо родных линий как сумму перекрывающихся штарковских ком понент. Последовательное решение задачи «накладывающихся линий» и неадиабатических взаимодействий было одновременно выполнено Баранже [9] и Кольбом и Гримом [96].
Выведем дифференциальное уравнение для (6.3.1). Для удоб ства будем использовать операторы, а не матрицы, хотя послед
ние также можно использовать |
(разд. III. 3). |
Рассмотрим малое |
|
приращение |
(6.3.1) |
|
|
Л [Ua(t + |
т, t)Ul {t + x, 0}ср = |
|
|
= {[£/“ (t -j- т + Ат, t + т) и 1 {t + т + Ат, t -f т) — 1] X |
|||
X [£/“(f + T, t)Ul (t + x, |
0]]Ср. |
(6.3.2) |
|
178 ГЛАВА 6
При выводе (6.3.2) использовалось одно из свойств операторов эволюции во времени.
Пусть можно найти такое Дт, чтобы выполнялись следующие условия:
1) два множителя в правой части (6.3.2) статистически не зависимы, и, следовательно, среднее произведение равно произ ведению средних;
2)Дт достаточно мало, чтобы можно было перейти от раз ностного уравнения (6.3.2) к соответствующему дифференциаль ному уравнению;
3)столкновения происходят последовательно во времени и независимо одно от другого.
Под ударным приближением мы и будем понимать выполне ние этих трех условий.
Третье условие в действительности не является независимым от двух других. Оно предполагает использование первого неис чезающего члена в теории возмущений. В общем случае, если две возмущающие частицы действуют одновременно на излу чающий атом, результат не сведется к сумме воздействий каж дой частицы в отдельности. Другими словами, в общем случае возмущения нелинейны. Мы принимаем, что таких нелинейных взаимодействий не происходит. Иногда возмущения, вызванные одной возмущающей частицей, столь велики, что нельзя учесть действие второй частицы без введения нелинейности. Но можно приближенно учесть такие сильные возмущения, принимая, что они происходят неодновременно и независимо от более слабых возмущений.
Можно подразделить все столкновения на две категории: слабые и сильные. Пусть имело место столкновение в интервале времени между t\ и t2, и пусть в момент t\ атом находился в со стоянии а. Рассмотрим величину
А = \{a\T(t2, * ,) - 1 |<х>|, |
(6.3.3) |
где T(t2, /]) — оператор эволюции во времени *). Если А <С 1, то назовем столкновение слабым, в противоположном случае — сильным. Из того что столкновение приводит к переходу из со стояния а, еще не следует, что столкновение сильное. Если бы, например, столкновение вызвало изменение фазы (волновой функции, зависящей от времени) на я/2, то мы имели бы
А = У 2. Не существует четкой границы между слабыми и силь ными столкновениями, что вызывает некоторые трудности. Од нако это прочно установившаяся и полезная терминология.
*) Поскольку берется абсолютная величина, в (6.3.3) можно использорать символы U или Т,
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ 179
Согласно Баранже [9], сущность ударного приближения со стоит в том, что в среднем столкновения являются слабыми, фактически в этом утверждении уже содержится три указанных выше допущения, и полезным упражнением (которое мы остав ляем читателю) будет проанализировать, почему это так.
Положим
{Vй (t + |
т + Дт, t + т) LJ1 (t + т + Ат, t + т) — 1 }ср = |
= |
ехр [г (#о — Но) т/й] ф ехР [— і (Но — Но) т/й] • Ат. (6.3.4) |
Поскольку |
усреднение ведется по всему |
интервалу времени и |
по всем ансамблям, очевидно, что определенный выше оператор |
||
ф зависит |
от интервала Ат и не зависит |
ни от какого данного |
момента времени |
/ +. т. |
Дифференциальным уравнением для |
||
(6.3.1) будет |
|
|
|
|
4 f { U a(t + т, |
/) Ul (t + т, |
/))ср = |
|
|
= ехр [і (Яо — Яо) т/й]ф ехр [— і (Яо — Но) т/й] X |
|
|||
X I U“(t + T,t)Ul (t + |
%, t)}cp |
(6.3.5) |
||
с решением |
|
|
|
|
{Ua(t + x, t)Ul (t + x, |
Olcp = |
|
|
|
= ехр {/(Яо — Яо) т/й} ехр {— г(я “ — Яо) т/Й + Фт]. |
(6.3.6) |
|||
Следовательно, корреляционная функция в операторных обозна чениях принимает вид
С (т) ос ехр {(— гсоо/Й + Ф) т}. |
(6.3.7) |
Поскольку в (6.3.7) входит множитель ехр(Фт), не сразу оче видно, что С (т )= С(—т), как это должно выполняться для кор реляционной функции. Чтобы разрешить это кажущееся проти воречие, нужно вернуться к уравнению (6.3.2) и, заменив т на
—т, повторить вывод. Тогда получим, что Ф имеет противопо ложный знак. В общем случае Ф будет комплексным операто ром, и мы будем считать, что его действительная часть отрица тельна, чтобы обеспечить спад С(т). Мнимая часть Ф дает сме щение линии, а действительная часть — ее ширину.
Контур линии пропорционален преобразованию Фурье от
(6.3.7): |
|
/ ( 0) — ш0) ос Re{ . ( ш_ ^ ) + ф-} . |
(6.3.8) |