ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 159
Скачиваний: 0
180 г л а в а е
Чтобы получить численные значения, нужно от операторной за писи перейти к матричной:
1 |
aß)). |
(6.3.9) |
a'ß' І (со — Wo) + Ф |
ста'
ßß'
Выражение в двойных скобках в (6.3.9) является матричным элементом обратного оператора [соо как оператор равен
(#о — Но)/ h], так что сначала необходимо найти матричные эле менты /(со — соо)+Ф, а затем обратную матрицу. Эта операция может оказаться очень трудоемкой, так как в общем случае порядок рассматриваемых матриц равен произведению чисел элементарных состояний на верхнем и нижнем уровнях. При рас смотрении линий водорода пренебрегают спиновым вырожде нием, но для линии Н6 все же требуется обратить матрицу по рядка 22-62 = 144. Очевидно, что для более высоких членов бальмеровской серии нужно прибегнуть к аппроксимациям.
Приближенное рассмотрение обращения матриц высокого порядка было использовано Мозером [115] в его работе по во дороду. В одном случае обращение матрицы тривиально — это случай диагональной матрицы. Тогда элементы обратной ма трицы являются просто обратными матричными элементами. Можно воспользоваться этим фактом для обращения матриц, у которых недиагональные элементы малы. Пусть, следуя Мо зеру, В — такая матрица, а А — диагональная матрица. Тогда имеем
7 T T = T - i ßi + i ßi |
e T - |
<6-3'10> |
В качестве А Мозер взял матрицу /Асо + |
Ф', где Ф' — матрица, |
|
составленная из диагональных элементов |
Ф. Тогда для обраще |
||
ния |
нужно взять В — Ф — Ф'. |
Конечно, |
гораздо проще иметь |
дело |
с правой частью (6.3.10), |
чем с левой. Мозер нашел, что |
|
в естественном представлении эффекта Штарка, т. е. в пред ставлении параболических координат, не только гамильтонианы
Но и Но диагональны, но и Ф «заметно» диагонально, так что можно использовать разложение (6.3.10).
Энергетические уровни Еи и Е1 могут расщепляться квази статическими полями, вызванными ионами. Следовательно, ус реднение по ансамблю должно проводиться по распределению электрического поля. Таким образом, окончательное выражение для контура линии будет
/ (Асо) сс |
|
1 |
|
І (ü) —(Qq) Ф aß)M ^)- |
|
о |
cta' |
Pß' |
(6.3.11) |
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ 18)
Здесь функция Н описывает плотность распределения вероятно стей электрического поля (разд. 5.7). Полезно переписать это уравнение в форме, которая показывает усредненное со0 = = (Еи — Е1)Ш в функции электрического поля &. Если S Ф О, то соо не является истинным центром линии. Обозначим через со0о истинный центр линии, а через io0 — со0о = А а/— смещение, вы званное (%. Тогда можно усреднять по функции распределения Я (Асо') Для Асі/, и (6.3.11) примет вид
|
і (Ди — Ди') + Ф |
где |
(6.3.12) |
|
|
Асо = (о — со00. |
(6.3.13) |
6.4. ОЦЕНКА Ф ДЛЯ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ СПЕКТРОВ
Прежде чем оценивать Ф, сделаем несколько замечаний от носительно физической картины, принимаемой для усреднения
вуравнении (6.3.4). Для примера рассмотрим усреднение по ан самблю совсем простой «системы», которую нужно модифициро вать, если рассматривается действительная физическая ситуа ция. Однако принимаемая картина исключительно близка к той, на которой часто основаны практические вычисления.
Пусть система состоит из одного атома, подверженного воз мущениям одной частицей, и только одно соударение происходит
винтервале времени t = —оо, t — + о о . Такое соударение опи сывается на рис. 6.4.1 прямой линией — классической траекто рией возмущающей частицы. Ансамбль состоит из всех возмож ных систем такого вида.
Будем считать, что нет предпочтительного направления в про странстве или предпочтительной ориентации траектории возму щающей частицы. Стоит только рассмотреть все возможные столкновения, т. е. выполнить усреднение по ансамблю, как ста нет очевидно, что результат должен обладать сферической сим метрией. Можно наглядно показать это, детально проводя некоторые этапы усреднения по ансамблю (см., например, [31]). Здесь же мы приведем аргументацию, основанную на физиче ских предпосылках, согласно которой все нечетные функции для
возмущающей частицы и атомные координаты обратятся в нуль при усреднении по ансамблю, а все четные функции должны быть сферически симметричными. Таким образом, если х н у — координаты атома, то при усреднении по ансамблю матричные элементы х, у, ху и т. п. обратятся в нуль, а выражения вида х2
182 ГЛАВА 6
или у2, которые получились при данной ориентации, показанной на рис. 6.4.1, станут равными г2/3. Аналогично нечетные функции ( R) v = Р и (Ѵ)х = V должны обратиться в нуль при усреднении
по ансамблю, так как знаки плюс и минус у р и ѵ будут встре чаться в ансамбле с одинаковой частотой. Хотя р и ѵ будут иногда появляться в наших формулах, но только в смысле зна чений I р| и IVI, которые не исчезают при усреднении.
Иногда мы будем обращаться к среднему по сфере, чтобы описать усреднение по ансамблю, при котором х2 становится г2/3 и т. д. Несколько результатов усреднения по сфере пред ставлено в табл. 6.4.1.
|
|
В е л и ч и н а |
X, у . Z, х у , х у 2 и т. д. |
||
X 2, |
у 2, |
Z 2 |
X4, |
у 4 , |
Z 4 |
х 2у г , x 2z 2 и т. д.
к р и р ' и 2
Таблица 6.4.1
З а м е н я е т с я п ри с ф е р и ч е с к о м у с р е д н е н и и на
0
г213
г4! 5
г4/ 1 5
( 2 / + 1 ) _ І 2 \{aJM \r\a'J'M')\2
ММ '
1(Рк1 1Р')|* |
( 2 / + I ) - 1 2 l ( a / A f 1 г2 1 аЧ'М')\2 |
|
ММ ' |
Из табл. 6.4.1 следует, что матричные элементы г нужно ин терпретировать как усреднение по 2/ + 1-кратно вырожденному состоянию ß — aJM. Этот результат включен в табл. 6.4.1 для справки. Он наиболее полезен при рассмотрении отдельных ли ний (ср. разд. 6.9).
Усреднение также проводится по возможным значениям ско рости возмущающей частицы и по всем значениям прицельных параметров. При этом используются функция распределения скоростей (распределение Максвелла) и прицельные пара метры, которые будут введены в дальнейшем.
Оператор Ф определяется соотношением (6.3.4). Если пере нести начало отсчета времени с t — 0 на t — т, то экспонента исчезнет*). Поскольку усреднение будет проводиться по множе ству столкновений, в котором времена фактических столкновений не коррелированы, то можно сосредоточить внимание на интер вале Ат, в течение которого совершается столкновение. Далее, поскольку возмущения быстро спадают к нулю, можно распро странить интегрирование в выражении для U от — оо до -J- оо.
*) См. разд. III. 5. При эволюции U(оо, —оо) столкновение считается «сосредоточенным» в t = 0. Это означает, что малыми фазами порядка ДЯр/ufi пренебрегают.
КВЛНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ 183
Пусть Q — полное поперечное сечение столкновений, которые совершаются через интервалы времени Ат и удовлетворяют ус ловиям ударного приближения. Тогда для частоты таких стол кновений с возмущающими частицами, имеющими скорости ме жду V и V + dv, можно записать
|
|
|
1/Ат = Nf(v)Qvdv, |
(6.4.1) |
|
где |
N — полное |
число возмущающих |
частиц, |
f ( v ) — максвел |
|
ловское распределение скоростей. |
|
|
|||
|
Таким образом, получаем |
|
|
||
|
оо |
|
|
|
|
Ф |
= | |
f { v ) d v \ |
^ ^ - N Q ü { U u{oo, |
— оо) [/'(оо, — оо) — 1}ср. |
|
|
о |
|
|
|
(6.4.2) |
|
|
|
|
|
|
Отметим, что поперечное сечение Q, которое определено соотно |
|||||
шением |
(6.4.1), |
сокращается. Мы ввели его, |
чтобы наглядно |
||
показать усреднение по прицельному параметру р. Пределы ин тегрирования по р умышленно опущены (см. ниже). Индекс «ср4» сохраняется в (6.4.2), поскольку усреднение по ансамблю должно также распространяться на ориентацию атома и воз мущающей частицы.
Оператор эволюции во времени в картине взаимодействия
разлагается по возмущениям (см. |
приложение III |
и приведен |
ные в нем ссылки) следующим образом: |
|
|
и (Ат, 0) = 1 — (і/А) JДт V' (/,) dtx— |
|
|
о |
|
|
Дт |
tt |
|
~ { \ т J V (f,) dtl j V' (t2) dt2+ |
(6.4.3) |
|
о |
0 |
|
причем оператор V'(t) связан с |
гамильтонианом |
возмущения |
V(/) соотношением |
|
|
V' (t) — exp (iH0t/h) V (t) exp (— ІН4ІЩ. |
(6.4.4) |
|
Одним из упрощений при рассмотрений водородоподобных спек тров является возможность пренебречь экспонентами в (6.4.4) вследствие почти полного вырождения верхнего и нижнего со стояний. Это верно только в нашем конкретном приближении, когда верхние и нижние состояния можно считать независимыми. Отметим, что все операторы V в (6.2.9) обозначены индексами и п І я что они действуют только на верхние или нижние состояния