Файл: Каули, Ч. Теория звездных спектров.pdf

184 ГЛАВА 8

соответственно. Таким образом, матричные элементы ІІи бе­ рутся только по отношению к верхним состояниям и т. д. Если мы выберем обычное диагональное представление для энергии (ср. разд. III. 3), то в матричных элементах все экспоненты исчезнут *).

Вследствие общего допущения о том, что соударения не мо­ гут происходить одновременно, и поскольку возмущения спа­ дают к нулю при больших расстояниях между возмущающей и подверженной возмущению частицами, можно расширить пре­

Первое слагаемое представляет собой взаимодействие атомного дипольного момента с возмущением, а второе — квадрупольное взаимодействие, причем второе слагаемое приводится лишь для дальнейших ссылок, а здесь мы ис-

результаты перемножаются. Все дипольные члены первого по­ рядка обращаются в нуль, когда берется усреднение матричных элементов по всем углам **). Поэтому первыми не обращающи-

*) Такое приближение используется только при вычислениях уширения линии одними электронами. Электрическое поле ионов все же снимает часть вырождения, и экспоненты полностью не исчезают.

**) Т. е. по всем ориентациям R относительно і\

КВАНТОВОМЕХАНЙЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИр ЕМИЯ ДАВЛЕНИЕМ 185

мися в нуль в результате усреднения членами станут члены вто­ рого порядка и один «перекрестный» член:

Мы опять использовали индексы «и» и «/» в гамильтониане воз­ мущения К, которые вводились отдельно для Vй и U1, чтобы по­ казать, что матричные элементы этих операторов могут браться соответственно только по отношению к верхнему и нижнему со­ стояниям.

Рассмотрим первый член в правой части уравнения (6.4.6).

Мы пишем просто «интеграл» для одного из двойных интегра­ лов, поскольку его коэффициент обратится в нуль при усредне­ нии по ансамблю.

Двойные интегралы можно упростить следующим путем. Ин- . тегралы берутся по полуплоскости, заштрихованной на рис. 6.4.2. Однако подынтегральные выражения инвариантны по отноше­

умножив на У2. Двойные интегралы сводятся к квадратам одно­ кратных интегралов. Третье слагаемое в (6.4.7) содержит инте­ грал нечетной функции от — оо до + оо и потому обращается в нуль. Первый интеграл вычисляется при помощи формул

186 ГЛАВА б

разд. 5.5, и в результате имеем

Перекрестный член первого порядка после усреднения по сфере равен

Таким образом, выражение для Ф можно записать в следующем виде:

Интегралы по p в (6.4.10) логарифмически расходятся по обоим пределам. Эта трудность имеет место всегда, когда необ­ ходимо проводить усреднение по прицельному параметру, и с ней встречаются исследователи звездной динамики. В приведенном виде теория ошибочна и для больших, и для малых р, так что имеет смысл ограничить пределы интегрирования значениями р, начиная с которых теория больше не верна.

а. Для больших р вследствие дебаевских взаимодействий электрическое поле, воспринимаемое излучателем, будет пре­ небрежимо малым. Это дает

Второе соображение заключается в том, что длительность столк­ новения должна быть такой, чтобы оставалась применимой кон­ цепция уширения вследствие соударений в противоположность квазистатическому приближению (ср. разд. 6.7). Таким образом, смещение частоты Дсо линии должно быть меньше частоты со­ ударения, откуда следует

Согласно [63], нужно брать меньшее из значений ртах, даваемых

(6.4.11) и (6.4.12).

б. Для все меньших И Меньших прицельных параметров на­ рушается предположение о том,'что среднее соударение является слабым или что теория возмущений применима. Пусть в урав­

КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ [87

При

(а [ г I а) ~ п2аа= п2Н2/те2

имеем

Сильное столкновение (р < pmin) можно приближенно учесть, вводя простое допущение (см. заключительные замечания в разд. 5.5) о том, что

Знак минус приходится брать для совместимости с уравнением

(6.4.10). С учетом (6.4.14) находим

Эту величину можно ввести как поправку, учитывающую силь­ ные столкновения, к результату интегрирования (6.4.10) от рт!П

ДО Р та х -

Тогда имеем

<D = - f g ^ j V { f(v) ^ { s + [(r“)2- 2 r “ - r 4 ( r ;)2] l n - ^ } ,

При этом нужно подставлять главное квантовое число п верх­ него состояния, поскольку расщепление из-за эффекта Штарка растет пропорционально п2.

Чтобы оценить оператор Ф для ионизованного гелия и дру­ гих водородоподобных атомов, нужно анализировать орбиты заряженных частиц и учитывать отклонение траектории от пря­ молинейной. Мы не будем подробно останавливаться на этом анализе, так как принципы его те же, что и при расчете водо­ рода, а алгебраические выкладки хорошо объясняются в [63].

Выводом формулы (6.4.17) мы закончили теоретический рас­ чет штарковского контура для водорода. Чтобы получить чис­ ленный результат, фактически нужно произвести вычисления матричных элементов Ф, которые включают отыскание матрич­ ных элементов г и г2. Для системы с одним электроном опубли­ кованы аналитические выражения (см., например, [12]). Окон­ чательные матричные элементы объединяются затем с «триви­ альными» матричными элементами і (со — соо), и полная матрица

должна обращаться методом, рассмотренным в разд. 6.3. Нако­ нец, контур линии вычисляется по уравнению (6.3.12). Ряд таких контуров опубликован (см. разд. 6.6). Детальные вычисления приводят к необходимости получения приближенной формулы для крыльев линии, которая рассматривается в следующем раз­ деле.

6.5. МОДИФИЦИРОВАННОЕ УДАРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРЫЛЬЕВ ЛИНИЙ

Пусть ос (ДА)— зависящий от длины волны коэффициент по­ глощения, обусловленный действием электронов и ионов, а ссДДА)— аналогичный коэффициент, обусловленный действием одних только ионов (ср. разд. 6.7). В ударном приближении отношение а (Да)/а; (ДА,) является простой функцией длины волны, температуры Т и электронной концентрации N. Тогда можно записать [68]

Функция R(N, Т) затабулирована в [62, 68] для нескольких во­ дородных линий и двух линий Hell.

Формула (6.5.1) содержит два члена. Первый пропорциона­ лен (ДА)~5А, т. е. имеет зависимость квазистатического уширения, вызванного ионами, а второй имеет зависимость (ДА)'2, характерную для уширения вследствие столкновений. Рассмо­ трим более подробно второй член.

Из общего рассмотрения гл. 5 следует, что в далекой обла­ сти крыльев электроны будут уширять квазистатически. Дей­ ствительно, в разд. 5.6 мы оценили расстояние Дсоь в крыльях линий, за которым целесообразно применение квазистатической теории.

В разд. 5.6 Дсог, было выражено через постоянную взаимо­ действия ^ „ и параметр цп{Ці = я). ^2 можно найти приравни­ ванием изменения энергии АЕ атома в электрическом поле & величине йДсо, где

Выражение для ДЕ выведено во многих книгах по спектроско­ пии и атомной физике, довольно полное рассмотрение его приво­ дится в [12]. Если электрическое поле записать как е/г2, то

где пк — разность между квантовыми числами верхнего и ниж­ него состояний, ответственных за k-ю штарковскую компоненту.