ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 155
Скачиваний: 0
КВАН ТО ВО М ЕХА Н И Ч ЕС К О Е РАССМ ОТРЕН ИЕ У Ш И РЕН И Я Д А ВЛ Е Н И Е М 189
Следуя Унзольду [158, § 82], определим среднее значение nh по средством соотношения
«* = 2 % /* /£ /* , |
(6.5.4) |
где /ft — интенсивность k-й штарковской компоненты. Таким об разом, можно записать среднее
2л^2 = ^кпк/2/п. |
(6.5.5) |
Подстановка в (5.6.4) дает критическую границу для круговой частоты:
Лш0 = 2v2mr\lj3qlhnk. |
(6.5.6) |
Перепишем (6.5.6) таким образом, чтобы привести его в |
соот |
ветствие с аналогичным выражением, данным в [63]. Установле но, что для оценки (6.5.4) с точностью до множителя 2, а обычно
даже более |
высокой, |
можно брать ііь — п2/3, где |
п — главное |
|
квантовое число верхнего |
состояния. Учитывая это и полагая |
|||
V2 = 3kT/m, |
получим |
для |
критической границы, |
выраженной |
в длинах волн, |
|
|
(6.5.7) |
|
|
АХь = (6цЦп2)ХаІгТ/2лсПп2. |
|||
Это выражение можно согласовать с аналогичным выражением,
полученным Гримом, если |
выбрать тіо таким, чтобы величина |
в круглых скобках (6.5.7) |
стала равной единице. К сожалению, |
нельзя оценить (6.5.7) точнее чем до порядка величины. Мы не можем точно сказать, нужно ли выбирать г)о таким, чтобы вы ражение в круглых скобках равнялось единице, или я, или, мо жет быть, 1/я! Экспериментальные работы заставляют считать, что в некоторых интересных для астрофизики случаях АХь лежит достаточно близко к ядру линии, так что при низкой электрон ной концентрации можно считать электронное и ионное уширения линии полностью квазистатическими. Читателя, желающего подробнее познакомиться с этим вопросом, отсылаем к статье [46] и приведенной в ней библиографии. См. также [64].
Кроме границы АХъ или Аюь, нужно также рассматривать границу АХр, которая появляется из-за нарушения столкновительного приближения вследствие плазменных взаимодействий при значениях р, превышающих дебаевский радиус. Важно под черкнуть, что многократные соударения (рассматриваемые так, как если бы они происходили по одному во времени) при боль ших р вызывают большее уширение, чем столкновение с бли жайшей частицей. Это происходит потому, что для линейного эффекта Штарка сдвиг фазы г) уменьшается как р_І, в то время как число возмущающих частиц растет как р3. Таким образом, дальние столкновения более эффективны, чем ближние, и если бы не плазменные взаимодействия, то имелась бы расходимость.
190 |
ГЛАВА 6 |
Расстояние, на котором плазменные взаимодействия компен сируют действие далеких столкновений, соответствует «точке» Д<Ор на контуре. В области от центра линии до точки Дсор должно выполняться столкновительное приближение.
Величину Дшр (соответственно ДЯр) можно оценивать просто как ДЮр = v/pD, тогда *)
AAp = A2(16e2JV/n2mc2)'\ |
(6.5.8) |
где N — электронная концентрация. Обычно, хотя |
и не всегда, |
ДЯр AXfr.
Грим [63] привел для крыльев линий водорода серию формул, которые осуществляют плавное соединение следующих трех об ластей: области справедливости ударного приближения ДЯ < Д Я р ; следующей области, примыкающей к квазистатической, ДЯР <
<ДЯ <С ДЯ&; квазистатической области для ионов и для элек
тронов ДЯ < ДЯб.
Эта система формул, названная Гримом модифицированным
столкновительным приближением, имеет вид |
|
|
|||||
1 |
"Ь [ДЯ& ^ -Г R (іѴ, |
Г)] [/ДЯ для Д Я <С ДЯр, |
|
||||
а (ДЯ) — аг (ДЯ) 1 + |
,, |
R (Ny |
Т) |
In (ДЯ./ДА) |
К ая |
|
|
ДЯь 11+ |
к ЬІ 1 |
(6.5.9) |
|||||
|
|
|
ln (ДЯ6/ДЯр) |
|
|||
|
|
|
|
для ДЯ. < |
ДЯ < АЯЬ, |
|
|
2 |
для ДЯ < |
ДЯ6. |
|
|
|
|
|
Павлов и Прасад [123] модифицировали вторую формулу на основе экспериментальной работы. Их результаты совпадают с пересмотренными результатами Грима [64]. Они дают
а (ДЯ) = |
а; (ДЯ) |
ln (2ДЯЬ/ДЯ) ■ |
|
2ДЯь'Іг + R(N, Т) |
(6.5.10) |
||
|
|
I" (АѴДЯр) . |
|
для ДЯ < |
2ДЯь. |
|
|
|
6.6. |
ЗАМЕЧАНИЯ О СУЩЕСТВУЮЩЕЙ ТЕОРИИ |
|
|
ШТАРКОВСКОГО УШИРЕНИЯ ЛИНИЙ |
ВОДОРОДА |
|
Кеппел и Грим [93] провели вычисления контуров линий На, Hß, Ну и Нб с учетом дальнейших уточнений при выводе фор мулы (6.5.9). Для распределения электрического поля были ис пользованы вычисления Хупера [81]. Кроме того, ограничению прицельного параметра было уделено больше внимания, чем
*) Небольшие расхождения результатов, полученных по этой формуле, могут быть следствием использования различных выражений для ѵ.
КВАНТОВОМЕХАНИЧЁСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ 191
в разд. 6.5, и введена малая поправка для учета квадрупольных взаимодействий.
Мы не станем подробно описывать эти вычисления, поскольку принципы, лежащие в их основе, являются лишь логическим продолжением уже рассмотренных нами. По существу, следует предпочесть эту работу модифицированному ударному прибли жению.
В работе [46] вычислены контуры водородных линий при ус ловии, что уширение электронами является квазистатическим по всему контуру. Это предположение подтверждается лаборатор ными измерениями при низких плотностях.
Если в литературе имеются две противоречащие друг другу теории водородных линий, то астроном должен либо полностью пренебречь линиями водорода, либо найти некоторую основу для выбора подходящей теории. Мы надеемся, что наш анализ мо жет оказать некоторую помощь в решении последней задачи.
В идеале нужна такая постановка задачи об уширении ли нии, в которую не вводится ни квазистатическое приближение, ни приближение уширения линии вследствие столкновений. Повидимому, пока эта грандиозная задача не будет решена, наши теории будут требовать все новых усовершенствований.
6.7.КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
Оператор Т эволюции системы во времени |
удовлетворяет |
уравнению Шредингера (см. приложение III) |
|
дТ = НТ. |
(6.7.1) |
dt |
|
Если Я — функция времени, то можно записать формальное ре шение уравнения (6.7.1):
Т (I!, tQ) = exp |
(6.7.2) |
|
и |
Вообще этот оператор не будет диагональным, так как Я со держит зависящие от времени возмущения и возможны пере ходы. Адиабатическое приближение предполагает Я(/) таким, что оператор Т фактически диагоналей. Мы рассмотрим адиаба тическое приближение более подробно в разд. 6.8, а здесь от метим, что если оператор T(t, t0) диагоналей, а |Я(/0) ) — соб ственный вектор Я в момент t0, то
Т {t, to) IЯ {to)) = I exp " H |
Я (/о)). (6.7.3) |
192 |
ГЛАВА 6 |
где скаляр Н' (/) является суммой собственных значений энер гии невозмущенной системы и энергии возможных возмущений. Это означает, что наша система не перескакивает из одного квантового состояния в другое в результате эволюции во вре мени, а вектор состояния лишь умножается на фазовые множи тели, которые отличаются от невозмущенных значений.
Вернемся к выражению (6.2.3) для корреляционной функции и выполним преобразование типа TP(t)T и т. д. Если мы вос пользуемся диагональностью операторов 7 и Г, то придем к ре зультату
]£] I |
Г |
|
і +х |
|
|
|
|
Раб I2 exp |
- j r |
j [H'b(t')-H'a(t')]dt' |
|
(6.7.4) |
|||
{ab |
L |
|
t |
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
Щ (*') - |
H'a (О = |
АЯ'(0 + |
|
|
. . . . |
(6.7.5) |
|
После подстановки (6.7.5) в (6.7.4) |
и интегрирования экспонен |
||||||
та станет |
АН' (О |
J_ dbH' (t) |
x^ |
|
|
||
ехр |
|
(6.7.6) |
|||||
ъ |
т |
Й |
d t |
2 |
|
||
|
|
|
|||||
Пусть теперь |
|
|
|
|
|
|
(6.7.7) |
|
А Н ' т = щ о + [ ь ѵ ' т ъ |
|
|||||
где (ооо — постоянная частота центра линии, а AV'(t) — разность |
|||||||
возмущений верхнего и нижнего состояний. Постоянный множи тель ехр(—гшоот) можно вынести за скобки усреднения в (6.7.4) и записать
С (Т) = ü |
I Р°аЬI2 еХР (— 4 o T) X |
|
|
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
х { е х р [ - Т і Ц (t) X |
і |
d АГ (t') |
T |
} |
(6.7.8) |
|
|
h |
dt |
2 |
Jcp. |
|
Говорят, |
что преобразование |
Фурье контура |
линии / (со) |
имеет |
||
«линейный фазовый угол сооо». Фазовый угол приводит к смеще нию центра контура / (со) к точке сооо, как легко видеть, полагая возмущение равным нулю. Тогда преобразование Фурье от С(т) пропорционально 6 (со — соо).
Пусть теперь
с°(т) = |
Раб |2 jexp |
I A F ' (t) T |
i |
d A V ( t ) |
X2 |
Ѣ |
Ь |
di |
2 |
ab
(6.7.9)