Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

и состояниями системы, легко построить следующим образом. Отобразим каждое из уравнений (3.36) на свой кусок фазовой плоскости, скрепим получившиеся т кусков фазовых плоскостей в соответствии с подстановкой Т вдоль тех участков границ об­ ластей G, которые являются дугами без контакта для соответст­ вующих семейств траекторий и через которые изображающие точки выходят за границы областей, и доопределим систему уравнений (3.36) на линии скрепления. Такое доопределение можно сделать, условившись, например, что поведение изобра­ жающей точки на линии раз'ветвления характеризуется тем кус­ ком фазовой плоскости, на который переходит изображающая точка. Таким образом, начальные условия в многократной сис­ теме 2-го порядка должны быть заданы тремя числами: значе­

ниями в начальный момент координаты х, скорости х и номера листа многолистной фазовой поверхности.

При количественном исследовании многократных систем це­ лесообразно применять метод точечных преобразований, причем выбирать отрезки или дуги без контакта, порождающие функции соответствия, имеет смысл в связи с конкретными особенностя­ ми задачи. В некоторых случаях целесообразно ввести специаль­ ный вид функции соответствия, при котором устанавливается соответствие между границами каждого из квадрантов много­ листной поверхности. Нумеруя квадранты m-листной поверхно­ сти (от 1-го до 4т-го) по направлению часовой стрелки, будем обозначать величину полуамплитуд через а , а соответствующие значения скорости прохождения через положение равновесия через V i ( a ) (i = 1, 2, ..., 4m). Тогда процесс установления во­ круг начала координат может быть задан циклической подста­ новкой 4т функций fi:

Если задано начальное значение а\, то процесс установления можно определить из последовательности уравнений:

Уl(al)—У2(а2)> Уз{а2) —1Маз)»

•* ■у У 4т—1(^2т) “ ^4m(^2m+l)>

У\(a2m+l) = V2(a2m+2);

Уз(а2т+2) = ^(Огт+з), • • •'.

У4т—1(^4т) = ^4m(^4m+l)>

Периодические движения могут быть выделены следующим образом. Наложим на систему условие периодичности ai = а2т.н. Тогда число периодических движений будет определяться числом

107

действительных решений системы 2т уравнений с 2т неизвест­ ными Щ, (Z2 , <Х2т-

V , ( a , ) = 1^2 ( а 2) ; У з ( а 2 ) = 1 М а з ) | . .

V i m - l ( a 2 m ) = ^ 4 m ( a l ) >

причем значения корней в каждом решении определяют величину полуамплитуд соответствующего периодического движения. Очевидно, что 2т корней каждого s-ro решения au, a2s......агms

Если имеются устойчивые периодические движения, которым на многолистной поверхности соответствуют замкнутые траекто­ рии, охватывающие начало координат, и начальное значение а\ взято в области притяжения какого-нибудь из них, то ряд (3.37) будет периодически сходящимся (в смысле Кенигса) с периодом сходимости 2т.

Если в Системе имеется несколько участков с многозначными характеристиками, то количество различных уравнений, описы­ вающих систему, значительно возрастет. Для исследования та­ кой динамической системы целесообразно поступить следующим образом:

1. Разделить дифференциальное уравнение системы, имею­ щее многозначную правую часть, на ряд дифференциальных уравнений, имеющих однозначную правую часть, и определить области существования этих однозначных правых частей.

2. Установить характер взаимосвязи между этими уравнени­ ями, т. е. определить порядок перехода от одного уравнения

кдругому.

3.Отобразить каждое из уравнений на свой кусок фазовой

плоскости.

4. Скрепить получившиеся листы фазовых плоскостей между собой в соответствии с исходным дифференциальным уравнением вдоль тех участков границ отдельных листов, через которые изо­ бражающие точки выходят за границы листов.

Полученная таким образом многолистная фазовая поверх­ ность дает взаимно-однозначное соответствие между состоянием системы и положением изображающей точки на многолистной фазовой поверхности.

Рассмотрим случай, когда характеристика компрессора име­ ет участки с многозначными характеристиками.

Движения в системе, определяемые участком АВ характери­ стики компрессора, отображаются на лист I фазовой поверхности (рис. 3.7), а движения, определяемые участком CD,— на лист II.

Скрепляем оба листа фазовой поверхности вдоль тех участ­ ков границ листов, которые являются отрезками без контакта

10»

Рис. 3.7

для соответствующих семейств траекторий и через которые изо­ бражающие точки выходят за границы отдельных листов. Полу­ ченная фазовая поверхность отображает все процессы, происхо­ дящие в нашей системе, причем дает взаимно-однозначное соответствие между состоянием системы и положением изобра­ жающей точки на многолистной фазовой поверхности. Двулист­ ная фазовая поверхность показывает, что в соответствующей ей системе имеются два устойчивых положения равновесия. Однако вероятность установления режима, соответствующего большему расходу, сравнительно мала, так как даже небольшие отклоне­ ния Q0 и ре от значений, соответствующих точке Е листа I, могут вызвать сваливание режима на меньший расход, соответствую­ щий точке F листа II.

Более сложные случаи установления могут быть описаны аналогичным способом. При большем числе гистерезисных уча­ стков фазовая поверхность будет образовываться большим чис­ лом листов.

3.10. К ТЕОРИИ ПОМПАЖА В ДВУХСТУПЕНЧАТОМ КОМПРЕССОРЕ

Рассмотрим помпаж в системе, включающей двухступенчатый компрессор (рис. 3.8) при тех же исходных предположениях по идеализации системы, что и ранее [30]. Особенностью этой сис­ темы является наличие двух ступеней компрессора и участка

109

Рис. 3.8

трубопровода между ними, обладающего, вообще говоря, извест­ ной емкостью и инерционностью.

Профилированием поточной части компрессора, а также, на­ пример, выпуском воздуха из объема между ступенями здесь оказывается возможным влиять, в известных пределах, на вза­ имное расположение рабочих точек на характеристиках сту­ пеней.

Анализ проводится при пренебрежении гидравлическими со­ противлениями системы и аппроксимации характеристик ступе­

Исследование системы при пренебрежении емкостью проме­ жуточного трубопровода. Если пренебречь емкостью промежу­ точного трубопровода, можно принять равенство в любой момент времени секундных весовых расходов воздуха в сечениях k\ — kx

где Q — секундный весовой расход воздуха.

Введем безразмерные относительные переменные: отклонение

110