Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

Возводим в квадрат и складываем обе части последних выра­ жений:-

На плоскости х, у уравнение (ПП.4) представляет собой се­ мейство подобных эллипсов с полуосями А и Лю (рис. ПП.1).

Пусть в момент t = 0 состояние системы характеризуется от­ клонением х и скоростью у. Эти значения однозначно определя­ ют на фазовой плоскости точку (х, у), которая называется изоб­ ражающей (или представляющей). Каждой точке (х, у) фазовой плоскости соответствует одно определенное состояние системы, характеризуемое отклонением х и скоростью у. Если с течением времени состояние системы, т. е. ее отклонение и скорость меня­ ются, то изображающая точка перемещается по некоторой кри­ вой, называемой фазовой траекторией системы. Фазовая плос­ кость с нанесенными на ней траекториями называется фазовой диаграммой. Для системы, имеющей уравнение движения (ПП.1), фазовыми траекториями являются эллипсы уравнения

(ПП.4).

Движение изображающей точки М с возрастанием времени будет происходить в направлении часовой стрелки. Действитель­ но, пока скорость положительная, т. е. изображающая точка на­ ходится в верхней полуплоскости, отклонение возрастает. Следо­ вательно, изображающая точка движется слева направо. Если у < 0, т. е. изображающая точка находится в нижней полуплос­ кости, то х уменьшается, т. е. точка перемещается справа налево.

Из рис. ПИ.1 легко сделать выводы о поведении системы ре­ гулирования, описываемой уравнением (ПИ.1). Вся фазовая плоскость заполнена вложенными одна в другую замкнутыми

Действительно, пусть в некоторый момент t\ система имеет отклонение х и скорость у. С возрастанием времени изображаю­ щая точка будет перемещаться по фазовой траектории и через некоторый конечный промежуток времени снова придет в точку с координатами х, у. Начиная с момен­

та t = t\ + т, движение точки будет в точности повторять предыдущее дви­ жение, через промежуток времени т с момента / = t\ + 2т движение снова будет повторяться и т. д. до бесконеч­ ности.

Так как фазовая плоскость уравне­ ния (ПП.1) заполнена бесчисленным множеством замкнутых кривых, то в

217

системе, описываемой исходным уравнением (ПП.1), возможно бесчисленное множество различных периодических движений.

Системы, в которых возможно бесчисленное множество пери­ одических движений, непрерывно переходящих одно в другое, называются консервативными. В таких системах характер дви­ жения зависит от начальных условий, и однажды начавшиеся ко­ лебания уже не прекращаются, хотя и не нарастают. Поэтому практически система, для которой фазовая диаграмма имеет вид, графически показанный на рис. ПП.1, является неустойчивой. Подобный характер движения получился потому, что мы поло­ жили трение равным нулю. Рассмотрим теперь фазовую диаг­ рамму динамической системы при трении, не равном нулю.

Решение уравнения

в этом случае при м\ > Ъ2 имеет вид

где а»! = V^"оэ§— Ь2 ■

Дифференцируя уравнение (ПП.6), получаем

х = у = — Ab e~btcos^ J + а) —

Уравнения (ПП.5) — (ПП.7) представляют собой параметри­ ческие уравнения фазовых траекторий с параметром /. Исклю­ чим время из этих уравнений. Умножая уравнение (ПИ.6) на b и складывая с уравнением (ПП.7), имеем

218

Подставляя уравнение (ПН.11) в (ПП.10), получаем

где

2 6 а

С = Л 2й?е~“ ^.

Мы получили искомое уравнение фазовых траекторий. Это се­ мейство спиралей, навертывающихся на начало координат. Для большей очевидности произведем в уравнении (ПН. 12) линейное преобразование координат:

U —й!*; V = Ьх + у,

тогда получаем

Перейдем теперь к полярной системе координат г, ф:

U = rсоэф; V = — гэшф.

Получаем

26

a rc tg (—tg Ф)

г2 = С е

И Л И

Это уравнение является уравнением логарифмической спира­ ли в полярных координатах. Угол ф возрастает с увеличением t, так как

т. е.

ф = ©!/+ а,

поэтому

Следовательно, с увеличением t длина г радиус-вектора, вра­ щающегося по часовой стрелке, убывает и изображающая точка неограниченно приближается к началу координат. Указанное об­ стоятельство легко увидеть также из уравнения (ПП.10): е воз­ растанием t правая, а следовательно, и левая части должны не­ ограниченно стремиться к нулю, что может иметь место лишь при неограниченном убывании абсолютных величин х н у .

219

У

У с т о й ч и В ы и

узел

Рис. П11.3

Если в момент t заданы отклонение х и скорость у, то им на фазовой плоскости соответствует вполне определенная точка М (см. рис. ПН.2). При возрастании времени изображающая точ­ ка М, двигаясь по фазовой траектории, неограниченно прибли­ жается к началу координат х = у = 0, которое соответствует рав­ новесному режиму системы регулирования.

Из фазовой диаграммы с очевидностью следует, что в рас­ сматриваемой динамической системе, представляемой уравнени­ ем (ПН.5), все возникающие отклонения от равновесного режи­ ма с течением времени затухают. Следовательно, система регу­ лирования является асимптотически устойчивой. Мы рассмотре­ ли случай е >о > 62. В этом случае, как видно из рис. ПП.2, за­

тухающее движение носит колебательный характер. Если ©§ <

< Ь2, затухание будет апериодическим. На рис. ПП.З показана фазовая диаграмма для этого случая. Из диаграммы видно, что любое отклонение системы от равновесного режима делается равным нулю не более чем за полтора полуколебания. Таким об­ разом, фазовая плоскость позволяет с одного взгляда определить характер возможных движений в рассматриваемой нами систе­ ме.

2. УРАВНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК

Мы получили уравнение фазовых траекторий, исходя из ре­ шений (ПП.6) и (ПП.7) уравнения (ПП.5). Сделано это с тем, чтобы наиболее просто и понятно ввести в анализ понятие о фа­ зовой плоскости, исходя из известного решения дифференциаль­ ного уравнения 2-го порядка. Если бы этот способ построения фазовой плоскости был единственным, т. е. если бы для построе­ ния фазовой плоскости необходимо было обязательно знать ре­ шение исходного уравнения 2 -го порядка, иными словами, знать его 2 -й интеграл, то вряд ли метод фазового изображения полу-

220

чил бы широкое распространение. Это связано с тем, что полу­ чение решения нелинейного уравнения 2 -го порядка является сложной и в общем случае нерешенной задачей.

Однако для построения фазовой плоскости нет необходимости решать исходное дифференциальное уравнение 2 -го порядка. Можно найти уравнения фазовых траекторий, интегрируя диф­ ференциальное уравнение 1-го порядка, что является более прос­ той задачей. Смысл введения фазовой плоскости в значительной мере в том и заключается, что она позволяет выяснить вопрос

овозможных движениях в динамических системах, в частности

всистемах регулирования, не решая полностью исходного урав­ нения, а ограничиваясь его первым интегралом.

Посмотрим, как это сделать, иллюстрируя способ вначале на

том же простом примере, что и раньше. Обозначая х = у, можно уравнение (ПП.5) записать в виде системы двух уравнений 1-го порядка

Поделив 2-е уравнение на 1-е, получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка, в котором исключено время:

Это — дифференциальное уравнение интегральных кривых на фазовой плоскости. Проинтегрировав уравнение (ПН.15), будем иметь уравнение интегральных кривых в конечной форме. В слут чае 6 = 0 интегральные кривые совпадают с фазовыми траекто­ риями. Однако такое совпадение не является обязательным: ин­ тегральная кривая может определять не одну, а несколько фа­ зовых траекторий. Это объясняется тем, что под фазовой траек­ торией мы понимаем дугу кривой, по которой изображающая точка перемещается в интервале времени — сю < / < оо, и эта дуга может, вообще говоря, составлять лишь часть интеграль­ ной кривой. Уравнение (ПП.15) определяет тангенс угла накло­ на касательной к интегральной кривой. Из него следует, что в каждой точке фазовой плоскости (за исключением точки х = О,

у = 0, в которой-^- = т. е. значение производной неоп­

ределенно) имеется единственная касательная к интегральной кривой, так как каждой паре значений х и у соответствует толь-

221