Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

к предельному циклу. Такой предельный цикл называется устой­ чивым. В реальной системе ему соответствует асимптотически устойчивое периодическое движение, т. е. определенный колеба­ тельный режим, причем если вывести систему из этого режима, возникающие колебания будут с течением времени неограничен­ но приближаться к устойчивому периодическому движению.

Можно сказать, что в подобной системе имеются периодичес­ кие колебания, не зависящие от начальных условий. Такие пери­ одические колебания называются автоколебаниями, а сами сис­ темы— автоколебательными системами. На рис. ПИ.8 показана фазовая диаграмма системы, имеющей неустойчивый предель­ ный цикл, т. е. замкнутую траекторию, с которой все соседние траектории как изнутри, так и снаружи сматываются. До тех пор пока изображающая точка находится на предельном цикле, она с него сойти не может, и, следовательно, в системе будут проис­ ходить периодические колебания.

Однако достаточно сколь угодно малого случайного толчка, чтобы изображающая точка сошла с предельного цикла и начала от него удаляться. Поскольку в системе всегда имеются флюк­ туации (случайные возмущения), а также ввиду того что веро­ ятность поместить изображающую точку на предельный цикл бесконечно мала, периодические движения в системе, имеющей один неустойчивый предельный цикл, невозможны. Часто быва­ ют случаи, когда в системе имеется несколько предельных цик­ лов. Например, на рис. ПП.9 приведен случай, когда имеются два предельных цикла — внутренний неустойчивый и внешний устойчивый. Если соседние траектории навертываются на пре­ дельный цикл с одной стороны и свертываются с другой, то пре­ дельный цикл называется полуустойчивым (рис. П11.10). Харак­ тер нелинейности, при которой в системе могут возникнуть авто­ колебания, может, быть самым различным. Так, например, неус­ тойчивый фокус (или узел) и устойчивый предельный цикл име­ ют место в системах, описываемых уравнениями

228

где р,— коэффициент, больший нуля.

Это можно установить следующим образом. Если амплитуда х < 1 , то / — х2 > 0, и поэтому в системе при х < 1 действует от­ рицательное вязкое трение. Вследствие этого при х < 1 амплиту­ да колебаний возрастает, а в системе происходит накопление энергии. Если же х > \ , то 1— х2 < 0, и трение делается поло­ жительным. Поэтому колебания большой амплитуды будут за­ тухать, а малой нарастать. В системе должны установиться не­ затухающие колебания, к которым будут стремиться при t-*-oo все соседние движения. На фазовой плоскости будем иметь изо­ лированную замкнутую траекторию — устойчивый предельный цикл, на который будут наматываться остальные траектории.

Аналогичная картина имеет место для уравнения (ПН.28). Действительно, если амплитуда х достаточно мала, то скорость

х < 1 , поэтому х2<х. Следовательно, при малых х в системе дей­

219

кус, неустойчивый узел и седло, а также один предельный цикл — устойчивый. Из диаграммы видна роль сепаратрис, как разде­ ляющих кривых, являющихся «водоразделом» для траекторий различных типов. Мы рассмотрели три типа особых траекторий. Определив все особые траектории, разбиваем фазовую плоскость на отдельные ячейки, каждая из которых заполнена фазовыми траекториями одного типа. Характер фазовых траекторий в каж­ дой из ячеек нетрудно определить, зная особые траектории. Та­ ким путем можно получить качественную картину всех возмож­ ных движений системы.

ПРИЛОЖЕНИЕ III

О МЕТОДЕ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

Рассмотрим систему 2-го порядка, описываемую дифферен­ циальным уравнением

х + k2x + \if{x, х) = 0. (ПШ. 1)

Как известно, для случая малого р периодические решения этого уравнения могут быть найдены по методу Пуанкаре [40]. Ван дер Поль разработал для этого случая метод приближен­ ного исследования процесса установления и определения перио­ дических решений [41].

Н. Н. Боголюбов и Н. М. Крылов развили точный метод оты­ скания переходных процессов и периодических решений уравне­ ния (ПШ. 1) для случая малого р [3]. Для случая большого р известен приближенный метод «разрывной трактовки» и точный метод построения асимптотических решений [24]. Рассматрива­ емый в настоящей работе приближенный метод интегрирования позволяет в ряде случаев приближенно найти форму периодиче­ ских решений, процесс установления и период колебания.

Излагаемый метод дает хорошие результаты при исследова­ нии нелинейных консервативных систем независимо от величи­ ны р, если сила упругости монотонно возрастает с отклонением. При этом несущественно, симметрична ли характеристика сил упругости относительно начала координат или несимметрична. Во многих случаях неконсервативных систем изложенный метод также дает вполне удовлетворительные результаты, в особенно­ сти при определении периода колебаний. При этом формулы для периода колебаний в ряде задач оказываются действительными для любых р.

Необходимо также отметить, что предлагаемый метод позво­ ляет без труда установить, насколько изучаемая нелинейная си­ стема близка к какой-либо линейной и, следовательно, в какой области значений параметров применимы решения, полученные

230

по любому из вариантов метода малого параметра. Условие бли­ зости соблюдается, если полупериоды (или четверти периода ко­ лебаний), найденные по методу малого параметра, близки или равны соответствующим величинам, найденным по предлагаемо­ му методу. Указанные условия являются необходимыми.

1.О МЕТОДЕ ВАН ДЕР ПОЛЯ И ЕГО ОГРАНИЧЕНИЯХ

Пусть дано уравнение

х + k2x + |i/(х, х ) —0.

Согласно обычной трактовке метода Ван дер Поля для этого уравнения ищется решение в виде

=cos(kt + у )— a -^ -sin (kt + y)— aksin(kt + y),

-^ - = — /[acos(Ztf + у), — a£sin(6f + y)]sin(ftf-hy). (ПШ.7) dt k

231