Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

тория. Через точку, где = — , т. е. где одновременно обраща­

ются в нуль х и у, может проходить одновременно несколько кри­ вых, следовательно в этих точках фазовые кривые будут пересе­ каться.

Точки, в которых = -jj-, называются особыми точками диф­

ференциального уравнения интегральных кривых. Как мы толь­

новременно обращаются в нуль скорость и ускорение. Но если

в системе 2 -го порядка х = у = 0, то система находится в равно­ весии. Следовательно, особым точкам на фазовой плоскости со­ ответствуют состояния равновесия в реальной системе регулиро­ вания. Посмотрим теперь, какие особые точки и какие фазовые траектории возможны на фазовой плоскости, а также выясним, каким движением исходной системы они соответствуют.

В случае b = 0, как мы видели, фазовая плоскость заполне­ на вложенными одна в другую замкнутыми траекториями. Каж­ дой кривой на фазовой плоскости соответствует периодическое движение исходной системы. Следовательно, в этом случае в ис­ ходной системе имеется бесчисленное множество периодических движений, причем переход от одного периодического движения к другому совершается при изменении начальных условий (точ­ нее, при таком изменении начальных условий, при котором из­ меняется полная энергия системы). Мы уже указывали, что та­ кие системы называются консервативными.

В случае уравнения (ПП.5) дифференциальное уравнение (ПИ.15) имеет единственную особую точку х = у = 0. Если b = = 0, то эта особая точка является отдельной интегральной кри­ вой. Такая изолированная особая точка, охватываемая замкну­ тыми, вложенными друг в друга фазовыми траекториями, назы­ вается центром.

Далее мы рассмотрим случай, когда в системе имеется тре­ ние, т. е. ЬФ 0 (фазовая диаграмма показана на рис. ПП.2). Здесь также имеется одна особая точка х = у = 0. Однако ха­ рактер фазовых траекторий существенно отличен от предыдуще­ го случая. На фазовой плоскости нет ни одной замкнутой траек­ тории. Вся плоскость заполнена семейством спиралей, наверты­ вающихся на особую точку и неограниченно к ней приближаю­ щихся. Иными словами, особая точка является асимптотической точкой семейства фазовых траекторий. Такая особая точка на­ зывается фокусом. В случае, если b > 0, все фазовые траектории навертываются на особую точку, с увеличением t неограниченно приближаясь к ней.

В этом случае фокус называется устойчивым, все отклонения от равновесного режима с течением времени затухают, при этом

222

в системе регулирования будут иметь место затухающие колеба­ ния. Таким образом, система, положению равновесия которой на фазовой плоскости соответствует устойчивый фокус, является асимптотически устойчивой.

Мы рассмотрели случай, когда трение положительно. Посмот­ рим, какова будет картина при отрицательном трении (Ь < 0). Тогда и показатель степени в уравнении (ПП.13) положителен. Поэтому при возрастании t радиус-вектор будет возрастать, и изображающая точка, двигаясь по фазовой траектории, неогра­ ниченно удалится от начала координат. Фазовая плоскость при­ мет вид, показанный на рис. ПП.4. В данном случае начало ко­ ординат, как и раньше, является особой точкой дифференциаль­ ного уравнения (ПН.15). Эта особая точка также служит асим­ птотической точкой семейства фазовых траекторий, представляю­ щих опирали, которые, однако, уже не накручиваются на особую точку, а свертываются с нее.

Такая особая точка называется неустойчивым фокусом. Если в начальный момент система находится в равновесном режиме, т. е. х = у = 0, то С[ = 0, и система будет находиться в равнове­ сии сколь угодно долго, если на систему не действуют никакие возмущающие силы. Однако достаточно любого малого возму­ щения, чтобы Ci ф 0, и в системе начнется колебательное дви­ жение, амплитуда которого будет неограниченно возрастать. Та­

мы видели, движения в системе будут уже не колебательными, а апериодическими. Фазовая плоскость при Ь2>ч>1 имеет вид,

показанный на рис. ПН.5. В этом случае она заполнена семейст­ вом интегральных кривых параболического типа. Каждая интег­ ральная кривая состоит из трех фазовых траекторий. Одной из них является состояние равновесия, а двум остальным, представ­ ляющим полуветви парабол за вычетом нулевой точки, соответ­ ствуют движения, неограниченно приближающиеся к состоянию равновесия.

У

Неустойчивый

узел

223

Все интегральные кривые касаются в начале координат пря­

мой у = ( — b— b2—©о) х. Таким образом, через особую точ­ ку проходят все интегральные кривые, каждая из которых пред­ ставляет собой три фазовые траектории. Все изображающие точки с течением времени неограниченно приближаются к нача­ лу координат.

Особая точка такого типа называется устойчивым узлом. Слу­ чаю устойчивого узла соответствует апериодическая устойчи­ вость реальной системы. Тогда, как видно на рис. ПП.З, при лю­ бых начальных отклонениях система не более чем за 1,5 полуколебания достигнет равновесного режима. Необходимо подчерк­ нуть, что, так же как и в случае фокуса, время движения изоб­ ражающей точки по фазовой траектории, или, что то же самое, время прихода системы к равновесию, равно бесконечности. Если Ь2> ©о и b < 0, то характер фазовой плоскости принима­

ет вид, показанный на рис. ПП.5. Особая точка в этом случае яв­ ляется неустойчивым узлом. Легко видеть, что динамическая си­ стема при этом будет неустойчивой.

Рассмотрим последний случай. Пусть уравнение движения имеет вид

тогда уравнение интегральных кривых получаем в виде

Получаем уравнение семейства равносторонних гипербол, от­ несенное к главным осям. Полагая /4 = 0, находим уравнения двух прямых: у = ©ох, у = —©ох, которые являются асимптотами семейства гипербол. Фазовая плоскость для этого случая пока­ зана на рис. ПН.6. Из этого рисунка видно, что через особую точку х = у = 0 проходят две интегральные кривые — асимпто­ ты. Каждая из асимптот состоит из трех фазовых траекторий. Все остальные интегральные кривые составляют одну фазовую траекторию. Особая точка такого вида называется особой точкой типа седла. Из рассмотрения фазовой плоскости легко устано­ вить характер возможных движений в системе.

224

Если начальные условия таковы, что изо­ бражающая точка лежит точно на асимпто­ те, то эта точка с убывающей скоростью

ка времени она на сколь угодно далекое расстояние отойдет от положения равно­ весия.

Особая точка типа седла соответствует положению неустойчивого равновесия. До­

статочно малейшего толчка, чтобы началось удаление от него. Так как в реальной системе всегда имеются случайные малые возмущения (флуктуации), то система, имеющая такую особую

Мы рассмотрели случаи линейной динамической системы. Од­ нако если система описывается и нелинейным дифференциаль­ ным уравнением с аналитической правой частью, то изложенная классификация особых точек сохраняет силу.

Действительно, рассмотрим нелинейную систему, описывае­

равновесия являются особыми точками дифференциального урав­ нения интегральных кривых (П11.23).

Пусть особая точка имеет координаты хо, уоРассмотрим со­ седнюю точку х = хо + е, у = уо + tj. Предполагая, что Q и Р — аналитические функции, получаем

X t) + Qi(e, т]).

но Р (х0, Уо) = Q (хо, уо) = 0, так как Хо и у0— координаты осо­ бой точки. Здесь через Pi и Qi обозначены все члены степени выше первой относительно е и т]. Если е и rj малы, то во многих случаях можно пренебречь по малости выражениями Pi и Qi. Замечая при этом, что

dx de dy dr\ ~dT~~dT' ~dT~~dT

и обозначая

Px(xо, уо) = a; Py(xo, Уо) = b\

Qx(xо, Уо) = c; Qy(x0, y0) = d,

получаем

Исключим из этой системы уравнений одну из переменных, например т);

1

= ae + Ьсг + bd — (e— ae) = ae + bcz + de— adz b

или

e— (a + d)z+ (ad— bc)z = 0 .

Обозначая (a + d) = —2b; ad — be = toq, получаем

e + 2b&+ cooe = 0.

Аналогичное выражение получается относительно т). Мы по­ лучили уравнение точно такого же вида, что и уравнение (ПН,5). Отличие заключается лишь в том, что переменная обо­ значена через е (это, разумеется, не существенно). Поэтому все полученные ранее выводы относительно характера особых точек остаются в силе, и, следовательно, особые точки системы урав­ нений (ПП.26) принадлежат к уже рассмотренным типам: цен­ тру, фокусу, узлу и седлу.

226