Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 127

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

случайной

величины е

xt,

то

 

 

 

 

Мц — У 1

 

 

 

 

П-2---—

+ т1

 

 

 

У * о - У * і

I Ѵ '1у ) —

,/•= -

*

2of

(2-72)

 

 

К 27t«! (ту— у*!И

 

где у*, — нормированное

t'-e квантованное

значение вы­

ходного параметра.

Учтем, что после отказа проводится АР со случайной интенсивностью р. При объеме выборки г >11 можно использовать неусеченный нормальный закон распреде­ ления р, так как Зо^-Онг- Найдем закон распределения

коэффициента готовности

/<’г = р ( ^ +

р ) - 1 - Аналогичная

задача решалась в работе

[Л. 6]. В

качестве исходных

в ней рассматривались законы распределения времени безотказной работы и времени АР.

Обозначим

 

У. = Р'(Я + Н‘)“ 1, у а = ц, тогда Я = у2

— 1^ , p~-=t/2.

Якобиан преобразования

 

д \

д \

J h _

1

д у і

д у г

У1

У'

J =

 

d p

0

1

d p

д у і

д у і

 

 

—1

У*У1

Совместная плотность вероятности

Используя выражение (2-73), найдем закон распреде­ ления КТ

— СО

X ^ d y ,

(2-74)

Показатель экспоненциальной функции в выражении (2-74) представим в виде полного квадрата и после ряда

58

промежуточных преобразований получим:

да,о '

1 —уЛ

T" ОТ2®1

—м

і°2 I

Уі J

 

01

(2-75)

где

Как видим, отыскание таких законов распределения характеристик надежности даже в простейшем случае приводит к достаточно сложным аналитическим выраже­ ниям. Именно поэтому в дальнейшем мы будем приме­ нять метод линеаризации. Так как всегда интересен ана­ лиз возникающих погрешностей, то для иллюстрации возможной величины погрешности рассмотрим примеры, в которых сравниваются точные и приближенные точеч­ ные и интервальные оценки вероятности безотказной ра­ боты.

Пример 2-6. Найдем точные и приближенные оценки для моментов вероятности безотказной работы. Точная оценка і-го начального момента вероятности

СО

2я?

—imj + 1к- К<)г

 

1

dl = e

 

2

 

(2-76)

Следовательно, точные значения математического

ожидания и дисперсии вероятности

 

 

 

 

- т Д + ЫУ

 

)2

 

 

 

т1= е

—2rriit г —2

— еы у

(2-77)

 

I«'

 

Приближенные

значения математического

ожидания

и дисперсии вероятности, полученные методом

 

линеари­

зации:

 

 

 

 

 

 

т1=

е—тгі 0* =

g -2m‘t (3,f)a.

 

( 2-78)

59

Относительные погрешности оценки

 

 

 

т.

 

(».о*

 

(«.О*

 

Sm =

■ =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2-79)

При малых дисперсиях

(^ m ^ '^ l) и при оценке

в мо­

менты времени

 

можно получить еще более простые

выражения для 8т

и §о2, раскладывая

экспоненциальные

функции в ряд Маклорена:

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

s

, КО 2

~2~ К О 3

 

(2-80)

 

От

2 ’

і + -§■

(°.0 3

 

 

 

 

 

 

 

Пусть, например, з, =

0,2-10 Зч ' 1,

т , =

10~3ч

\ t =

= 0,1 (1 /т ,)= 1 0 Ч

тогда

Sm< 2 -1 0 -4,

<

1,2-10~5.

Пример 2-7. Сравним точную и приближенную интер­ вальные оценки вероятности безотказной работы. Точный доверительный интервал \р*и р*г] определим с использо­ ванием логарифмически нормального распределения (2-62) по заданной доверительной вероятности

 

р*>

(m*if + ln р)2

 

2»*?/*

~7=г-----Г е

d(lnp) = t,

У2пя*^

,)

 

что в конечном итоге приводит к вычислению р*, и р*а из соотношения

(m*\t -f- Іпр) (з*^)-1 = z±rM1,

(2-81)

где м определяют по таблице значений функции Лап­ ласа

 

 

2а

 

Ф(«т) =

е

2 dz,

 

о

 

 

 

 

 

а т* 1 и а*і — оценки моментов к (см. § 7-2).

определяют

Приближенные доверительные

границы

из соотношения

 

 

 

(т*і — Р) 3*Г' =

— ыт,

(2-82)

60

Полагая асимптотически нормальным распределение ве­

роятности с параметрами (2-78).

Относительная погрешность оценки длины довери­ тельного интервала

8 / = 1

и^т*xt

(2-83)

и^т*

V V - 2 c h VT ^ 2

 

Формула (2-83) позволяет

оценить влияние

числа

экспериментов г, выбора доверительной вероятности у и времени t на погрешность оценки длины доверительного интервала. При г— >-оо б;— ►(); с ростом у растет и «т

что приводит к увеличению б/; с ростом / погрешность монотонно возрастает.

Пусть, например, r = 8, m*it= 1, у=0,9, тогда бг~ 0,07.

Если г;>50, то 6;<с;0,01. При r = 100 6*^0,006, но если Ѵ=0,99, т о б(=0,013. Следовательно, даже при малом объеме выборки (г = 8) погрешность оценки длины дове­ рительного интервала при высокой доверительной ве­ роятности (у=0,99) не превышает 15%.

Однако из-за асимметрии распределения (2-62) при­ ближенный метод дает погрешность в оценке как левой,

так

и правой доверительных

границ.

Оценим

порядок

этих погрешностей.

 

'<т*і= Ы О -3

ч~1, t=2 -\02 ч,

/' =

Пусть /п*і = 5-10" 3 ч~1,

27, у = 0,9, тогда из (2-81)

и (2-82)

получим:

 

 

І + Іпд

р * j =

0,265,

р * 2 = 0,512;

 

0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

0,3679 — р

р \

— 0,245,

р*2 =

0,49.

 

0,0738

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, использование приближенных довери­ тельных границ дает погрешность оценки длины интерва­ ла 1,22%, левой границы — 7,17% и правой границы — 4,32%- С ростом объема выборки эти погрешности убы­ вают. При очень малых объемах выборки (5<^ г ^ 10)

приближенные оценки дают погрешности 10—20% ■ Рассмотрим особенности приближенной оценки коэф­

фициента готовности. Математическое ожидание и дис­ персия

 

тг

 

2_

2 2 I 2 2

 

тк

 

mIg2+ w2sl

(2-84)

т1 +

т2 ’

*

(//Ц + Иа)4

 

 

61

Смотрите также файлы