Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 134

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

рактеристики качества функционирования устройств в любых режимах их использования: при однократном применении, при непрерывном использовании и при ра­ боте в дежурном режиме. При больших вариациях оце­ нок интенсивностей необходимо прибегать к методу ли­ неаризации для определения начальных и центральных моментов характеристик качества (§ 2-5).

2-7. Особенности применяемого метода

При построении вероятностно-статистических моделей изменения качества функционирования электронных си­ стем по предлагаемому методу используют квантование по уровню случайных функций и марковскую аппрокси­ мацию реальных процессов. Квантование не вносит по­ грешностей в оценку надежности устройств, а влияет лишь на точность определения законов распределения выходных параметров. Марковская аппроксимация влия­ ет как на точность определения законов распределения, так и на точность оценки характеристик надежности устройств. Последовательно рассмотрим особенности квантования и марковской аппроксимации.

Сущность квантования по уровню случайного процес­ са, как известно, заключается в том, что все значения процесса, попадающие в заданный интервал, называемый интервалом квантования или просто квантом, представ­ ляют одним определенным значением, которое называют квантованным. Процесс квантования определен, если за­ дана характеристика квантования, т. е. если указан ин­ тервал ДХі значений процесса, который соответствует і-му квантованному значению. Иногда для простоты кванты выбирают одинаковыми и говорят, что квантова­ ние производится с постоянным шагом.

При квантовании, как правило, возникают две основ­ ные задачи — задача оценки искажения структуры кван­ туемого процесса (задача анализа погрешностей кванто­ вания) и задача оптимизации квантования (задача ми­ нимизации погрешностей квантования по определенным целевым функциям).

Погрешности квантования определяют ошибками квантования. Ошибкой квантования г*(/) в момент вре­ мени і для г'-го интервала квантования называют раз­ ность между исходным значением случайного процесса

5* 67

X (t) и 1-м квантованным значением я*,

Zi(t)—X ( t ) — x*i, 1 = О, N— 1,

где N — число квантов. В целом погрешности квантова­ ния характеризуют определенными функциями g[zj(£)]. В прикладных задачах широко применяют

(f)] = s ’1 [X (0 — л^*]*

(211 2)

г=о

и для простоты анализа используют математическое ожидание этой характеристики

mg (t)— j12 [x{t) — x*iY f[x(t)\dx,

(2-113)

b i=0

 

где f[x(t)]— одномерная плотность вероятностей

кван­

туемого процесса в момент времени 1.

 

Обычно функция (2-113) в задачах анализа погреш­ ностей квантования является искомой, а в задачах опти­ мизации квантования выступает в качестве целевой функции.

Обозначим х*і =Хі+і—уіАхі (хі+і—1 + 1 уровень кван­ тования) . Очевидно, что погрешности квантования опре­ деляются как самой природой квантуемого процесса, так и тем, как выбраны параметры х*і, Хі+і, А.ѵ,-, уг. В зада­ чах оптимизации квантования эти параметры играют роль управляемых.

Очевидно, что в зависимости от выбора целевых функций и управляемых параметров может быть боль­ шое число различных задач анализа и оптимизации кван­ тования случайных процессов. В дальнейшем нам потре­ буются результаты решения следующей важной задачи оптимизации квантования. Известен одномерный закон распределения квантуемого процесса, уровни квантова­ ния выбраны, требуется найти оптимальные квантован­ ные значения,, которые доставляют минимум функции (2-113). Рассмотрим ее решение.

Более простые решения получаются, если отыскивать

оптимальные значения параметров у,-, 1 = 0, N —1. Под­ ставим значение х *і в формулу (2-113), продифференци­ руем полученную функцию по параметрам у , и, прирав­ няв производные нулю при условии, что вторые произ-

68

водные этой функции больше нуля, получим систему уравнений для отыскания у

Л'—1

хг +і

 

 

S

f [х (/) — зу-+

Ъ^Хі] bXif \x{t)\ dx =

 

i —0

x",X

i = Q ,N — i.

(2-114)

 

= 0,

Для иллюстрации особенностей решения задачи опре­ делим квантованные значения и минимальные математи­ ческие ожидания суммы квадратов ошибок детермини­ рованного и случайного нормального процессов. При квантовании нестационарных случайных процессов опти­ мальные квантованные значения также зависят от вре­ мени, т. е. уі= уі(і). В дальнейшем для сокращения за­ писи эту зависимость мы не будем подчеркивать. Выбе­

рем для упрощения анализа уі = у , і = 0, N—1.

Пример 2-9. Рассмотрим детерминированный процесс ^ c . Одномерной плотностью такого процесса

является дельта-функция, поэтому

 

N - \

j ( х — х * і ) 2 8(л' — х і+1) dx +

 

m*(Y)= S

 

 

і = 0

 

 

 

 

 

 

+ J (x — x*if S (x — Xi) dx

=s '

[ te +1-■**,)’ +

 

 

+ {Xi - X*if].

 

 

 

Используя (2-114), получим:

 

 

 

 

(4у — 2)

£

Лх* = 0,

Топт =

0,5.

(2-115)

 

 

i=э

 

 

 

 

 

Минимальное

значение mg (y)

N- 1

 

 

 

 

 

 

 

^ймин == tTLg(Хопт)

0,5

2

Ах\

(2-116)

 

 

 

 

 

i=а

 

 

Минимальная

среднеквадратичная погрешность

кван­

тования

 

 

/

Л/—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

айшш

0,5

2 дх 2,

 

 

 

 

 

(=0

1

 

 

69

если кХі=Ь.х, то А х ~ ( с — b)N~l и ag мИН== {с — Ь) 0,5 X ' X Y I F 1, при N — 1 о*мИа = (с — Ь) ]/0 ,5 , при N —юо

ag мин - 0 .

С ростом N соотношение а^сП1убывает как функция

( У N )~У Этот результат нетрудно было предвидеть из

физических соображений. Следовательно, для детерми­ нированного процесса вне зависимости от времени опти­ мальные квантованные значения должны выбираться как средние арифметические двух соседних уровней кванто­ вания.

Пример 2-10. Рассмотрим нормальный - случайный процесс X(t) с одномерной плотностью

(х—т ) а

2а2

ф

ф Ь — т

 

) -

 

Ь < Х < С ,

где в общем случае математическое ожидание и диспер­ сия являются функциями времени. Подставим значение плотности в формулу (2-113), проделав необходимые промежуточные преобразования, получим:

 

 

 

 

 

N —1 2

tng(у) =

Г 5 [ ф ( £ ^

) - ф ( ^ ! )

Е Еа,А>

 

 

 

 

 

;=о /=о

 

 

 

 

 

(2-117)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( хі + 1- т у

аіо= а (хі+1 -f- т — 2х *і ),

bia = е

 

 

 

 

 

 

( X t — т)2

au — — a{xi +

m — 2x*i),

bi ,== e

2oa

 

a*2 -

1/ & [(m -

x * i f -

а2],

= Ф ^

+1

 

 

- Ф

 

 

 

70

Используя (2-114), найдем:

 

JV—I

 

 

 

S M * A о — оДХібі!—К 2л (m — Хі+ і)А%&гг]

Y _ _

<s°_________________________________________

*

I опт

А/—1

 

 

K"2rc

äx fbis

 

 

1=О

 

(2-118)

Для иллюстрации на рис. 2-11 показаны графики нор­ мированной среднеквадратичной погрешности aga~l кван­ тования случайного нормального стационарного процес­

са с параметрами т = О, Ь = 2,

с= —3

(х0=2, Хі=1, х2=

= —1,5, Хз=—3)

при

значениях дисперсии процесса

с?і= 0,2 (кривая /),

 

02=1

(кривая 2)

и оз=5

(кривая 5).

На рис. 2-12 показана

оптимальная

 

 

 

1

характеристика

квантования

 

при

* А

 

 

а2= 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графический анализ показывает,

\

 

что с ростом дисперсии квантуемого

 

процесса растет и у0пт, т. е. опти­

 

 

мальные квантованные значения как

 

 

бы «раздвигаются» в обе стороны

 

1

от математического

ожидания

про­

 

\J\ ■

 

цесса.

Как

и

следовало ожидать,

 

 

при

сг— ѵоо уопт= 1 ,

при

о— М3

 

 

Уопт— >0,5

(при

квантовании

детер­

 

1

 

 

минированного процесса,

у которого

 

1

 

 

0 —0, уопт=

0,5).

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

При увеличении дисперсии про­

 

1

 

 

цесса абсолютная величина норми­

 

1

 

 

рованной

среднеквадратичной

по­

 

1

2

,

грешности убывает. Это обусловле­

 

-

j 3

у*

но тем, что величина квантов,

а сле­

о,г

o,s

 

 

довательно, и ошибки квантования

 

 

 

 

становятся

 

малыми

по

сравнению

Рис. 2-11.

Графики

со средяеквадратическим значением

зависимости

ава~: от

процесса.

 

еще

 

одну

интерес­

V при

0 = 0,2

(/);

Отметим

 

1 (2); 5

(3).

 

 

ную

особенность

квантования

с

 

 

 

 

фиксированными уровнями. Кривые рис. 2-11 асим­ метричны. При малых дисперсиях квантуемого процесса

нормированная среднеквадратичная погрешность

растет

медленнее

в области у < у 0птСледовательно,

ошибки

в выборе

квантованных значений в сторону их прибли­

71

Смотрите также файлы