Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 155
Скачиваний: 0
где 6(х) = j s (х) dx. Подставим (3-111) в однородную сй-
стему и получим:
+ Яо + Р - ѵ) а + |
= 0; |
(3-112) |
|
—'Чоа + (71. — ѵ)р = |
0. |
||
|
Система (3-112) имеет ненулевое решение лишь тог да, когда ее определитель равен нулю. Из этого условия получим:
ѵ |
__ |
''lo 4~ \ |
+ Iх + |
^ll _j_ |
(Io + P- + |
— %)2 |
|
||
V1,2-- |
|
9 |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3-113) |
Подставим |
найденные |
значения |
ѵі |
и ѵг |
в |
систему |
|||
(3-112) |
и определим |
коэффициенты |
аі, |
аг, |
ßi, |
§2 как |
|||
алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы (3-112)
Cti = |
T)i---Ѵ1, |
СІ2=Г)2—'Ѵ2, &і = $ 2 = Ц о - |
(3-1 14) |
||
Следовательно, решение однородной системы |
|
||||
Рй(%) = схахе—«іѲ (t) + c& ë.—ѵаѲ(т) |
(3-115) |
||||
|
|
|
—Ѵа8 (х) |
|
|
РгЬ) = Ъ |
|
1- |
|
||
Л ^ іѴ™ + C të |
|
||||
Рассматривая Сі и Сг как функции т, подставим выра |
|||||
жение (3-115) |
в (3-110) и получим: |
|
|
||
I |
14+ |
~‘1(1) = ^ s(t); |
|
||
1 1 , [C', W е~"‘ |
+ |
C', М £~”‘ ‘” 1= |
О- |
|
|
Из второго уравнения найдем:
и подставим с'і(т) в первое уравнение, тогда
c>t{x)= -!!± V L .e '* (Ч
Л \ / ________ CL.
(3-116)
С 1\'Ь/ ) = ---------- — а.
125
Интегрируя выражения (3-116), получим;
С1 Ь ) = |
--------- |
7------------ |
|
v-4-Ti»с г М — |
------------Ч—h Та |
|||
W |
|
М “а — “і) |
' |
1 |
2W |
Ѵ2(а2— ttl) |
I 12 |
|
Таким образом, решение системы (3-109) будет иметь |
||||||||
вид:- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- И л « - * ' 4; |
|
(3-117) |
||||
РЛ-) |
_ _ jw _ |
|
|
|
,-ѵ.в (*) |
|||
|
Äj — • а , I тVgг - тУ| -іу + ііГі®' |
+ |
|
|||||
|
|
+ |
L ^ Mx)h ,; |
|
|
|||
|
Р , ( х ) = 1 - Р ^ ) - Р ^ ) . |
|
|
|||||
Постоянные |
интегрирования у, и у2 определяются на |
|||||||
чальными условиями. |
Если Рг(0): |
то |
|
|||||
|
|
/ |
аа |
аі |
|
1 |
1 |
|
“а + “і + (* ( "Г” |
ѵі |
|
|
|
|
|||
Т.: |
|
Vѵа |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ “a |
«1 N , |
( 1 |
1 |
(3-118) |
||
Та: |
|
( Ѵ “ |
м |
+ |
а2Ч ' |
|
|
|
|
|
(“a — «О2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
Mo |
f 1 |
|
1 |
|
|
|
Рассмотрим предельное поведение вероятностей
і!2 р - w = s r ^ r |
(7 — 7 -) + т'“' + |
“ |
||
l! S p 1w = . 7 |
^ |
( ѵ ~ ѵ ) + ’.ч . + TJ: |
||
lira P2(т) = 1 - |
|
«1 + ТІ0 |
«а + |
~»lo' |
t->0 |
|
V , |
V , |
|
|
|
|
||
— Ti(*. + |
T|.) —Та (aa + |
Чо); |
|
|
lira P. (x)= —-— |
|
|
||
Ь \ / |
|
n __n . |
|
|
l i m P, ( t ) |
: |
|
■ i> |
|
|
|
ai + ъ |
|
|
lira P 2(x) — 1 - |
|
«2 + УІ0 |
||
т-»ео |
|
|
|
|
126
Особенностью решения задачи является то, что, не смотря на изменение во времени интенсивностей ухудше ния определяющего параметра изделия, интенсивностей внезапных отказов и интенсивности восстановления, ре жим статистического равновесия наступает и оценку качества изделий, эксплуатируемых в нестационарных режимах, по истечении времени переходного процесса можно производить, как и ранее, с помощью коэффици ентов готовности и простоя. Важно также и то, что в этом случае одномерный закон распределения опреде ляющего параметра изделия не зависит от времени. Интересно отметить, что такое явление имеет место да же в том случае, когда s(t) является периодической функцией.
Следовательно, с помощью выражений (3-117) можно оценивать характеристики качества изделий как в пе реходном, так и в установившемся режимах. Например,
вероятность исправной работы |
|
|
|||
|
Ри (т) — Ра(т) + Рі (т), |
(3-119) |
|||
а коэффициент готовности |
|
|
|
||
|
/ С ^ І іш Р .ф + НтРДт). |
(3-120) |
|||
|
|
T-+QO |
|
Т~»СО |
|
Для иллюстрации особенностей переходного процесса |
|||||
исследуем поведение Р0(-с) |
|
для трех случаев закона |
|||
Вейбулла—Гнеденко. Полагая |
s (х) = Yß~1'cT~ 1> |
выберем |
|||
ß = l и рассмотрим |
случаи |
|
|
|
|
1) у == 2, |
s(x) = |
2x, Ѳ(х)= |
X2; |
|
|
2) Y = l , |
s(x)— 1, Ѳ(х) = |
х; |
^ |
|
|
3) т ^ О Д а(х) = ( 2 / ^ ) - 1, Ѳ(х) = / х .
Постоянную времени то переходного процесса оценим как время первого достижения вероятностью Р«(т) уровня
P0(x) = lim Pe(x) + O,l (Y,a, - f ТА)- |
(3-12!) |
Х-ЮО
Так как Цор-1, тцр-1, А-ор^-СІ, то из выражения (3-113) следует, что ѵ і^ р , а ѵгѴіСІ, поэтому То в ос новном определяется величиной ѵ* Приближенную очень простую оценку то легко получить, раскладывая в (3-117) £-■»»8(4 в рЯД Маклорена с удержанием двух членов, тогда
Ѳ(то) —0,9 v~lz. |
(3-122) |
127
Учитывая, что ѵг-СІ, ясно что Ѳ(то)>1.
Отсюда следует, что при возрастающих интенсивно стях постоянная времени х01 = ]/ Ь(х0)) будет меньше по стоянной времени то2= т 0 при неизменных интенсивностях,
а Тог в свою |
очередь меньше постоянной |
времени т0з= |
= Ѳ2(то) при |
убывающих интенсивностях. |
Поэтому т0 |
можно использовать как верхнюю оценку тоі и как ниж нюю оценку тоз-
Таким образом, если процесс изменения качества вос станавливаемого устройства описывается марковской не однородной моделью с возрастающими интенсивностями, то режим статистического равновесия устанавливается быстрее и использование предельных вероятностей при водит к меньшим погрешностям в оценке качества. С ис пользованием формулы (3-122) нетрудно оценить эти по грешности.
Перейдем к рассмотрению модели изменения качест ва профилактически обслуживаемого изделия. В этом случае необходимо дополнительно ввести состояние ПО, учесть интенсивность вывода изделия на ПО v(t) = vs(t) и интенсивность ПО |( т) = | s (t).
Динамика процесса описывается системой дифферен циальных уравнений
’ Р \ Ь) = — (Чо + Я0) 5 (х) Р 0 (х) + Ь (х) Р 2 (х) +
|
+ |
(х) Р3(х); |
|
|
|
р \ W = V |
(х) Р0(х) - |
(-TJ, + |
V) S (х) Р , (х); |
о . о |
|
Р \ (х) = |
VS (х) Р , |
(х) - fc (х) Р2(X); |
Zö> |
||
P's (т) = V |
|
(х) Р 0 (х) + |
(х) Р 1 (х) - |
|
|
|
- ^ ( х ) Р 3 (х). |
|
|
||
Применяя к уравнениям (3-Г23) аналогичный преды дущему алгоритм решения, получим:
_Н |
tti (^г Рз) I кг (Рз— Pi) I |
РоЬ) |
|
(ßi Рг) |
+ в 1с1в-гі)(т) + а А е -ад(х>+ |
|
I 128
Р ^ |
__ М* |
Г Pi (ßg h) I P2(Рз Pi) I |
1 |
r |
L |
(3-124)
P3(T) = 1 — P0M — P1W — P2('t)-
При решении однородной системы вероятность Р2(т) отыскивается в виде ре~гв <т), поэтому
г= аі(Вг—Рз) +аг(Рз—ßi) +«з(рі—ßz);
а, = (гц + ѵ— 'öi) (g— 6 i),
ß i = T]o(^— 6 i ) , P i = P = T )0 V ,
где бі являются корнями кубического уравнения б3—(ро+ Р+Л0 + рі + ѵ + І)б2+ [ |( р 14-ѵ) +
~Ь (т)і+ ѵ + £) ('По+Ло+ р)]б + ^(рі+ѵ) (ро+ ^о + р) =0.
Так же, как и ранее, приближенная оценка постоян ной времени переходного процесса
Ѳ(то) =,0,9[мин (бь б2, б3)]-1.
Постоянные интегрирования Сі в системе (3-124) определим, как обычно из начальных условий. Напри мер, если р і(0)= д0і, то определяют из системы урав нений
üjCi-J-а2с2 |
а3с3— 1 |
Р ,, |
(3-125) |
|
ßA + р2^2 ~1~ Рз^З |
Р21 |
|||
|
||||
где через Р* обозначена |
предельная вероятность для |
|||
р і(г).
Таким образом, как для переходного процесса, так и для состояния статистического равновесия, нами получе ны выражения для вероятностных характеристик процес са изменения качества профилактически обслуживаемо
9 — 385 |
129 |