Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf

для случай взаимосвязанных внезапных й постепенных отказов, а также е учетом погрешностей измерения опре­ деляющих параметров изделий.

Предположим, что отказ изделия можно обнаружить только при KP, KP не изменяет вероятностных характе­ ристик качества, во время KP отказов не происходит, каждый KP характеризуется средней стоимостью сь каждая единица времени пребывания изделия в неис­ правном состоянии связана со штрафом сгПри условии, что ПР времени безотказной работы изделия (2-87) из­ вестна, в классе нерандомизированных стратегий после­ довательного типа найдем оптимальную стратегию KP.

Математическое ожидание эксплуатационных расхо­ дов (ЭР), обусловленных KP и штрафами [Л. 18]:

Оптимальный момент первого KP выбирают из усло­ вий равенства стоимости одного KP и величины штрафа, накопленного к KP:

(4-19)

где х=сіс2 *; р0 рассматривается как параметр, который характеризует нормированную дисперсию погрешности измерения а2(х*0—**і)~2=ро(1 —ро)', 0,5< р 0< 1 . Чем больше ро, тем меньше дисперсия.

138

Функция Ті(х) является монотонно возрастающей и выпуклой вверх на интервале (0, оо). Если KP не вы­ зывает расходов сі = 0, можно применять непрерывный KP (ті=0). С ростом относительных затрат на KP ин­ тервал времени до первого KP также растет при х-»-оо, Ті->-оо. С ростом ро (при уменьшении о2) Х\ также растет — при высокой точности измерений определяющих параметров интервалы между KP можно выбирать боль­

шими. Если ро=1 и аі = 0, то ѵ = у Г2кХ^1 [Л. 52].

Подставляя в формулу (4-17) /( т) из (2-87), найдем:

(4-20)

Полученные соотношения (4-19), (4-20) справедливы для оптимизации KP и по коэффициенту готовности. Для этого достаточно учесть, что с2= 1, а щ — это среднее время KP; М(с) является математическим ожиданием суммарного времени вынужденного простоя устройства.

Математическое ожидание минимальных ЭР

139

Таким образом, при монотонно возрастающей огра­

способности до наступления установившегося режима определяет неравенство

в котором используется целая часть отношений. Полагая ТАс^Т0— ІО3 ч, получим 11 < m<31, т. е. примерно че­

рез 20 проверок можно пользоваться (4-22). Расчеты переходного режима оптимального KP значительно упро­ щаются, если воспользоваться квазиоптимальной перио­ дичностью.

В этом случае

Итак, в данном параграфе получены приближенные аналитические соотношения для расчета переходного и

140

установившегося режимов оптимального KP. Отличи­ тельной особенностью является то, что в них учтены взаимосвязанные внезапные и постепенные отказы, а также дисперсия погрешностей измерений.

4-3. Оптимальная периодичность профилактической замены элементов

Вработах [Л. 17, 18, 54—56] для отдельных случаев показано, что оптимальная периодичность ПЗ элементов (электровакуумные и полупроводниковые приборы, маг­ нетроны, клистроны, модули и т. п.) существует не всегда.

Вэтом параграфе формулируются достаточно общие условия существования и единственности решения транс­ цендентных уравнений, определяющих оптимальную пе­ риодичность ПЗ, о учетом, влияния внезапных отказов, полного и неполного восстановления свойстз элементов после АР и ПЗ. Простой вид этих условий [Л. 53], в ко­ торые входят параметры ФР времени безотказной рабо­ ты элементов и показатели затрат на АР и ПЗ, позволя­ ет легко убедиться в целесообразности поиска оптималь­

ных решений.

Обозначим: F{t) — ФР времени безотказной работы элемента, ср— средние затраты на один АР; сп — сред­ ние затраты на одну ПЗ; %— периодичность ПЗ; с(т) — удельные эксплуатационные расходы (УЭР). Обычно ср и Си измеряют в рублях или часах, а с(т) — руб-ч~1 или в относительных единицах. В последнем случае по физи­ ческому смыслу с (г) является коэффициентом простоя.

Условия существования и характеристики оптималь­ ной ПЗ, итерационные алгоритмы отыскания т0Пт найдем из решения задачи в. постановке, ставшей уже традици­ онной [Л. 15, 17, 18]: F(t), сѵ « са известны, требуется определить т0Пт, минимизирующую математическое ожи­ дание с (т).

141

Дифференцирование выражения (4-25) по х и при­ равнивание производной нулю дает:

Если решение уравнения (4-26) существует и являет­ ся единственным, то существует и оптимальная пери­ одичность ПЗ, минимизирующая выражение (4-25).

Докажем условия существования и единственности решения (4-26) для ВФИ- и ОВФИ-распределений.

Теорема 4-1. Если F(t) есть ВФИ-распределение с не­ прерывной плотностью и

то на интервале [0, оо] решение уравнения (4-26) суще­ ствует.

Доказательство. Обозначим левую часть (4-26) через Ь(т) и исследуем предельное поведение этой функции. Из условия теоремы следует, что она непрерывна, по­ этому .

доказать.

Из теоремы следует, что при ср^ с п оптимальной ПЗ не существует, что вполне соответствует физическим представлениям. Для случая ср = сп этот результат, полу­

142