Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf

соответствует физическому смыслу задачи — увеличение УЭР приводит к уменьшению &то.

Вообще неопределенные множители Лагранжа в дан­ ном случае позволяют легко определять целесообраз­ ность дополнительных затрат. В рассмотренном примере увеличение УЭР на А С = 0,1 руб-ч~1 позволяет умень­ шить &TO на Мто = уАС=0,226• ІО-5.

4-6. Оптимизация технического обслуживания систем методами линейного программирования

Методы линейного программирования можно приме­ нять для оптимизации ТО, когда множества состояний марковской модели и стратегий управления конечны, управляемые процессы имеют состояние статистического равновесия, порождаемый процессами эргодический класс единственный [Л. 15]. На практике все эти условия,, как правило, выполняются,

Рассмотрим следующую модель оптимизации ТО. Процесс функционирования и обслуживания устройства отражает марковская модель, описанная в § 3-8. Для со­ стояния статистического равновесия ее вероятностные характеристики полностью определяет матрица интенсив­ ностей переходов. Предположим, что мы располагаем различными стратегиями управления некоторыми или всеми элементами этой матрицы и каждая стратегия приводит в . конечном итоге к определенным расходам. Найдем оптимальные стратегии управления, минимизи­ рующие математическое ожидание УЭР.

Обозначим: dik и cih —стратегия управления и за­

устройства из состояния Si в состояние Sj при условии, что в состоянии Si была выбрана стратегия dir, Dih = = P(d=dik/Si) — вероятность выбора стратегии dih при условии, что в момент очередного KP устройство нахо-

ѵі

дилось в состоянии Sy, S Dih = 1; Яі — предельная ве-

роятность пребывания устройства в состоянии Si. Получим аналитические выражения для целевой

функции и ограничений,

153

Введем вспомогательную вероятность Xik=niDih— предельная вероятность пребывания устройства в состоя­ нии Si, если в нем использовалась стратегия dik. Зада­ ча оптимизации заключается в том, чтобы при заданных сці и dij(k) так выбрать управляемые переменные х& [в конечном итоге, так выбрать ац (k)], чтобы минимизи­ ровать линейную форму

154

Как следует из постановки задачи и вида (4-51) — (4-53), задача является типичной для линейного про­ граммирования. В соответствии ,с основной теоремой ли­ нейного программирования [Л. 59] о том, что оптималь­ ное решение содержит столько положительных перемен­ ных, сколько ограничений выполняется в виде независи­ мых равенств, решение поставленной задачи существует и содержит п переменных, что, как и положено, в точ­ ности соответствует числу состояний.

Однако построение вычислительных алгоритмов имеет ряд особенностей. Например, если применять симплексметод, необходимо учитывать, что в базис и решения не могут входить переменные с одинаковым первым индек­ сом. Так как любая стратегия выбирается независимо, общее число допустимых решений

"п-і

#1= П Ѵі-

<=0

Зная оптимальные значения хщ>пт, нетрудно опреде­ лить ВерОЯТНОСТИ Яіошг И Dihoпт

состоянии определенная стратегия выбирается с вероят­ ностью единица.

Алгоритм оптимизации ТО методом линейного про­ граммирования следующий: выбирают число N состоя­ ний марковской модели, формулируют стратегии управ­ ления ѵі, вычисляют элементы матриц i[af;(&)] и (с,-ь), на­ ходят хікопт, рассчитывают я*опт и D a0Пт, определяют ТЭХ оптимального ТО, математическое ожидание мини­ мальных УЭР, коэффициенты готовности или простоя, числовые характеристики, а в случае необходимости и закон распределения выходного параметра устройства.

Пример 4-6. Предположим, что функционирование и обслуживание непрерывно используемого приемника

155

ные данные оптимизации ТО и показать особенности формализации постановки задачи, рассмотрим возмож­ ные стратегии обслуживающего персонала, когда прием­ ник находится в различных состояниях.

Если приемник находится в So, обслуживающий пер­ сонал считает целесообразным лишь контролировать его работоспособность. Тогда в 50 он располагает только одной стратегией d0 и, следовательно, ѵо=1. Если в мо­ мент KP приемник находится в состоянии Si, обслужи­ вающий персонал может выбирать, например, две страте­ гии: du или di2, лц=2. Он может по-прежнему ограни­ читься KP du и может провести оперативную регулиров­ ку (РГ) без прекращения работы di2. Величина йю (2) является интенсивностью РГ.

Если приемник отказал — находится в S2, обслужи­ вающий персонал может провести АР своими силами — du (а2о (1 )— интенсивность восстановления работоспо­ собности) и может пригласить специальную бригаду — ^22, которая располагает более квалифицированными ре­ монтниками, имеет более совершенную контрольно-изме­ рительную аппаратуру, запасные .детали и все инстру­ менты, необходимые для АР. В последнем случае интен­ сивность АР возрастает, но одновременно растут и затраты на АР.

Если приемник выведен на ПО (S3), имеется только одна стратегия (dsі) — проводить ПО своими силами.

Исходные данные примера сведены в табл. 4-2. Они носят иллюстративный характер, но подобраны из обла­ сти реальных значений. Величины е0і и Сц характеризуют

156

но ожидаемые затраты для каждого состояния, т. е.

В соответствии с основной теоремой линейного про­ граммирования остальные переменные равны нулю, по­ этому

«01*01 + «н*іі + «21*21— 0;

«02*01 + «12*11 + «22*21 = 0 ;

«1 3 * 1 1 + «зз* зі= 0;

* 0 1 + * 1 1 + * 2 1 + * 3 1 = 0 .

Как обычно решим эту систему коэффициентным ме­

Сучетом данных табл. 4-2 получим: х01= 0,905;

~0,0943; 0,0986-ІО-3; х31»0,6104-ІО“3. ТЭХ ТО для такого управления М[С}=0,10768 руб-ч~1-, kv=0,986■ ІО-4; &п=0,6104• ІО-3; йг= 0,9993.

Если относительные квантованные значения чувстви­ тельности приемника у*0= 0,9; у * і= 0,8; у*г~У*г=^, то математическое ожидание и дисперсия чувствительности

Шу~0,8905; о \ = (3,59- ІО-2)2.

Перейдем к улучшению решения. Посмотрим, к чему приведет использование di2. Новое решение

приводит к М[С]=0,0889, следовательно, решение Di не является оптимальным.

157