Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf

Попробуем еще улучшить решение и введем страте­ гию й?22. тогда

а М [С]^0,05696, следовательно, D0ni = D3. Для него Хоі=

KP и РГ для второго состояния, проведение АР специ­ ально приглашенной бригадой в третьем состоянии и про­ ведение ПО своими силами в четвертом состоянии.

В рассмотренном примере оптимизации ТО по сравне­ нию с Di приводит к снижению УЭР примерно на 55,3%, увеличению &г на 0,053%, улучшению математического ожидания чувствительности на 0,953% и снижению сред­ неквадратического значения чувствительности на 15,2%.

Пример показывает, что отыскание оптимальных ре­ шений методами линейного программирования относи­ тельно сложная вычислительная процедура, особенно для реальных задач, где велики число возможных состояний изделий и число стратегий в каждом состоянии. Поэтому актуальны также и задачи построения более совершен­ ных вычислительных алгоритмов, учитывающих специфи­ ку оптимальных задач ТО.

Итак, в этом параграфе сформулирована задача оптимизации ТО как задача линейного программирова­ ния, отмечены особенности ее решения. По сравнению с классическими методами оптимизации ТО (см. § 4-2— 4-5) методы линейного программирования требуют не­ сколько большего объема исходных статистических дан­ ных, но зато позволяют оптимизировать процесс с учетом совместного проведения KP, РГ, ПО и АР. Недостатком является то, что учет расходов ведется не дифференци­ рованно— например, затраты, обусловленные отказами изделий, учитываются в неявном виде. Полученные ре­ шения справедливы только для режима статистического равновесия. Последний недостаток не является сущест­ венным, так как для обслуживаемых и восстанавливае­ мых изделий этот режим практически наиболее интересен.

158

4-7. Итерационный алгоритм оптимизации обслуживания систем методом динамического программирования

Модификацией симплекс-метода линейного програм­ мирования, допускающей многократные подстановки [Л. 50], является итерационный алгоритм улучшения ре­ шения, предложенный Р. Ховардом [Л. 51]. Эта модифи­ кация позволяет существенно сократить объем вычисле­ ний и экономить машинное время, за счет этого может быть значительно увеличена размерность решаемых задач.

В соответствии с [Л. 51] рассмотрим управляемый марковский процесс с доходами и расходами. В дальней­ шем, ориентируясь на задачи ТО, будем говорить о рас­ ходах. Предположим, что пребывание устройства в со­ стоянии Si связано с расходами в среднем г« рублей в единицу времени. Величина га может характеризовать, например, убытки от простоя оборудования на АР и ПО. Если устройство переходит из Si в Sj (іФ ]), обусловлен­ ные этим переходом средние расходы равны Гц, руб., за один переход. Величина Гц может характеризовать, например, стоимость отказа устройства во время опера­ тивной работы. Ясно, что в общем случае гц и гц могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

Как и ранее, задача оптимизации заключается в вы­ боре таких стратегий в каждом состоянии, которые ми­ нимизируют математическое ожидание УЭР. Итерацион­ ный алгоритм позволяет осуществлять направленный перебор решений. Например, если устройство может нахо­ диться в 10 состояниях и в каждом состоянии может применяться 10 стратегий, то, применяя обычный пере­ бор, придется ІѴі= 1010 раз решать систему алгебраичес­ ких уравнений десятого порядка. С помощью итерацион­ ного алгоритма оптимальное решение находят за не­ сколько, обычно три — десять, итераций.

Следуя [Л. 51], выведем аналитические выражения Для целевой функции для состояния статистического рав­ новесия. Дифференциальные уравнения, описывающие динамику расходов в переходном режиме, составляют так же, как и для вероятностей (см. § 2-2—2-4). Если устройство начинают эксплуатировать из состояния Su

159

математическое ожидание ЭР за время t определяется следующим образом:

на/ но ожидаемыми расходами для 5г-. С учетом этого

Ѵ'г (/) — сг- -+- £

і=о

ет матрицу Т предельных вероятностей с сомножителем S-1 — элементы і-й строки этой матрицы являются пре­ дельными вероятностями процесса, если он начинается из состояния S i , и матрицу L(s) переходных составляю­

щих, т. е. ( s E — Л ) - 1 = 5 - 1 Г + L ( s).

Следовательно, ■

V ( s ) = s - is - 'T + L(s)]c+[s-'T+L(s)]V( 0).

+ТѴ(0), где постоянная составляющая ЭР G= L(0)c+

+ТѴ(0), а УЭР С — Тс. С учетом этого

Дифференцируя это уравнение по времени с учетом дифференциальных уравнений для ЭР, получим

i=o i=o

1 6 0

Так как это уравнение должно быть справедливо для состояния статистического равновесия (при /— мх>), то сомножитель при t должен быть равен нулю и уравнение для УЭР распадается на два

один эргодический класс, поэтому Ci~Cj = C (математи­ ческое ожидание УЭР не зависит от того, из какого со­ стояния устройство начали эксплуатировать).

Следовательно, второе уравнение является тождест­ ву-і

вом, так как уравнение ][] а ^ ~ 0 отражает фундамен-

/=о

тальное свойство матрицы интенсивностей переходов.

г=о

Уравнение (4-55) и лежит- в-основе итерационного алгоритма отыскания оптимальных решений. Итерацион­ ный цикл состоит из двух операций: определение весов (OB) gj из решения системы (4-55) при ^ _ , = 0 и улуч­ шения решения (УР), которое заключается в использо­ вании полученных весов gj предыдущего решения для нахождения стратегии eff*, минимизирующей УЭР:

Новое вектор-решение ./) будет найдено, когда про­ цедура УР будет выполнена для всех состояний. Если новое вектор-решение' совпадает с предыдущим, итера­ ционный процесс сошелся и оптимальное решение найде­ но, в противном случае опять возвращаются к операции OB. Если старое решение в состоянии Si приводит к оди­ наковым УЭР с какой-либо другой стратегией, необхо­ димо оставить старое решение —это обеспечивает сходи­ мость итерационного процесса при наличии эквивалент­ ных решений.

Как и другие методы линейного и динамического про­ граммирования, итерационный метод справедлив только для режима статистического равновесия. Если необходи­ мо оптимизировать ТО на конечном интервале времени (когда режим статистического равновесия еще не успе­ вает установиться), применяют аппроксимацию марков­ ского процесса цепью с последующим использованием рекуррентного метода [Л. 51]. Однако это существенно усложняет вычислительную процедуру.

По сравнению с другими методами линейного про­ граммирования итерационный метод является более гиб­ ким (структура расходов учитывается более дифферен­ цированно), он легко программируется, позволяет суще­ ственно сократить объем вычислений и затраты машин­ ного времени при отыскании оптимальных решений.

4-8. Применение итерационного алгоритма

Применяя итерационный алгоритм, по известным ац и гц найдем оптимальное ТО отдельного блока радиоэлек­ тронной системы, например приемника РЛС [Л. 15]. Используем модель примера 4-6, в которой для упроще­ ния объединим состояния S 2 и S3. Для удобства вычис­ лений выберем единицу времени, равную 10 ч.

Матрицы Іаі}] и jгц] имеют вид:

Рассуждая так же, как и в примере 4-6, определим стратегии обслуживающего персонала для каждого со­ стояния приемника.

Если приемник находится в состоянии So, обслужи­ вающий персонал считает целесообразным лишь KP (rfoi). Следовательно, ѵо=1. Предположим, что стоимость рас­ ходов на KP 1 руб. в единицу времени, а остальные рас­

162