Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf

Доказательство этой теоремы аналогично предыду­ щему с тем лишь отличием, что

lira L (т) == lim Л (т) lim [P{t)dt = мин (а0, аt)T 0. t->co т~>ао «J

Пример 4-2. Пусть время безотказной работы элемен­ та имеет гамма-распределение с параметрами п и а, тог­

При п = 1 и Ср^Сд это условие не выполняется. Теорема 4-3. Если Л(/) ВФИили ОВФИ-распределе-

ний есть дифференцируемая функция и решение (4-26)

Следовательно, L (т) является монотонно возрастаю­ щей функцией, которая при изменении %от 0 до оо толь­ ко один раз пересечет уровень ср(ср—сп)_1, что и требо­ валось доказать.

Когда существование и единственность решения (4-26) установлены, можно приступить к отысканию т0птОбычно эту процедуру рекомендуют выполнять графи­ ческим методом. Сократить объем вычислений и гаран­ тировать требуемую точность результатов можно за счет использования итерационного алгоритма отыскания Топт, построенного по методу Ньютона [Л. 57]:

где для ВФИ-распределений Xo=kcaT0{cp—Со)-1; для

1-» С О

грешности линеаризации L ( t ) . Так как метод Ньютона обеспечивает сходимость более быструю, чем сходимость геометрической прогрессии с любым знаменателем, мень-

143

шим единицы, то требуемая на практике точность дости­ гается за две-три итерации [Л. 57].

После отыскания т0ПТ целесообразно оценить мини­ мальные УЭР по формуле (4-25) и выигрыш W от опти­

мизации ПЗ. При отсутствии ПЗ lim М[с(т)] = сѵТ ^ 1, еле- т-»со

довательно,

= 654 ч, тг=584 ч , тз=574 ч . Вычислительная процедура прекращена, так как последние два значения отличаются менее чем на 2%. Следовательно, тОПт~574. Отметим, что, несмотря на «неудачный» выбор т0 (&=1), итераци­ онный процесс сошелся за три итерации.

Найдем ТЭХ оптимальной ПЗ: М [с5ШН (574)] = = 0,0441 руб -ч -1;

№= 26,5%; ТсштГ'1=0,344.

Целесообразность оптимизации ПЗ очевидна, так как она сокращает средние УЭР примерно на 26,5%.

Перейдем к условиям, характеризующим влияние вне­ запных отказов на решение (4-26). Выберем ОВФИ-рас- пределение типа (4-28), в котором для простоты поло­ жим Хо-=Хі=к, ро=\. Используя неравенства (4-29) и (4-30), получим следующие условия существования опти­ мальных ПЗ при взаимосвязанных внезапных и посте­ пенных отказах:

144

(внезапные отказы отсутствуют или не учитываются), кривая 2 —при Хщ1= 0 ,2 , кривая 3 — при Ят^"1= 0 ,4 . Из условия (4-34) следует, что минимум функции (4-25) неразличим в данном случае при Яі)^1> 7,5. Как видим,

влияние внезапных отказов проявляется в том, что мини­ мум функции (4-25) как бы «размывается», однако, что очень важно, величина т0ПТне изменяется. Сростом числа внезапных отказов растет лишь величина ЛГІСмщ^Топт)]-

На рис. 4-2 приведена типичная зависимость относи­

тельной величины оптимальной периодичности тД“ 1 от

величины СрС_1п (кривая 3). Как и следовало ожидать, рост затрат на АР влечет за собой уменьшение тТ~^, т. е. в такой ситуации целесообразна более высокая частота проведения ПЗ.

Для случая роф і использование неравенств (4-29) и (4-30) дает следующие условия существования опти­ мальной ПЗ для вероятности полного обновления свойств элемента после АР или ПЗ:

Ро> ~ ъ г ^ 7 ’ а» = а>-

Они говорят о том, что проведение ПЗ нецелесооб­ разно, если вероятность полного обновления элемента

полностью обновить элемент при ПЗ, то ПЗ следует про­

146

тельно расширяется диапазон изменения р0, в котором оптимизация целесообразна.

На рис 4-2 (кривые 1, 2) и рис. 4-3 показаны типич­

ные зависимости -сТ ~1и W от ро. построенные при гіо=

= г)і = 2 • 10-3 ч~1, Яо = Лі = 0. Кривые 1 рассчитаны при СрС_1п= 5, кривые 2 — при срс_1п=10. Выигрыш от опти­ мизации существенно зависит от степени обновления элементов после АР или ПЗ.

оптимизировать периодичность ПЗ элементов с целью обеспечения минимума математического ожидания УЭР,

построен итерационный алгоритм определения х и

проиллюстрировано влияние внезапных отказов, непол­

ОГт

Алгоритм расчета ТЭХ оптимальной ПЗ следующий: выбирают целевую функцию, по которой возможна и це­ лесообразна оптимизация; статистическими методами определяют интенсивности ухудшения параметров, ин­ тенсивности внезапных отказов, показатели затрат сѵ, са, вероятность р0; проверяют выполнение необходимых условий (4-27), (4-29), (4-30), (4-34), (4-35), с помощью

147