Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

мая от

реализации

изделий, имеющих параметр

 

 

Уі

(т, а, у) dy и имеющих параметр а0>

у2, D2~ d 2N

 

а

уа

 

 

ожидание

прибыли

от выпуска N

с, у) dy. Математическое

изделий

 

D(m, о) =

( У

а

У 1

о

\

(6-8)

 

I d j*f dy +

j f d y + d2J /^

1*

 

 

\

к

а

Уі

J

 

Так

как ограничение

учтено при выводе функции

(6 -8 )

и в яв­

ном виде отсутствует, отыскание т0шт.и сгг<тт можно осуществить

стандартным

методом дифференциального

исчисления.

Функция

(6 -8 ) достигает максимума, если

 

 

 

 

 

 

dD_

О,

 

 

 

 

(6-9)

 

dm

 

 

 

 

2

 

где

d2D

° 22~

d2D

 

d2D

и а11агг — Д]2 > 0 , йи < 0 ,

аи — dm2 ’

дя2 ' а' 2 = дтдя

вычисляют в стационарной точке.

 

 

а то~1> 3,

по­

В практически интересных задачах Ь— а>6а,

этому нормирующий множитель усеченного распределения öo

бли­

зок к единице

и можно положить а——оо,

Ь = оо. Это

упрощает

аналитические

преобразования.

Выполнив

дифференцирование

(6 -8 ) по параметрам т, а и приравнивая производные нулю, после

необходимых преобразований получим:

 

 

 

 

 

d — di

 

 

 

 

т = ( 2 аг In d- -І2 + У2-УІ) [2(Уг-

-у,)]-1;

( 6- 10)

 

 

у\ ■ ■УІ]

(d —й,)(г/,-

■т) 1 - 1

 

 

 

= [2 т (уг — уг) +

[2ІП(d — d2) (у2 — т)

(6 - 11)

и

Уравнения (6-10), (6-11)

определяют оптимальные значения

т

а2, доставляющие

максимум D(m, а). Анализ показывает,

что

эта система совместна только

в двух случаях: 1) т > у2, d>di,

d2\

2 )

т < уI, d>di, dz,

которые имеют ограниченное

практическое

зна­

чение. Поэтому во многих случаях решение задачи совместной опти­ мизации одновременно двух моментов во в такой постановке неце­ лесообразно.

В большинстве задач практически интересна оптимизация одного из моментов. Решение уравнения (6-10) существует в двух

случаях: 1)

d>du d2\ 2 )

d<di,

d2\ нетривиальное

решение уравне­

ния (6 -11)

существует в

следующих практически

важных случаях:

1)

yi< m < y2,

di< d< d2

или

d2<d<di\ 2 ) т > у2,

d<di, d2;

3)

т < уи d<di, d2.

 

 

 

 

 

 

Математическое ожидание максимальной прибыли от продажи

одного изделия

 

 

 

 

 

 

 

 

АиакЛм, °) =

|\d —Й2)Ф

+

 

 

 

+

(di — d) Ф ( У'

я

- j 1 1 руб (изделие)-1.

(6 -12)

201

Пример 6-1.

Пусть d = 10 руб.,

di = d2=5

руб.,

0 = 1 ,

Уі=2,

г/2 =12. Требуется найти /я0Пт.

 

 

 

 

 

Используя уравнение (6-10), получим

м 0ПІ =

—

— = 7 .

т. е.

если dt = d 2, то

оптимальное математическое ожидание, как

и сле­

довало ожидать,

лежит в середине

поля

допуска

независимо от

дисперсии процесса. Подставляя топт = 7

в формулу

(6-12),

найдем

Пмако(«опт) =0,4999 руб(изделие)-1. Нетрудно убедиться, что при

других значениях т величина £><£>макс,

например

при

т=4

£>=0,4835, т. е. экономическая

эффективность оптимизации

W=

= 8,21%.

 

d= 10 руб.,

 

 

Пример 6-2. Пусть уі=2, £/2 = 1 2 , m =10,

rfi = 8

руб.,

d2—l2 руб., необходимо найти

s^nT.

 

 

 

Используя уравнение (6-11),

получим ОцПТ=(4,65)а, £>мгк(, (’о п т ^

«0,278 руб-(изделие)-1. Как и ранее, нетрудно убедиться, что иные

значения а

дают

,D<Dм а К с, например

при 0 i = 2 , £>і=0,0178 рубХ

Х(изделие)-1, т.

е. WT»93,5°/o, при

0 2 = 8 , £>2=0,185 руб • (изде­

лие)-1, т. е.

1К2=33,5%.

 

Примеры показывают, что оптимизация изготовления изделий даже в простейшем решении может обеспечить высокий экономи­ ческий эффект и экономическую эффективность.

Итак, в этом параграфе рассмотрена задача оптимизации мо­ ментов начального распределения выходных параметров изделий с точки зрения обеспечения максимальной прибыли заводу-изгото- вителю, найдены условия существования оптимальных решений и на примерах показаны особенности отыскания оптимальных момен­ тов. Обобщения этой задачи можно получить, если с использова­ нием формул (6 -6 ) рассматривать несколько выходных параметров, если, используя ряд Грама — Шарлье, применять более общие рас­ пределения, если учитывать зависимость математического ожидания прибыли от моментов высших порядков и т. п.

Полученные результаты полезны не только при оптимизации производства изделий, но и при расчете оптимальных режимов на­ стройки или регулировки различных технологических процессов, про­ текающих в автоматических поточных линиях. Очевидно, что в роли da, di, d2 и D могут выступать и не только экономические показа­ тели.

6-3. Вероятностный анализ характеристик качества проектируемых устройств, предшествующий оптимизации синтеза

Целью предлагаемого метода расчета является определение вероятностных характеристик качества элементов, устройств и си­ стем по вероятностным характеристикам элементарных случайных величин (ЭСВ), которые входят в неканоническое представление процессов ухудшения параметров (УП), АР и ПО. Предполагается, что вероятностные характеристики ЭСВ, имеющих очевидный физи­ ческий смысл, могут быть легко найдены по результатам статисти­ ческого анализа.

202

Основное назначение вероятностного расчета— дать возмож­ ность непосредственно оценить влияние каждой ЭСВ УП, АР и ПО на качество функционирования проектируемого изделия. Иными словами, результаты вероятностного расчета должны отвечать на вопросы: как количественно изменится та или иная характеристика

качества, если например,

на

2 0 %

увеличится дисперсия производст­

ва, на 1 0 %

увеличится

скорость ухудшения параметра,

на 2 %

уменьшится

время АР,

на

40%

увеличится интенсивность

вывода

на ПО и т. н. Ясно, что ответы на эти вопросы указывают направ­ ления дальнейшего повышения качества. Если учесть к тому же, что любое изменение качества создаваемого изделия влечет изме­ нение приведенных годовых расходов (ПГР), становится очевидной необходимость решения задачи анализа качества именно в такой постановке, так как результаты решения позволяют относительно просто оптимизировать синтез.

В этом параграфе мы рассмотрим определение характеристик качества обслуживаемых и необслуживаемых изделий при линейной и параболической аппроксимации УП. Покажем приближенный ме­

тод

определения вероятностных характеристик

качества

устройств

по

известным вероятностным характеристикам

качества

элементов

и уравнениям связи выходных параметров с внутренними. Особен­ ности этого метода проиллюстрируем примером расчета характери­

стик качества і^С-генератора.

характеристик

качества

необслужива­

 

Рассмотрим

определение

емого элемента

при

линейной

аппроксимации УП.

Интенсивность

УП

определяют

соотношения

(7-28),

где

A x=(xMaKc — хМИн)2-1,

(Хмакс— Хмин)— диапазон допустимого

по ТУ изменения парамет­

ра элемента. Так как

все

характеристики

качества

определяются

этой

интенсивностью,

квантованными

значениями

и начальными

условиями, основная

задача — найти

оптимальные

квантованные

значения и начальные условия, обеспечивающие хорошее в средне­ квадратическом смысле совпадение характеристик УП, полученных прямым методом и методом марковской аппроксимации.

Используя систему уравнений (2-85), при произвольных началь­ ных условиях Р і (0 ) =Рі получим:

Р» (О = 'Л (0 = ( P t + a J p M - 1)

Р 2( 0 = 1 - / > „ ( < ) - Л (О-

С помощью этих вероятностей, как обычно, найдем характери­

стики надежности элемента

 

Р (0 = (Po +

Р\ + ’ a1tPo^ - >) e - a'Ux"-,

f (t)

(pl + ajpo&x-') e~aitAx

A W

- ' ^ T ^ . / £

ö

; r . = ^

(2ft + A); (6-13)

 

Po + P i+ a J P o & x -1

 

 

2

Дх2

Vf-

■(2Ao +

Pi)

5r

— г (2Л + Аі).

Начальные и центральные моменты q-то порядка приближенно­ го распределения параметра элемента определим, как и ранее, с nor

203

мощью квантованных значений х*і и вероятностей Pi(t)

2

2

 

 

mq — 5 j {x.*i)qPt (0 .

К ч = S (х*і — « ,)«

(/).

(6-14)

i—0

i= 0

 

 

Свободные параметры х*і и p ; в формуле (6-14) необходимо выбирать так, чтобы получить хорошее соответствие точного и при­ ближенного законов.

Используем точные значения математического ожидания и дис­ персии для «привязки» свободных параметров методом наименьших квадратов. В общем случае для этого целесообразно применять та­ кие характеристики, которые приводят к более простым вычисли­ тельным процедурам и в то же время относительно часто исполь­ зуются в расчетах.

Чтобы уменьшить число неизвестных, положим рг=0, а рі вы­

берем из условия

совпадения точного

и приближенного среднего

времени безотказной работы, тогда

 

 

 

Р і = ( а о

— хг)Дх- 1 — 2р0,

(645)

а ро, так же как и х*і,

необходимо

искать методом

наименьших

квадратов, например,

из условия минимизации

 

[S:

 

2

 

2

 

 

2

Х*іРг (h) — (rn0 — mJb)

(6-16)

k=\

1=0

 

 

Выполнив дифференцирование по х*і, ро и проделав необходи­

мые преобразования, получим:

 

 

S

X x*iPi (tк) — (Щ— mjb

Р г Ѵ к ) 1 = 0 ,

 

k=l

і=о

 

і = 0 , 1 ,

2 ;

I

г г 2

 

 

 

 

Е Е*-Л(tк) — («*„ — /и*Л)

X

' (6-17)

k=\

0

 

 

 

 

'nhjf

 

 

X | У „ + Х*І

bx “ 2 +

 

 

+ %*2

 

 

)

 

 

 

 

где Mh — e

X . Система

уравнений (6-17)

из четырех

нелинейных

алгебраических уравнений определяет искомые оптимальные пара­

метры х * і о п т и ро о п т .

Вычислив

эти параметры, как обычно,

опре­

деляют моменты формулы (6-14)

и строят ряд

Грама — Шарлье.

Таким образом, с

помощью

квантования,

марковской и

линей­

ной аппроксимации УП мы получили аналитические выражения для

204

наиболее важных характеристик качества элементов. В них вошли ЭСВ я0 и ßi, и теперь можно непосредственно исследовать влияние свойств яо и йі на характеристики качества.

 

Пример

 

6-3.

Рассмотрим

влияние

/и, на Г 0.

Пусть Дх =

0,2;

Аопт = 0,95;

р 10пт = 0,05, тогда

Т0

0,39/я^- 1 . Е

с л и ч ~

\

то

То= 390

ч;

если

ті= 1,2*10 _3

ч_1,

то Го«325 ч. Следовательно,

увеличение

средней

скорости

ухудшения

параметра

на 2 0 % приво­

дит

к сокращению

среднего

времени

безотказной работы примерно

на

16,7%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем к определению вероятностных характеристик обслу­ живаемого элемента. Используя систему (2-85), для режима стати­

стического равновесия определим

вероятности

пребывания элемента

в различных состояниях

 

 

 

 

 

р„ =

я,Дх (1 +

у,) г - 1;

= я 1Дх2~1; р г =

р 3 =

2~5ßf арг~

 

 

Рі

— Pt, = Y/ 2 - ’ßf (1 + Y„) а пг -

 

 

 

где г =

«! (2 4 - yv) Д х+ ö?ßp -f Yvöian (! + Yv)l др — случайная продол­

жительность

AP; яп — случайная

продолжительность

ПО;

—: нор­

мированная

интенсивность

вывода элемента

на ПО; Тѵ =

ѵ7! _1 =

= ѵд'р’Дх.

Эксплуатадионные коэффициенты

(2 + Yv)

k^ = a\anz ~ \ kn =

(1 + Yv) 2 “ 'I

 

 

(6-18)

 

a xAx (2 + ■(,) [a ~ ‘ A* (p„ +

Pi) +

^

f ß f ,Ax(2/70-f-JoI) ][a 1(2 + Yv) Д х +

+ Л (а“ 1** + 0] в-*1**"

-*•--------

2-----------

5---------------

Г -

(6-19)

+

alaV+

Yve lan (1 +Yv)]

 

Таким образом, мы получили аналитические выражения для ве­ роятностных характеристик надежности обслуживаемого элемента в установившемся режиме эксплуатации. В эти выражения входят ЭСВ ßi, Яр, Яп и Yv’ которые характеризуют процессы УП, АР и

ПО. Используя уравнения (6-14) и (6-17), нетрудно построить ряд Грама — Шарлье для установившегося режима.

При параболической аппроксимации УП

интенсивности т)0 и

г)і определяют соотношения

(7-53) и (7-34),

в

которые входят ЭСВ

я<ь Яі, яг. Используя систему

(2-85), получим:

 

 

р о(0 = л«-**; А (0 = (\ а + v—É41V ")) e~4lt-^lo — ^jl

А (t) = i —P0 (<) —Л (f).

Так же, как и ранее, определим характеристики надежности и систему уравнений для определения оптимальных квантованных зна-

205

Смотрите также файлы