Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 122

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

нии имеют вид [Л. 15]:

Р 'г- ( т ) = - !ггЧіРІ.(т) + !х,Р,_1(х), i = ÖTiH, (2-29)

где (іі — интенсивность проведения й"і операции восста­ новления, ііг= 0 при т < / ^ 0.

Как правило, отсчет ведется от момента времени, когда не выполнено ни одной операции восстановления, поэтому можно считать, что в начальный момент време­ ни т = 0 система находится в 50-м состоянии и начальные условия для решения системы (2-29) определяют сингу­ лярное распределение

РІ К ) = 5ог.

1 = О, Ш,

(2-30)

где бог — символ Кронекера.

Могут представлять

инте­

рес и другие начальные условия, например, в которых предполагается, что в начальный момент времени уже выполнено k операций восстановления. Однако даль­ нейшее решение такой задачи аналогично, достаточно лишь учесть, что в этом случае процесс включает т' = = т—k операций. Очевидно, можно использовать и бо­ лее общие начальные условия, которые определяют не­ сингулярное распределение

 

Рі і \ ) =

 

Рі\ і =Ö T ^;

т

 

 

 

2

^ = 1.

(2-31)

 

 

 

 

 

 

/=о

 

Прямое преобразование Лапласа системы (2-29) при

начальных условиях (2-30) дает:

 

 

 

РА*)

 

 

 

P /o \--- ----------üi______

. •••>

s + [X.’

ll

(s +

fAi)(s + [A2)

 

_____ M*1ia2• • •

- l______ .

 

P m - 1 ( S )

=

 

 

 

(s +

(T,) (S +

m )

. .. (s -f- Jj.m)

’

 

 

 

 

Л /„\_-______ РчР'Й ,. , fAw______

* m l 6 /

s (s _i_ JJ,,) (s -(- |J.2) . . . ( s + |Tm)

Вероятность восстановления устройства ветствует вероятности попадания марковской состояние Sm, следовательно,

(2-32)

V{x) соот­ системы в

 

 

 

in

т

 

 

 

 

V (х) =

р т (х)— 1 ■ V

д - ! Ѵ П

14

(2-33)

 

 

 

U

* ■

H-t —

 

 

т

т

i = 1

M i

 

 

 

 

 

 

г д е

Е

П

= ' ■

 

 

 

 

і = і

іфі

 

 

 

 

3 - 3

8 5

 

 

 

 

33

Плотность распределения вероятности восстановле­

ния

 

Ѵ-І—Н

■pp

(2-34)

(=і і^ і

 

 

 

интенсивность восстановления

 

 

W(т) =

О(х)

 

(2-35)

1 -Ѵ(х)

 

 

 

 

Используя выражения (2-32) как моментные производящие функции времени пребывания системы в со­

стояниях S0, Sm-1, найдем математическое ожидание времени восстановления

Ш-І

 

 

 

 

(2-36)

І — О

s —о

 

 

 

Дисперсию времени вычислим

с учетом соотношения

<4Ѵ= т2— Гу, где т2— второй начальный момент

вре­

мени восстановления, тогда

 

 

 

< = 2 БП(нч - H-J

ц*

V’

(2-37)

І=І ІФІ

 

 

 

коэффициент вариации

времени

восстановления

kv =

= ОѵХѵ~1-

Функция (2-34) является плотностью распределения суммы т случайных длительностей операций восстанов­ ления, каждая из которых распределена по своему эк­ споненциальному закону. Это распределение класса гамма-распределений.

В самом деле, если использовать приведенную интен­

сивность

проведения

отдельной

операции

р.=

 

то

распределение

(2-34) приводит

к гамма-распределению с параметрами и, т. В настоя­ щее время в исследованиях процессов широкое распро­ странение получил закон Эрланга первого порядка, ко­ торый является частным случаем гамма-распределения,

34

когда т=2. Такой подход использует гипотезу о том, что восстановление включает две обобщенные операции; отыскание и замену неисправного элемента.

Перейдем к рассмотрению модели, учитывающей из­ менение определяющего параметра устройства при об­

служивании. Предположим,

что

 

Ѳ

S1

обслуживание состоит

из

после­

 

довательно связанных во времени

 

 

 

восстановления,

после

 

которого

 

 

 

устройство

работоспособно

и

 

 

 

определяющий

параметр

прини­

 

 

 

мает значение лучше критическо­

 

 

 

го, и регулировки или настройки

 

 

 

устройства,

после

которой

опре­

 

 

 

деляющий

параметр

принимает

 

 

 

наилучшее значение. Такой

про­

 

 

 

цесс часто наблюдается, напри­

 

 

 

мер, при восстановлении

работо­

Рис.

2-2. Граф

обслужи­

способности

приемника

радиоло­

вания.

 

кационной станции,

когда

после

 

 

 

 

устранения неисправности приходится настраивать отре­ монтированный приемник для получения максимальной чувствительности. Во многих случаях после ремонта сложных устройств возникает необходимость в их регу­ лировке или настройке.

Для упрощения анализа изучим процесс с четырьмя

состояниями т = 2,

п —2.

Это соответствует случаю,

ког­

да различают две

градации выходного параметра,

на­

пример уровень прогноза

(уровень предотказа) [Л.

74]

и уровень отказа, а восстановление состоит из. отыска­ ния и устранения неисправности.

Граф обслуживания приведен на рис. 2-2. Ветвь SoS2 графа отражает то, что с некоторой вероятностью опре­ деляющий параметр может принять наилучшее значение и непосредственно после восстановления — без дополни­ тельной регулировки или настройки. Используем прави­ ло Б. В. Васильева [Л. 30] и составим дифференциаль­ ные уравнения для определения вероятности того или иного состояния системы

Р \ (т) =

— 0Р. (%) -f f\P2 (т);

Р \ (х ) =

— (f t, +

(2-38)

f tР) * СО + f t - P s СО;

. P's СО =

— f t P 3

СО»

где Р3(т ) — вероятность того, что за время т не будет выполнена ни одна операция обслуживания; Р2(т) — вероятность того, что за время т неисправный элемент будет обнаружен; Рі(т) — вероятность того, что за время т работоспособность устройства будет восстановлена и параметр примет значение выше уровня отказа; Ро(х)— вероятность того, что за время т работоспособность устройства будет восстановлена и параметр примет наи­ лучшее значение; рз — интенсивность отыскания неис­ правного элемента; р4 и ро — интенсивности замены не­ исправного элемента; Ѳ— интенсивность регулировки устройства.

В начальный момент времени процесс находится в состоянии S3l поэтому начальные условия для решения

системы (2-38): Рі (0) = б ,з , ( = 0,3. При таких условиях найдем изображения тех вероятностей, которые потре­ буются в дальнейшем:

 

Ps (s) =

- J —

; Р 2(s) =

7-т ----^ ---- -— г ;

 

 

зѴ ’

 

s + H's

2W

 

(s +

Ps)(s +

Po + Pi)

 

 

p

fc\ —

____________ _________________

 

 

 

 

1

 

(s 4 - Р г ) 0 + .u o + Р і ) 0 + 8)

 

 

Вероятность восстановления соответствует вероятнос­

ти того,

что

за

время

т процесс

покинет

состояния Sг

и 5 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У(т) =

1 — \Р2СО +

Р3(х)1=

1 -

а3е~*" -

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2-39)

плотность этой

вероятности

 

 

 

 

 

 

 

и (х) =

 

 

+ (р0+ р .)

 

,

(2-40)

где

ö, =

1 ------д -^ -г — ; а» =

------ —------;

 

 

 

 

ЬЧ 4" "Ь ^2

"

 

— Н*0—Н*1

 

среднее время восстановления

 

 

 

 

 

 

=

1 ^

2 (S) +

^3 (S)]s=0

—

 

 

 

(2-41)

дисперсия времени восстановления

 

 

 

 

 

 

2

2ах I

2аг

 

_2

 

(2-42)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вероятность завершения обслуживания R ( x ) — ве­ роятность достижения определяющим параметром наи-

36

лучшего значения — определим как вероятность попада­ ния процесса в состояние 50

R to = 1 - [^o М + Р>W - Рз W] = 1 - а # ™ -

 

-

але~м

^

- até~^\

(2-43)

плотность этой вероятности

 

 

 

 

г (х)=^а ,е

 

I

I

„

\ „

 

I

„ — 8 *

2 + ( ц 0+

и ,К е '

'Н-ва,<Гв\ (2-44)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

а — а Л________ _________

 

 

3

1 '

(0о

+

0 і

 

= 7 ^ : а4 — «а +

—ü)(60 — 0 2)

 

 

0 і 0 г

 

 

 

 

 

 

Н іИ г

(На — Но — Ні)(Ѳ — Но — Н .)

’ 05

(На — 6)(Ио + H i — Ю ’

интенсивность обслуживания 1ЕГ (т) =

г (т) [1 —/?(т)]-1.

Математическое

ожидание

времени

обслуживания

тг

% Р і И

 

— ,

л____

 

(2-45)

 

 

 

 

—

Мно + н.)

Как и следовало ожидать, среднее время обслужива­

ния складывается

из

среднего

времени

восстановления

и некоторой части среднего времени регулирования, ве­ личину которой определяет соотношение между р0 и 0 4.

Если 0=

const,

 

то

при

pou.71— Д), хг— мгѵ+0_1, при

—1

тГ

МГѵ.

 

 

 

 

 

000 !

 

 

 

 

 

Дисперсия времени улучшения параметра

 

 

2 ___ і ) /

Д |

I

Щ

I

#5

(2-46)

 

г _

\

ні

 

4" Ні)2

'

Ѳ2

 

 

 

вариация этого времени Ѵг= огхг

Пример 2-2. Для иллюстрации свойств описанного про­ цесса технического обслуживания рассмотрим характери­ стики распределения (2-44) при следующих значениях параметров: 0О= 1 «г-1, 01= 1,2 02= 1,4 ч~\ 0 = 0,4 ч~1.

Использование формул для среднего времени восстанов­ ления и обслуживания, а также для вариации этих ве­

личин дает: ту = 1,34 ч;

Ѵѵ=0,343; тг=2,63 ч;

Ег=0,865.

На рис. 2-3

показаны

графики г{ха)сг1 (1),

WT{ax)arx

(2) и R(ax)

(3), где ß=O,25(0o+0i + 02+ 0 ) = 1

ч_1.

37

Смотрите также файлы