Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf

Р'о (0 — — (4) + тіо 4" хо) Po (0 4~ pPN+[-i (0 4"

~Ь ^ Р ДГ ! W 4" !хтР71+т-і (0>

Р \ {t) = - (А, 4 - -Чх + «, + V.) Р , (0 + \ Р а (t) +

4* рР'м+1- 1 + fcfePjv-! (О 4~ Ѵ-тРn+m-i (0>

Р^' ( 0 ~ — Ui 4~ It4" Иі4-Ѵі')Рi (0 4_1lt-iP*-i(0 4~ + pP'N+i—l (0 + ^Рдт_і (0 +

”1 V*mPnfm - 1(4>

P’n-i (0 = — ( 4 - i 4 7!n-i4~xn -i4 v«-i) Pn-i (t) -)- 4~ 1n-äPn-2 (0 4* pPjv+г-і (0 4" ^b-PN- 1(0 4-

4-^mPn+m-, (^)i rt—1

P'n W = — ^iPn (0 4- S *гР* (0 4- Tin -Л -, (0;

43

Трудности решения систем дифференциальных урав­ нений высокого порядка известны. Однако они вполне преодолимы с помощью электронных вычислительных машин. Для грубых оценок характеристик процесса мож­ но использовать системы (2-52) более низкого порядка, вводя более жесткие ограничения на отдельные парамет­ ры и упрощая вероятностную схему. Например, можно учитывать только два работоспособных состояния устройства — две градации качества, можно полагать,

Рис. 2-6. Граф обслуживаемого изделия.

что продолжительности профилактического обслужива­ ния, восстановления работоспособности, неиспользова­ ния имеют гамма-распределения с параметрами k = m —

=1=2.

Вто же время в ряде задач целесообразно идти на повышение порядка системы (2-52), чтобы более точно исследовать структуру процесса. Например, иногда це­

44

Как видим из рис. 2-6, граф, отражающий структуру процесса, является связным, а сам процесс — транзитив­ ным ,[Л. 37], поэтому одно характеристическое число ма­ трицы интенсивностей переходов равно нулю, а все остальные характеристические числа — отрицательны. Следовательно, ряд (2-53) включает постоянную состав­ ляющую са и переходные составляющие, убывающие с течением времени.

Благоприятным обстоятельством в исследованиях ка­ чества обслуживаемых систем является то, что в боль­ шинстве случаев нас интересует лишь установившийся режим процесса — состояние статистического равновесия, которое устанавливается довольно быстро через некото­ рое время переходного процесса, определяемое величи­ ной интенсивностей переходов. В этом режиме вероятно­ сти пребывания устройства в различных состояниях определяют постоянные составляющие ряда (2-53), кото­ рые называют предельными или финальными вероятно­ стями. Их и используют для оценки качества.

Коэффициент готовности Кг обслуживаемого устрой­ ства, коэффициент простоя на восстановлении Кв, коэф­ фициент простоя на профилактике Кп, коэффициент использования Д'и находят из соотношений

Как и ранее, закон распределения выходного пара­ метра устройства определяют приближенно по его мо­ ментам с помощью разложения в ряд Грама — Шарлье [см. (2-2)]. В некоторых задачах можно ограничиться вы­ числением математического ожидания и дисперсии вы­ ходного параметра

п - І N + l - V

45

Пример 2-4. Рассмотрим особенности оценки качества обслуживаемого устройства, используемого в случайные периоды времени. Предположим, что время восстановле­ ния, продолжительность профилактического обслужива­ ния и продолжительность использования имеют гаммараспределения с параметрами m = k — l= 2.

Для определения предельных вероятностей сі0— обо­ значим их для краткости Р,- — необходимо решить систе­ му из восьми алгебраических уравнений

Воспользуемся полученным решением и графическим анализом для изучения зависимостей характеристик на­ дежности обслуживаемого устройства от отдельных па­ раметров процесса. Для упрощения анализа, примем не

■46

тического обслуживания приводит к незначительному вы­ игрышу в увеличении коэффициента готовности. Измене­ ние интенсивности ц ухудшения параметра и интенсив­ ности ■%внезапных отказов характер зависимостей Кт от £р_1 не изменяет, однако с ростом а= г|+ Л падает асимп­ тотическое значение Кт-

4 7