Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 120

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Анализ влияния отдельных параметров распределе­ ний (2-40) и (2-44) показывает, что основную роль игра­ ет наименьшая интенсивность, которая в основном и определяет параметры процессов восстановления и обслуживания. Например, в рассмотренном восстановле­

нии такой величиной является р0=мині![р,0, ць цг], поэтому и-

грубой «оптической» оценкой среднего времени вос­

становления

может служить

величина

т*н = |До_1^ 1 ч

(точное значение ту=1,34 ч).

В улучшении

определяюще­

го

параметра наибольшую

роль играет

величина

Ѳ=

=

мин {цо, Ці,

Ц2, Ѳ],

поэтому

грубой

«оптимистической»

оценкой

среднего

времени

улучшения может

служить

величина

х*г=в~*~2,54 ч

(точная

оценка тг=2,63

ч).

С ростом т интенсивность об­ служивания (интенсивность улучшения определяющего параметра при обслужива­ нии) Wr{t) --- >~МИ'Н[|Ло, |М, |І2,

Ѳ]. В рассмотренном .приме­ ре WT{%)— *Ѳ = 0,4 ч-1.

Перейдем к рассмотрению рандомизированной моде­ ли технического обслуживания. По известным распреде­

лению числа операций и интенсивностям их проведения найдем вероятность завершения технического обслужива­ ния за фиксированное время, плотность этой вероятнос­ ти, математическое ожидание, дисперсию и вариацию времени обслуживания.

Обозначим через я к вероятность того, что процесс со­

стоит из k операций, k = l, т. Условную вероятность пре­ бывания процесса в состоянии в момент времени т обозначим через Pt (т//е), следовательно, Рт(т/т) — условная вероятность завершения технического обслужи­ вания. Эта вероятность по-прежнему определяется из формулы (2-33) с тем лишь отличием, что теперь уже интенсивности проведения операций обслуживания зави­ сят от к.

38

Вероятность завершения технического обслуживания определим по формуле полной вероятности [Л. 28]

R Ы =

ял -Sn

k=\

1=1 l^i

P i

(k)

_ e—V-Ak)i

(2-47)

P i (k)

— P i ( k )

 

плотность этой вероятности

 

f(x)

m

 

k

 

M-t (k) — H-i (k)

 

 

 

 

=

n

p-Pi{k^

(2-48)

 

 

 

 

 

 

ps (^) Pi ik)

 

 

 

k = \

 

i=.\

\ф і

■

 

 

 

 

 

 

среднее время обслуживания

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

81

 

 

P i

(k )

 

 

(2-49)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s7 ,-“fts7 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k — \

i —1 }Фі

 

 

 

 

 

 

 

дисперсия времени обслуживания

 

 

 

 

 

а ? = 2<S-Sli1 1P i

 

рі W

 

 

 

(2-50)

Ю -

P i (*)]

P i ( k )

 

 

'-k= l

i —I ІФІ

 

 

 

 

 

 

 

вариация этого времени Ѵг= згт—I

 

 

 

 

Пример 2-3.

Для

иллюстрации свойств

рандомизиро­

ванного технического обслуживания

рассмотрим процесс

с т — 2 и р, (1) =

24_1, р, (2) =

4^_1,

р2(2) =

3<г-1.

Для

него

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/г (х )= г 1[

і - е- л(|)т] +

Жз(2)Л .

 

 

(2)

 

- М 2 ) і _________ Нч (2)

 

 

— Рг (2)

 

 

Ра (2) — р, ( 2)

 

 

 

 

г (і )= щрЛ 1)е~м1)т +

 

 

 

 

P t (2)

P i

(2)

 

-|Л ,(2)Т _|_

Р ,

(2)

р 2 (2)

- ^ ( 2 ) ,

 

 

(2) — Я-, (2)

е

"И М 2 ) - М 2 )

 

 

На рис. 2-4 показаны графики г(х)

при сингулярных

распределениях

числа

операций: m = l,

я2= 0 (1),

я і=

= 0, я2=

1 (2)

и при равномерном

распределении

я і =

= я2= 0,5

(3) . Как видим, с вероятностной точки зрения

рандомизация приводит, к рассмотрению смеси т гамма-

39

распределений, в которую гамма-распределение с пара­ метром k входит с вероятностью пц. На рис. 2-5 даны графики интенсивности Wr{x) рандомизированного обслуживания при тех же распределениях числа опера­ ций.

Путем предельного перехода нетрудно убедиться, что

 

 

 

т

 

 

Hm Wr (т) =

(1),

lim Wr (х) = Yi ** МЙН [р, (k), pm(é)].

і-»0

 

*-*»

k_ x

H-(fe)

 

 

 

 

 

 

(2-51)

Например,

при iCj =

= 0,5

1іт№ г (т) =

(1) = 1ч~1,

т->0

а lim Wr (т) — 'n.fi.j (1) - f я2р2(2) =2,5% - К

т-*со

Итак, в данном параграфе рассмотрены три основных типа моделей технического обслуживания устройств, по-

 

 

 

 

строенных

с

помощью

 

 

 

 

марковской

аппроксима-

 

 

 

 

ции. В случае необходи­

 

 

 

 

мости аналогичным обра­

 

 

 

 

зом строят и другие типы

 

 

 

 

моделей.

 

 

 

всех

 

 

 

 

Достоинством

 

 

 

 

 

этих

моделей

является

 

 

 

 

простота получения и об­

 

 

 

 

работки

необходимых

ис­

Рис. 2-4. Графики

г(т)

при Яі = 1,

ходных

статистических

данных — требуется

опре­

Я2 = 0 (/);

Яі = 0,

я 2=1

(2); Яі =

= я 2= 0 , 5

(3 ) .

 

 

делить

только

средние

 

 

 

 

длительности

 

операций

 

 

 

 

обслуживания.

Однако

в

 

 

 

 

них не учитывается то, что

 

 

 

 

продолжительности

опе­

 

 

 

 

раций

могут

быть

и

не

 

 

 

 

экспоненциально

распре­

 

 

 

 

делены,

что

в

динамиче­

 

 

 

 

ском

режиме обслужива­

 

 

 

 

ния

интенсивности

прове­

 

 

 

 

дения

операций

 

также

 

 

 

 

зависят от времени, что

Рис. 2-5. Графики зависимостей

при обработке статистики

известны лишь оценки ин­

Wr ОТ X при Я і = 1,

Я2 = 0 (/); Яі =

= 0 , я а=і1(2); Яі = я 2= 0,5(3).

тенсивностей,

которые яв­

40

ляются случайными величинами. С учетом этих факто­ ров можно построить более общие модели следующих приближений. Некоторые из них рассматриваются в § 3-7.

Описанные математические модели могут быть полез­ ны при приближенном анализе вероятностных характе­ ристик различных видов технического обслуживания устройств. Первую модель целесообразно применять для оценки характеристик продолжительности технического обслуживания при составлении графиков профилакти­ ческих и регламентных работ, вторую — для оценки влияния обслуживания на величину определяющих пара­ метров устройств, третью — для более точного вычисле­ ния вероятностных характеристик технического обслужи­ вания с учетом случайной вариации числа операций.

2-4. Качество обслуживаемых устройств

При исследовании качества обслуживаемых систем требуется определить: структуру системы и взаимодей­ ствие ее элементов, режим использования, состояние, ко­ торое является отказом системы, процесс возникновения отказов, различные процессы технического обслуживания аппаратуры (восстановление работоспособности после отказов, профилактические работы и т. п.).

Рассмотрение структуры системы позволяет выделить совокупность независимых выходных и обобщенных па­ раметров, которые позволяют с известной точностью оце­ нить качество.

Режим использования аппаратуры во многом опреде­ ляет ее надежность, структуру и организацию различных видов технического обслуживания. Предположим, что для выполнения задания система может быть включена

влюбой случайный момент времени и время оператив­ ной работы является произвольно распределенной слу­ чайной величиной. Например, такая модель соответству­ ет реальному режиму использования электронных систем

вгражданской авиации. Учтем, что за время неиспользо­ вания характеристики качества систем также могут ухудшаться.

Четкое определение состояния отказа позволяет одно­ значно оценить характеристики качества. Предположим, что отказ системы наступает, когда любой из выходных

41

параметров принимает значение ниже критического, на­ зываемого обычно уровнем отказа. Критические значения выходных параметров известны из технических условий для исследуемой системы. Например, в технической до­ кументации радиолокационной станции, как правило, указывают минимальные значения чувствительности при­ емника, мощности передатчика и других выходных пара­ метров.

Возникновение отказов описывается различными ве­ роятностными законами. Ранее показано, что простейшая с математической точки зрения гипотеза об экспонен­ циальном распределении времени безотказной работы справедлива только для некоторых, довольно редких про­ цессов возникновения отказов. Сложный характер отка­ зов комплексного электронного оборудования, при эксплуатации которого наблюдаются износ и старение, нельзя отразить с помощью простых вероятностных мо­ делей.

Не накладывая особых ограничений на вид интенсив­ ности взаимосвязанного появления внезапных и посте­ пенных отказов, предположим, что эта функция является монотонной и распределение времени безотказной рабо­ ты относится к классу ОПР.

Процессы технического обслуживания аппаратуры описывают различные вероятностные законы, определяе­ мые числом и последовательностью проведения опера­ ций.

Предположим, что наиболее общая вероятностная характеристика — интенсивность обслуживания — явля­ ется монотонной функцией времени, следовательно, за­ кон распределения времени обслуживания может быть любым из известных.

С учетом принятых довольно общих гипотез граф обслуживаемого устройства имеет вид рис. 2-6. Новые обозначения на графе:

%і — интенсивность вывода устройства в режим не­ использования из Sf-ro состояния; р — параметр гаммараспределения продолжительности неиспользования устройства. Второй параметр в этом гамма-распределе­ нии определяется методом моментов по известным харак­ теристикам эмпирического распределения.

Динамика исследуемого процесса описывается систе­ мой дифференциальных уравнений относительно вероят­ ностей состояний

42

Смотрите также файлы