На основе (III.5) и (XII.11) можно тогда заключить, что вероят ность отказа Q(t ) является интегральной функцией распределения времени работы Т\ до отказа, т. е.
|
Q{ t ) =F( t ) . |
(XII. 12) |
Тогда плотность распределения времени работы Тхдо отказа бу |
дет равна: |
|
|
|
|
f i t ) |
dF(t} |
— dQ{t) |
(XII. 13) |
J к ’ |
dt |
dt |
|
или |
|
|
|
(XII. 14) |
Частота отказов a*(t)=- |
n{t) |
, |
(XII.15) |
|
|
N0M |
|
|
где n(t ) — число элементов, |
отказавших в интервале |
времени At |
( |
, |
At |
At \ |
|
(от--- Г |
д0' +— )■ |
|
Из (XI 1.9); (XII.13) |
и (XII.15) |
следует, что |
|
|
f ( t ) = a ( t ) , |
(XII.16) |
т. е. частота отказов есть плотность распределения времени работы
Т1 до отказа. |
|
t |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
(XII. 17) |
Q ( t ) = ^ a { t ] d t |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
t |
|
|
(XII. 18) |
|
и P{t) — \ — ^a(t)dt. |
|
|
|
|
о |
|
|
|
Таким образом, зная частоту отказов a(t), можно всегда опре |
делить вероятность безотказной |
работы Р ( 0 и вероятность отка |
за Q(t). |
|
|
|
|
*■ |
Интенсивность |
отказов ).*(Л= |
— — . Если |
на момент времени |
|
|
N cpCPAtN |
At |
, , |
At |
|
|
|
t имелось N 0 элементов, а в интервале от t — |
— |
до tA------ вы- |
2 |
1 |
2 |
шло из строя n(t) элементов, то |
|
|
|
|
|
N cp= N 0~n(t)/2. |
|
|
(XII.19) |
Тогда |
л*(Л__ |
|
|
|
(XII.20) |
|
[ N 0 - n ( t ) l 2 ] A t |
|
|
|
Запишем (XII.20) |
в виде: |
|
|
|
|
Г (Л ______п (*> — —
N 0 ~ n ( t ) / 2 „
N 0
Тогда при N0-+oо с учетом (XI 1.6) имеем
P i t )
Если известна интенсивность отказов %{t), то для определения a(t) можно легко получить расчетную зависимость.
В самом деле, a(i) = —P'(i).
Тогда |
\ ( t ) = ----- (ХИ-22) |
|
Интегрируя (XII.22), получим |
|
|
|
i |
|
|
|
О |
|
|
|
t |
|
|
откуда |
P(t) = e 0 |
. |
(XII.23) |
Внося |
(XI 1.23) в (XI 1.21), получим после простейших преобра |
зований |
|
|
|
|
а(^)=л(^)е 0 |
|
(XII.24) |
|
|
|
|
п (t) |
|
(XII.25) |
Средняя частота отказов w*(/) = |
|
N 0M
причем N0= const, т. е. в соответствии с определением со*(^) все от казавшие элементы заменяются исправными.
Получение выражения в вероятностной форме для a(t) доста точно сложно, требует знакомства с интегральными уравнениями Вольтера второго рода и потому в данной главе не рассматривает ся. Можно лишь отметить, что справедливо соотношение
|
|
|
(XII.26) |
Среднее время безотказной работы |
|
|
|
М |
|
|
|
7'*= —!—!-----, |
|
|
(XII.27) |
Л^о |
|
|
|
где ti — время безотказной работы i-ro |
образца; |
N 0— количество |
испытываемых образцов. |
|
как |
математическое |
В вероятностной форме Т определяется |
ожидание времени безотказной работы |
(см. |
формулу III.13), т. е. |
00 |
|
|
(XII.28) |
Т = p { t ) d t . |
|
|
Наработка на отказ
2 * |
|
4 = — ----- , |
(XII.29) |
п |
|
где п — число отказов; U — время исправной работы |
между |
(г— 1)-м и г'-м отказами. |
|
В вероятностной форме tcр выражается через со (О- |
|
|
( х м » ) |
Рассмотрим теперь, в каких случаях и какими количественными характеристиками надежности целесообразно пользоваться.
Для элементов разового (т. е. до первого отказа) использования целесообразно в качестве количественных характеристик надежно сти использовать P{t)\ Т\ К(t) и a(t).
Т а б л и ц а 34
Класс элемен |
Наличие ре |
Состояние |
тов устройств |
зервирования |
эле ментов |
|
|
устройств |
В работе
|
Количественные характеристики |
Характер |
|
|
надежности |
|
|
|
|
|
|
отказов |
|
|
|
а (О СС(0 |
|
|
P ( t ) Т |
*ср |
),(/) |
|
|
|
|
|
Мгновенные |
+ |
_1_ |
— + ! - |
+ |
|
|
|
Отсутствует |
Постепенные |
+ |
+ |
— |
+ |
— |
+ |
Разового |
|
|
В хранении Постепенные |
— |
— |
_L |
— |
+ |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пользования |
|
Мгновенные |
+ |
— |
— |
+ |
— |
+ |
|
|
|
|
|
Имеется |
В работе |
|
— |
— |
|
— |
|
|
|
Постепенные| + |
+ |
+ |
|
|
|
В хранении Постепенные |
— |
— |
|
— |
|
— |
|
|
|
Мгновенные| |
—• |
+ * |
+ |
|
_и |
+ * |
|
|
Отсутствует |
В работе |
|
|
|
|
|
|
|
|
Постепенные |
— |
— |
+ |
— |
+ |
— |
Многократ |
|
В хранении Постепенные |
— |
— |
+ |
— |
|
— |
ного пользо |
|
|
|
|
|
|
|
|
вания |
|
|
Мгновенные |
— |
— |
— |
— |
+ |
— |
|
|
Имеется |
В работе |
|
|
|
|
|
|
|
|
Постепенные |
— |
|
|
|
+ |
— |
|
|
|
В хранении Постепенные |
— |
| - |
|+ * * | |
- |
| + |
|
* Характ еристики Т, а( t) |
и Я(£) в да?ihom случае могут |
применяться |
вместо t cР И |
(о(0 лишь в случае распреде ления времени отказов по эксп оненциальному закону, |
|
** i |
r |
данном случае |
может приме!чяться, если в |
процессе |
хранения |
устройс тва |
гср |
в |
отказом его с читается выход из строя хотя бы одного любе го элемента.
Для элементов (устройств) многократного использования тако выми являются ^Ср и со (t), причем количественная оценка надежно сти в таких случаях более сложна. Элементы (устройства), находя щиеся на хранении, в случае их выхода из строя заменяются. Поэ тому здесь снова действительны количественные характеристики Др и со(t). Таким образом, выбор количественных характеристик надежности зависит от класса элементов (устройств), наличия или отсутствия резервирования, состояния элементов (в хранении или в работе) и характера отказов. Табл. 34, заимствованная из работы А. М. Половко, дает рекомендации по выбору характеристик для ко личественной оценки надежности с учетом упомянутых факторов. Знак « + » в табл. 34 означает пригодность, а знак «—» непригод ность данного количественного показателя.
|
<и |
|
-I т |
" 1 - |
|
|
4 а |
|
|
|
|
|
<Т) |
о |
|
|
|
М., ч |
д0 ' 4 |
|
н |
|
|
|
•■Ск |
* |
# |
* |
|
|
s; |
<У |
|
|
<1 |
«= |
о. |
а |
|
|
|
о
|
50 |
|
0,950 |
0 ,5 0 х |
0,514х |
1500—1600 |
|
о о i
|
|
|
|
|
|
х ю - з |
хЮ -з 1600—1700 |
100—200 |
40 |
|
0,910 |
0,40 |
0,430 |
1700— 1800 |
200—300 |
32 |
|
0,878 |
0,32 |
0,358 |
1800— 1900 |
300—400 |
25 |
|
0,853 |
0,25 |
0,289 |
1900—2000 |
400—500 |
20 |
|
0,833 |
0,20 |
0,238 |
2000—2100 |
500 -600 |
17 |
|
0,816 |
0,17 |
0,206 |
2100—2200 |
600—700 |
16 |
0,800 |
0,16 |
0,198 |
2200—2300 |
700—800 |
16 |
0,784 |
0,16 |
0,202 |
2300—2400 |
800—800 |
15 |
0,769 |
0,15 |
0,193 |
2400—2500 |
900— 1000 |
14 |
0,755 |
0,14 |
0,184 |
2500—2600 |
000— 1100 |
15 |
0,740 |
0,15 |
0,200 |
2600—2700 |
100— 1200 |
14 |
0,726 |
0,14 0,191 |
2700-2800 |
1200— 1300 |
14 |
0,712 |
0,14 |
0,195 |
2800—2900 |
1300— 1400 |
13 |
0,699 0,13 0,184 2900-3000 |
1400— 1500 |
14 |
0,685 |
0,14 |
0,202 |
|
|
|
Т а б л и ц а З б |
|
Ап., эле ментов
|
|
"1 =■ |
- 1 - |
а. |
« |
|
|
*• |
|
|
13 |
0,672 |
0,13 |
0,192 |
13 |
0,659 |
0,13 |
0,195 |
13 |
0,646 |
0,13 |
0,200 |
14 |
0,632 |
0,14 |
0,220 |
12 |
0,620 |
0,12 |
0,192 |
12 |
0,608 |
0,12 |
0,195 |
13 |
0,595 |
0,13 |
0,217 |
12 |
0,583 |
0,12 |
0,204 |
13 |
0,570 |
0,13 |
0,225 |
14 |
0,556 |
0,14 |
0,248 |
16 |
0,540 |
0,16 |
0,290 |
20 |
0,520 |
0,20 |
0,376 |
25 |
0,495 |
0,25 |
0,490 |
30 |
0,465 |
0,30 |
0,624 |
40 |
0,425 |
0,40 |
0,900 |
Порядок вычислений количественных характеристик надежности на основе статистических данных испытаний элементов (устройств) можно проследить на следующем примере'. Испытанию подверга лись Ао=1000 образцов. Общая длительность испытаний составила 3000 ч, причем выход из строя (отказы) элементов Ащ фиксировал ся через каждые Д /,= 100 ч. Данные испытаний приведены в табл. 35. Требуется вычислить характеристики P*(t)', a* (t) и X*(t).
Пользуясь формулой (XII.6), найдем:
Р* (100)= |
. 1000 — ?0_= о;95; |
' ' |
1ПЛП |
1 Пример заимствован из книги А. М. Половко «Основы теории надежности»
(М , «Наука», 1964, 446 с.).
