Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf

Величины a* (t) и %* (t) в соответствии с их смыслом будем вычислять, относя величины A/ij к середине соответствующего про­ межутка времени ДU.

212

Т а б л и ц а 36

Следует учитывать, что показатель надежности Р* (3000) =0,425 получен непосредственно по данным статистической выборки без каких-либо предположений о распределении времени возникнове­ ния отказов. Поэтому доверительный интервал для величины Р*(3000) =0,425 не может быть получен на основе правил, изложен­ ных в гл. IV с использованием распределения Стьюдента. В подоб­ ных случаях для суждения о степени достоверности количественной характеристики надежности можно воспользоваться ^-распределе­ нием Фишера и следующей формулой:

где P ( t ) — надежность по результатам испытаний с наработкой t

Параметры а, b и с в зависимости от а задаются табл. 36. Если а<0,50, то вычисления ведут следующим образом: для величины 1—а из табл. 36 выбирают а, b и с;

213

* 1—ajvjjv*

На основе изложенной методики оценим достоверность показа­ теля Р* (3000), вычисленного по данным табл. 35:

находим v2= 2 « - |-2 = 2-575--j-2-— 1152;

v1=27V0 —2ti = 2 - 1000 — 2-575 = 850;

зададимся коэффициентом доверия 1-—а=0,9, т. е.

§ 31. Основные статистические модели, используемые в теории надежности

Выше было показано, что, зная частоту отказов a(t), можно оп­ ределить остальные количественные характеристики надежности. Следовательно, основным в априорных методах количественной оценки надежности является установление вида функции a(t).

Частота отказов a(t) используется в оценке надежности гораздо чаще, чем средняя частота со(/). В большинстве практических слу-

214

чаев n(t)<^N0( см. формулы XII.20 и XII.25), и потому можно пре­ небречь незначительной погрешностью из-за уменьшения количе­ ства N0 испытываемых элементов (устройств) после каждого отка­ за. Поддержание постоянного числа элементов заменой отказавших может обусловить значительно большие погрешности вследствие неодинаковой наработки элементов и отличий характеристик эле­ ментов, вводимых взамен отказавших. К тому же вычисление вели­ чины ©(f) значительно сложнее, чем a(t).

6)

215

для описания a(t) во всем диапазоне времени работы различных устройств (включая период приработки до t0 и период нарастания частоты износовых отказов при t > t \ ) в наибольшей мере пригодно бета-распределение. Однако, как было показано в гл. III, расчеты с использованием бета-распределения достаточно затруднительны. Кроме того, приработка выпускаемых элементов (устройств) часто производится предприятием-изготовителем. К моменту же време­ ни ti (см. рис. 48) устройство часто целесообразно снять с экс­ плуатации и заменить новым или отремонтированным. При таких условиях наибольшую значимость для количественной оценки на­ дежности имеет участок кривой a(t), соответствующий изменению t от t0 до t\. На этом участке в большинстве случаев частота отка­ зов a(t) меняется по экспоненциальной кривой. Вот почему экспо­ ненциальное распределение является в теории надежности основ­

Таким образом, интенсивность отказов при этом распределении есть величина постоянная, не меняющаяся со временем. Постоян­ ная интенсивность отказов означает, что вероятность отказа не за­ висит от того, сколько времени устройство проработало до рассмат­ риваемого момента времени. Очевидно, что для износовых отказов такое условие не может иметь места. Поэтому экспоненциальное распределение обычно справедливо для случайных отказов мгно­ венного типа в системах, состоящих из большого числа элементов, отказы которых характеризуются различной интенсивностью.

Учитывая зависимость (XII. 18), получим

Очевидно, что tcv = T. В теории вероятностей доказывается, что при экспоненциальном распределении среднеквадратичное откло­ нение случайной величины равно ее математическому ожиданию. В данном случае а(Т) = Т.

216