Это свойство можно использовать для проверки гипотезы о су ществовании экспоненциального закона надежности. На основе статистических данных испытаний надежности определяется среднее время безотказной работы Т и его среднеквадратичное отклоне ние а(Т). Если они близки, то гипотеза об экспоненциальном рас пределении правдоподобна.
Нормальное распределение. Формула частоты отказов в этом случае имеет вид:
|
(<- ту |
|
|
a (J)- |
2о2 |
|
|
(ХН.4П |
|
|
|
V 2л |
|
|
|
|
где Т — математическое ожидание времени |
безотказной |
работы; |
о2— дисперсия величины Т. |
|
|
|
и - т)« |
|
|
|
|
Согласно (XII.18) P{t) = l - \ a { t ) d t = - |
. \ |
— - -е |
2ча jj |
at. |
о |
|
о |
УТп |
|
|
« V |
|
Вводя под знаком интеграла новую переменную |
|
t — T |
■и\ |
|
|
(XII.42) |
|
|
|
а ] / 2
t — T
о VT
получим Р (^ )= Ь — - — Г е~игс/и, что дает (см. гл. III):
V я —т VT
|
|
|
|
|
+ |
ZL_ |
(XII.43) |
|
|
г |
/ |
2 |
/ |
V |
0 V 2 |
Так как обычно Т > о, то Ф ( -----— ) = |
1,0. Тогда |
|
|
|
а ] / |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 — Ф |
t — T |
|
(XII.44) |
|
|
|
|
а V2 |
|
|
Внося (XII.41) и (XI 1.44) в (XI 1.21) |
получим |
|
|
|
|
|
|
t — T |
\2 |
|
_ |
|
e x p |
— |
I |
- |
|
|
V 2 |
|
|
|
>1/2 |
|
(XII.45) |
4 0 = |
|
1 —Ф |
t — T |
|
а 1 / |
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
0 V 2 |
|
|
Зависимость (XI 1.45) можно записать в виде: |
|
х (0 = |
l/o |
|
|
|
|
|
— -?(0- |
|
|
а | / Я
На графике рис. 49, а представлена зависимость K(t). Как видно из графика, интенсивность отказов K(t) с течением времени увели
чивается в отличие от |
экспоненциального |
распределения, |
когда |
л (/) = const. Рост K(t) |
по мере увеличения |
длительности |
работы |
элемента (устройства) характерен для износовых отказов, описа ние которых часто может быть выполнено с помощью нормального распределения.
Гамма-распределение. Частота отказов при этом распределении
выражается формулой |
|
а (() |
(XII.46) |
(к — |
Г)! |
где Ко и к соответственно параметры масштаба и формы кривой плотности гамма-распределения, причем А о > 0 и к>0.
Используя зависимости (XII.18), (XII.21) и (XI 1.46), можно по лучить следующие формулы:
|
|
к— 1 |
^ |
|
|
|
Р(^) = е - Х°< V |
- |
(XII.47) |
|
|
л5) |
|
|
|
или |
Р(/) = е~х°* |
V с- \.t |
(У )2 |
с-хч | |
|
|
1 |
1-2 |
|
|
|
4 0 = |
Ко(У )к 1 |
|
(XII.48) |
|
к — 1 |
( W |
|
|
|
|
|
|
|
п = О |
п\ |
|
|
|
|
Т = — . |
|
|
(XII.49) |
|
|
Ко |
|
|
|
При к —1 из (XII.46) |
получаем |
|
|
|
а(П = ).0е_Хо< |
и Т = —— |
, т. е. формулы для |
экспоненциального |
распределения [см. (XII.37) и (XII.40)].
Таким образом, гамма-распределение есть обобщение экспонен циального распределения для случая, когда отказ системы проис ходит при появлении ровно к независимых событий (отказов эле ментов). Это позволяет использовать гамма-распределение для ко личественной оценки надежности резервированных систем с одним действующим и к —1 резервными элементами (общее число элемен тов 1 + к—1 = к ). Каждый новый элемент включается в работу после отказа предыдущего, причем время безотказной работы каждого элемента распределено по экспоненциальномуУзакону. Отказ систе мы происходит после последовательных отказов всех к элементов. Гамма-распределение, как ясно из рис. 49, в, позволяет оценивать количественно надежность устройств и в период приработки их.
При к = 1 гамма-распределение переходит в экспоненциальное. Кроме того, частным случаем гамма-распределения (при к — целом
положительном числе) является распределение Эрланга, широко применяемое в теории массового обслуживания.
Бета-распределение. Это распределение было подробно рассмот рено в гл. III. Плотность его, а следовательно, и частота отказов выражается следующей формулой:
a гЛгГГ^ 1(1 (ХП'50)
г (Т) Г (1))
г д е 0 < / < 1 ; у > 0 ; Л > 0 .
Здесь весь интервал времени работы устройства принят за еди ницу. В соответствии с (XI 1.18) будем иметь:
t
P { t ) = 1 — j"a{t)dt
о
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
или |
P { t ) = |
1 - |
— <T+.^- |
ГfT-i(1 _ |
|
|
(XII.51) |
|
|
|
Г (т)г Н) |
J |
|
|
|
|
где символ Г означает гамма-функцию |
(см. гл. III. § 7) |
от соответ |
ствующего аргумента, а интеграл в правой |
части — неполную бе |
та-функцию [Bt (у, г))]. |
|
|
|
|
|
|
|
Интенсивнсть отказов h(t) |
может |
быть |
вычислена |
на основе |
соотношения (XII.21). |
|
|
|
|
|
|
|
Математическое ожидание времени безотказной работы в соот |
ветствии с (XII.28) определится: |
|
|
|
|
|
T = [ p ( t ) d t = [ \ |
1 --------L 1 I ± |
j !!2 _ С / т- |
1 ( j _ |
ty -'d t |
dt , |
J |
|
J |
г ^ г ^ ) |
,) |
1 |
; |
|
о |
|
о |
|
1 |
t |
|
|
|
|
что дает |
т== I |
Г (тг+.Tj) |
|
|
|
|
■§dt j |
|
|
|
(XII.52) |
|
|
г (7)г (1) |
о |
о |
|
|
|
|
т. е. отыскание Т связано с интегрированием неполной бета-функ ции, что весьма затруднительно.
Частными случаями бета-распределения являются равномерное,
треугольное и параболическое распределения. |
|
|
Так, при у = г) = 1 |
из (XII.50) получаем a(t) = 1, |
т. е. плотность |
равномерного распределения (см. рис. 14, в). |
|
|
При у = 1 и 17 = |
2 |
будем иметь: |
a ( t ) = ---- ---------- (1— /). |
. Так как Г(х) = (дс— 1 )-Г(дс— I) *, |
|
|
Г (2) Г (1) |
V |
’ |
то Г (3)=2Г (2) |
и |
Г(1) = 1,0 и |
далее a ( t ) —2(1—t), |
т. е. плотность |
треугольного |
распределения |
(см. рис. 14, в). |
|
|
|
|
|
|
|
* Б р о н ш т е й н |
И. |
Н. и С е м е н д я е в |
К- |
А. Справочник по математи |
ке для инженеров и учащихся втузов. 3-е изд. М., |
Гостехтеориздат, 1953, с. 608. |
При у = 2 и т) = 1 получаем также треугольное распределение ви да a ( t ) —2t. Треугольные распределения могут использоваться для приближенной замены гамма-распределения.
При у = г | = |
2 |
будем иметь a ( t ) = |
р (2)^(2) У |
что дает |
a ( t ) = 6 t ( l — t), |
т. |
е. параболическое |
распределение. |
Последнее |
иногда применяют в качестве приближенной, но очень простой ап проксимации нормального распределения.
Из рис. 13, 14 и 40 ясно, что бета-распределение может быть использовано для количественной оценки надежности за весь пери
од работы элемента |
(устройства), т. |
е. с учетом времени приработ |
ки и проявления износовых отказов. |
|
|
определяется зави |
Распределение Вейбулла. Частота отказов |
симостью: |
|
|
|
|
|
|
|
a(t) = а |
a—i |
|
|
|
(XII.53) |
|
ехр |
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
где |
а и р соответственно параметры |
формы |
и масштаба, |
причем |
а > 0 |
и р>0. |
(XII.53) |
в (XII.18) и |
интегрирования |
можно |
После внесения |
получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
Я(^) = |
ехр |
|
|
|
(XII.54) |
Следовательно, |
Ч*) |
д (О |
a f t |
|
1 |
(XII.55) |
р (О |
F l T |
; |
|
|
|
|
|
|
Из (ХП.55) ясно, что при а > 1 интенсивность отказов растет с увеличением времени эксплуатации устройства (системы).
Математическое ожидание времени безотказной работы равно:
оосо
оо
Обозначая |
U, получим Т = р j е_(7“ dU. |
Этот интеграл таб- |
личный1. |
о |
|
|
|
В итоге |
получаем 7 = — Г^- F j , |
(XII.56) |
где Г — гамма-функция, для которой имеются таблицы. Распределение Вейбулла хорошо описывает время безотказной
работы ряда устройств (электронные лампы, реле, шариковые
‘ Р ы ж и к И. М. и |
Г р а д ш т е й н И. С. |
Таблицы интегралов, сумм, ря |
дов и произведений. М.-Л., |
Гостехтеориздат, 1951. |
464 с. |
