Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf

подшипники, некоторые детали автомобилей и т. п.). Как видно из рис. 49, в, это распределение может применяться для количествен­ ной оценки надежности устройств с учетом периода приработки.

принимает вид:

___t_

a { t ) = — & Р или a{t) — 'ko.-xt.

Таким образом, экспоненциальное распределение является част­

ным случаем распределения Вейбулла при а = 1 и — = Х.

При а = 2 из (XII.53) получается распределение Релея, имеющее определенное применение в теории надежности с плотностью (час­ тотой отказов) вида:

Как можно видеть из рис. 14, 48 и 49, большинство охарактери­ зованных выше распределений не может описать изменения часто-

ты a(t) и интенсивности X(t) отказов на всем интервале времени работы устройства. Поэтому часто используется суперпозиция (сло­ жение) нескольких распределений (рис. 50, 51). При этом записы­ вается вначале выражение для a(t), например

a (t) = С ^ е - ^ 1-f- С2Х2е - ^

(суперпозиция двух экспоненциальных распределений), а затем по формулам (XII. 18), (XII.21) обычным порядком находятся P(t), k(t) и Т.

221

При использовании любого из приведенных выше распределений для количественной оценки надежности прежде всего возникает задача вычисления параметров распределения: При экспоненциаль­ ном распределении это средняя интенсивность отказов Я, при нор­ мальном— математическое ожидание времени безотказной работы Т и среднеквадратичное отклонение а, для гамма-, бета- и Вейбул- ла-распределений — соответствующие им параметры формы и мас­ штабы: Яо и к; у и г|; а и |3.

В гл. III был рассмотрен порядок определения Я, Г и о, у и р соответственно для экспоненциального, нормального и бета-распре­ делений. Уточним поэтому лишь порядок вычисления параметров формы и масштаба для гамма-распределения и распределения Вейбулла. С достаточной точностью параметры гамма-распределения можно определить из соотношений:

^х и -58)

где t — среднее время между отказами, определяемое по экспериментальным данным из формулы

по данным испытаний весьма сложно. Поэтому обычно применяет­ ся приближенный метод, в основе которого лежит следующее пре­

222

U — 0(0

линейна. Имея данные испытаний, можно для любых двух значе­ ний t вычислить два значения Q(t) и получить легко разрешаемую систему из двух уравнений с двумя неизвестными а и (3.

Вследующем разделе главы реализация этой методики будет показана в решении одного из примеров.

§32. Примеры оценки надежности

Впоследние годы вопросам надежности автомобильных дорог в эксплуатации уделяется все большее внимание. Возросла капиталь­ ность конструкций земляного полотна и дорожных одежд, совер­ шенствуется технология их строительства. Это привело к улучше­ нию качеств дорог. Однако еще нередки случаи преждевременного выхода из строя отдельных участков дорог, межремонтные сроки зачастую меньше нормативных. Одной из причин подобных явле­ ний является то, что не сформулированы основы теории надежности автомобильных дорог.

Надежная работа сооружения может быть обеспечена лишь со­ ответствующим проектированием, строительством и эксплуатацией

его. Однако эти процессы применительно к автомобильным дорогам не базируются еще на расчетах обеспечения необходимой (опти­ мальной) надежности. Так, например, при проектировании дорож­ ных одежд используются табличные значения модулей деформации (упругости) грунтов земляного полотна Е0 и материалов слоев Ei дорожных одежд. Для конкретной дорожно-климатической зоны в зависимости от конструкции дороги, условий водоотвода инструк­ ция по расчету дорожных одежд дает однозначные величины моду­ лей. Очевидно, что как Е0, так и Ej являются вероятностными ха­ рактеристиками грунта и материалов слоев дорожной одежды, имеющими определенный разброс относительно средних их значе­ ний. Игнорируя это обстоятельство, мы не можем характеризовать надежность принимаемых при проектировании значений этих пока­ зателей.

Далее в процессе возведения земляного полотна, устройства до­ рожных одежд возможны определенные отклонения плотности грун­ та и материалов от нормативных. Кроме того, при приемке готовых слоев дорожных одежд допускаются отклонения от проектной тол­ щины до 10%.

Представим себе, что на каком-то участке дороги произошло сочетание неблагоприятных обстоятельств, т. е. фактические мо-

.дули и толщины ряда слоев оказались ниже нормативных. В опре­ деленных условиях это может привести к появлению деформаций и разрушений дорожной одежды.

Очевидно, что при надежностном подходе к проектированию дорог подобные случаи будут исключены с определенной наперед заданной достоверностью.

223

П р и м е р 1. Требуется оценить надежность автомобильной дороги в эксплуатации; проектная конструкция дорожной одежды представлена на рис. 52. В период производства работ при приемке в соответствии со СНиП Ш-Д.5-72 допускаются отклонения фактических толщин слоев от проектных в пределах до

упругости многослойной дорожной одежды £’э, суть которой сводится к следую­ щему. Вначале вычисляется средний модуль упругости Е ср всех слоев дорожной одежды, а затем с учетом модуля упругости грунта земляного полотна Ео опре­ деляется £ э.

Расчет Еср ведется по формуле

224

Из (XII.66) ясно, что £ э является функцией трех величин (£ 0, Еср и Л), каждая из которых носит вероятностный характер и имеет свой закон распределения. Уточнение этих законов является еще задачей дальнейших исследований. При­

тически достаточно сложна, и ее рассмотрение выходит за пределы данной книги. Примем поэтому, что значение £ э также распределено по нормальному закону и необходимо определить лишь количественные характеристики для £ э, т. е. ма­

° | ■; c l и а? — дисперсии случайных параметров.

"ср

С помощью формулы (XII.66) найдем тЕэ, вычислив предварительно

частные производные и дисперсии правой части зависимости (XII.70). Не приво­ дя самого дифференцирования, дадим лишь его результаты:

Дисперсию а | о найдем из условия, что разброс фактических величин £о от­

носительно нормативного значения тЕ0 составляет ± 1 5 —20%. Примем среднее значение этого разброса равным ±18% или ±0,18. Тогда, воспользовавшись пра­ вилом «трех сигм» (см. гл. III), будем иметь:

*В дальнейшем расчеты выполнены по модулям деформации, что не ума­ ляет методической значимости примера.

**Значения производных вычисляют для значений £ 0, £ ор, равных их мате­ матическим ожиданиям, т. е. £ 0=150 кгс/см2, £ ср = 1160 кгс/см2 и А =75 см.

225