Аналогично |
= |
(0 ,0 6 £ |)2 = |
(0,06■ 3000)2 = |
32 |
400 |
кгс2/см 4; |
|
а |2 = |
(0,06 £ 2)2 = |
(0,06-2400)2 = |
20 |
700 |
кгс'2/см4; |
|
о | з = |
(0,06-1300)2 = 6080 кгс2/см4; |
|
|
|
а |4 = |
(0,06 -300)2= 324 кгс2/см4. |
|
|
Дисперсию ал2 найдем из соотношения [см. гл. XI, формулу (XI.16)]: |
|
|
|
4 = |
|
+ °1 |
|
|
|
(X II.71) |
|
|
|
|
|
|
|
|
что требует предварительного определения величин |
. |
Последние можно най |
ти также |
по правилу |
«трех сигм» |
либо |
воспользовавшись условием |
СНиП |
П1-Д.5-72, что максимальные отклонения толщин |
слоев |
от проектных, |
равные |
10%, не должны составлять более 10% от общего |
числа |
промеров. |
С |
учетом |
округлений фактических |
измерений величину |
|
можно |
определить |
на |
основе |
зависимости |
(III.20) (см. гл. III): |
|
|
|
|
|
|
|
|
р [(ft; — 0,05 ht) < |
hi |
< {hi + 0,05ft,-)] = |
|
|
_ _1_ |
ф / hi + 0,05ft,- - f t ,- ) \ |
_ |
ф / |
hi -0 ,0 5 ft,- - f t,- |
|
|
|
2 . |
V |
|
^~2ahi |
|
) |
1 |
^ |
4 |
|
|
После простейших преобразований будем иметь: |
|
|
|
|
|
p\ {h i — 0,05ft;) |
< |
hi < (Л,- 4- 0,05ft,-)] = Ф |
0,05А,- |
|
|
|
0 ,9 . |
|
Из |
приложения |
2 |
найдем |
0,05ft,- |
= |
1,163, |
откуда |
Ч - |
°.05 |
- |
----- —— |
— — = — — ------ |
|
|
|
|
|
У |
2сй. |
|
|
|
hi |
V 2-1,163 |
= |
0,031, т. е. ай |
= 0 ,0 3 1 |
ft,- |
и а \ |
= |
0,00096 |
ft2, что |
дает: |
|
|
о21 = |
0,00096-52 = |
0,024 см2; 02а = 0,00096-102 = |
0,096 см2; |
|
|
|
|
о2 |
= |
02 |
|
= |
0,00096-302 = |
0,865 |
см2. |
|
|
|
|
|
«3 |
|
« 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
°д = |
2 |
ал- |
= |
0,024 + 0,096 + 0,865 + |
0,865 = 1,85 |
см2. |
|
|
|
|
7^1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Для того чтобы перейти к расчетам с помощью зависимости (XI1.70), оста
лось найти дисперсию o i . Сделать это можно на основе соотношения (XII.65),
ср
которое удобнее представить в виде:
|
|
|
До |
|
|
|
Л4 |
(XII.72) |
|
-ср = |
~ Т |
£ l + ~ Г |
^ 2 |
~~й |
^ 3 |
+ , -£4- |
|
v |
h |
ft |
|
Л |
|
ft |
|
|
Полагая |
все величины, |
входящие |
в |
(XII.72), |
независимыми друг |
от |
друга, |
можно для |
определения |
2 |
|
|
известными теоремами |
теории |
|
воспользоваться |
вероятностей о дисперсии произведений и сумм случайных величин. Соотноше226
ние для вычисления с достаточной точностью |
|
|
запишется на |
основе |
этих |
теорем в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 СР= « V 4 , + т\ ° \ + т\ ° к + mi |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
ft |
|
|
|
ft |
|
ft |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
m ft. 4 , + |
mE3 |
|
i |
„,2 |
|
+ |
|
|
|
|
(XII. 73) |
|
|
|
|
|
+ |
m ft. |
|
|
|
|
|
В свою очередь, на основе теоремы о дисперсии произведения независимых |
случайных величин можно получить формулу для вычисления дисперсий |
|
а2Л |
в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
"л. |
|
|
|
|
|
|
(XII. 74) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения |
4 |
были вычислены |
выше. |
Величины |
математических ожиданий |
mh |
и mh |
также |
известны, а |
именно |
mh^= |
5 см; |
mhi = 10 |
см; |
|
|
= |
= 30 см |
и т/, = 75 |
см (см. рис. 52). Не приводя самих |
вычислений по формуле |
(XI 1.74), |
дадим лишь их результаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g\ |
= |
0,0000028; |
а2Лз =0,000011; |
ст2Ла = 0 ,0 0 0 1 ; |
< 4 |
= 0 ,0 0 0 1 . |
|
|
|
~7Г |
|
|
|
~~h |
|
|
|
ft |
|
|
|
ft |
|
|
|
|
|
Тогда |
а2. |
= |
^ |
J 32 400 + 30002.о ,0000028 + ( ^ ^ 2 0 700 + |
24002 х |
|
|
|
|
|
30\2 |
|
|
|
|
|
/30\2 |
|
75 |
|
|
|
|
|
X 0,000011 |
|
|
13002.0,0001 + |
|
3002.0,0001 |
= |
144 + |
25 + |
|
— 1 |
6080 + |
1— 1324 + |
+ 372 + |
63 + |
973 + |
169 + |
52 + |
9 = |
1807 кгс^/см*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь следует воспользоваться зависимостью |
(XII.70) и определить диспер |
сию |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
= |
1,942-81 + 0,552-1807 + |
7 ,V ■1,85 = 962 кгс2/см4. |
|
|
Среднеквадратичное отклонение |
3Еэ |
' |
а£ э -- |
У 962 s |
31 кгс/см2. |
|
|
Определим теперь вероятность безотказной работы дороги в течение расчет |
ного периода длительностью 20 лет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно условиям задачи разрушение дорожной одежды может произойти, |
если коэффициент прочности кп будет |
меньше или |
равен |
0,8. |
При этом значение |
£ э ^ 0 ,8 /п £ э=0,8-883=707. Тогда вероятность безотказной работы. P(t) выразится зависимостью
Р ( 0 = |
Р ( Е Э > 707) или |
1 — P (O = |
Q (O = |
|
£ (0 |
< £ э < 707). |
На основе формулы (III.20) получим: |
|
|
|
|
|
£ э < 707) = 2 |
707 — 883 |
|
0 — 883 |
р ( 0 < |
Ф — 7- - — |
— ф |
( — |
“ — |
|
|
У 2-31 |
|
\ |
У |
2-31 |
Таким образом, если фактические отклонения величины £ j и А, не будут пре восходить указанных в условиях задачи, то вероятность безотказной работы дороги будет близка к 4.
Очевидно, что при больших отклонениях £< |
и |
Лг от |
нормативных |
значений вероятность безотказной работы дороги |
была |
бы |
меньше. Поль |
зуясь приведенной методикой решения задачи, но в обратном порядке, т. е. за даваясь P(t), можно обосновать допустимые отклонения фактических модулей деформации и толщин слоев дорожной одежды от проектных. В связи с большим
объемом |
расчетов |
по такой |
задаче мы не приводим |
здесь ее решения. |
П р и м е р 2. |
В период между капитальными |
ремонтами |
автомобильных |
дорог с |
асфальтобетонными |
покрытиями (Гн по нормам Гк= 18 |
лет) проводятся |
работы по среднему ремонту. Многолетними наблюдениями установлено, что по требность в среднем ремонте дорог характеризуется следующими данными: 25% протяжения дорог требует среднего ремонта в пределах первых пяти лет эксплуа
тации, 18%— при сроке эксплуатации от |
5 до 10 лет и 14% — от 10 до 15 лет. |
На остальной части протяжения дорог за |
время Тк средний ремонт не требуется |
(приведенные данные условны и приняты для показа методики решения задачи). Установлено также, что основной причиной среднего ремонта являются весен ние деформации дорожных одежд, обусловленные соответствующими деформа циями земляного полотна. Можно поэтому принять, что «отказы дорог» (выход их в средний ремонт) являются не износовыми, а условно мгновенными (от пу
чения или неравномерной осадки земляного полотна).
Требуется определить необходимые ассигнования по годам на средний ре монт дорожных одежд, если протяжение дорог с указанными типами покрытия
составляет .1000 км и стоимость среднего ремонта 1 км равна 3450 руб. ( С ^ ) . Решение задачи начнем с определения интенсивности отказов X(t). Поль
зуясь формулой (XII.20), для середины периода 0—5 лет получим:
25
Х(2’5) = /— ^ Г ^ 0,057' 100- - 5
В данном расчете число отказов п (25) |
принято |
равным проценту выхода |
дорог |
из строя, а число дорог |
соответственно 100, |
|
что |
вполне |
правомерно. |
100— |
25 |
|
|
дорог |
в первом |
пятилетием |
— есть среднее число исправно работающих |
интервале времени. |
|
|
|
|
|
|
Таким же образом вычислим X (7,5) и X (12,5): |
|
|
|
|
|
X(7 ,5)= |
18 |
= |
0,055; |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ 100 — 25 — |
5 |
|
|
|
|
|
I (12,5) = --------------------------—---- = |
0,056. |
|
|
^ 100 — 25 — 18 — —j 5 |
|
|
|
|
Из приведенных расчетов |
следует, что |
X (2,5)s X |
(7,5) = Х (12,5), |
что позво |
ляет предположить экспоненциальное распределение времени безотказной работы. Определим среднее значение X для всего межремонтного периода 7% = 18 лет.
Легко уяснить, что |
знаменатель формулы (XII.20) дает время безотказной |
работы элементов в соответствующем интервале времени At. Тогда |
|
Общее число отказов за |
время Т к |
Общее время безотказной работы |
всех |
элементов за время Тк |
= |
25 + 18 + |
14 |
= 0,05. |
|
|
25-2,5 + 18-7,5 -1- 14-12,5 + |
43-18 |
Полученный показатель меньше ранее вычисленных для 15-летнего периода |
величин X (2,5); X (7,5) |
и X (12,5), так как относится ко всему периоду 7'к = 18лет. |
Так как в годы, предшествующие капитальному ремонту, средний ремонт не проводится, будем пользоваться в дальнейшем величиной АСр=0,056, справед
ливой для |
15-летнего периода эксплуатации дороги. |
|
Зависимость для определения годовых ассигнований на средний ремонт мож |
но записать в виде: |
|
|
|
|
|
Сер I = |
[<? |
- |
1)] LC% , |
(XI 1.75) |
где Q(ti) — вероятность отказа |
(для выхода дорог в средний ремонт) до момента |
времени t t |
(в годах). |
|
|
|
|
Очевидно, что разность Q(t >) ■— Q ( t i — 1) дает долю выхода дорог в средний |
ремонт за данный t-й год. Внося (XI1.39) |
в (XII.75), получим: |
|
|
Сер / = [(l - |
е ~ Х*0 - |
( l - |
e” W' - 0 ] LC<$ |
|
или |
Ccp/ = |
(e_U' - > - e_Wi) LC<$. |
(X II.76) |
Определим, в частности, необходимые ассигнования на первый год эксплуа |
тации (i= |
1). |
|
|
|
|
|
С ср 1 = ( е - 0’05^ 1- * ) _ |
е —0,°5S-1) ^0 0 0 -3 4 5 0 = |
|
= |
(еО _ е- ° ' 05б)3,45 -106 = (1 — 0 ,9 4 6 )3 ,4 5 -106 = 186 |
тыс. руб. |
За второй год: |
|
|
|
|
|
Сср 2 = (е- 0 ,056,1 — е ~ 0,056'2) 3 ,4 5 -106 = |
|
|
= (0,946 — 0 ,8 9 4 )3 ,4 5 -106 = 179 тыс. руб. |
|
Аналогично сосчитаны и приводятся ниже остальные величины
С ср,- (в тыс. |
руб.): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сср , = |
186 |
Сср 6 = |
141 |
|
= |
107 |
|
|
|
|
|
|
Сер 11 1 |
|
|
|
|
Сер 2 = |
179 |
Сер 7 — 134 |
Сер 12 |
= |
103 |
|
|
|
ССр 3= 169 |
Сер 8 = |
128 |
|
= 93 |
|
|
|
|
|
|
Сер 13 : |
|
|
|
|
Сер 4 = |
169 |
Сер 9 ~ |
121 |
Сср 14 |
= |
90 |
|
|
|
Сер5= |
148 |
Сер 10 = |
114 |
Сер 15 |
= |
86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
С • — |
Общие |
ассигнования С^. |
на средний ремонт составят: Сс. |
V |
^ |
Wp I— |
/=1
=1,96 млн. руб., что можно, естественно, получить и другим путем:
С|р = 0,57 -1000-3,45-103 = 1,96 млн. руб.
Постепенное уменьшение величин Сср1объясняется тем, что A.=const, т. е. доля выхода дорог в ремонт постоянна, но она с каждым годом исчисляется от все меньшей протяженности дорог, еще не подвергавшихся ремонту.
Как ясно из условий задачи, за период |
между |
капитальными ремонтами |
Гк= 18 лет проводится лишь один средний |
ремонт |
на участках, составляющих |
57% общей протяженности дорог. В соответствии с официальными нормативами на дорогах, подобных рассмотренным, могут планироваться два средних ремон та. Поэтому результаты решения задачи следует рассматривать лишь как иллюст рацию методики.
