Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

Istvân Gyarmati

NON-EQUILIBRIUM THERMODYNAMICS

Field Theory and Variational Principles

Springer-Verlag

Berlin — Heidelberg — New York

И. Дьярмати

НЕРАВНОВЕСНАЯ

ТЕРМОДИНАМИКА

Теория поля

и

вариационные принципы

Перевод с английского

М. В. КОРОБОВА Под редакцией

д-ра физ.-мат. наук, проф. В, К. СЕМЕНЧЕНКО

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

МОСКВА 1974

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

В термодинамике два основных направления воз­ никли почти одновременно: в 1822 г. появилась работа Фурье «Аналитическая теория тепла» [1], а в 1824 г .— «Размышления о движущей силе огня» Карно [2]. Обе они основывались на понятии о теплороде как неуничто­ жаемом флюиде (благополучно перекочевавшем и в со­ временные учебники под видом тепловой энергии); в обеих температура рассматривалась одинаково: у Фурье как аналог потенциала, градиент которого является «теп­ лорододвижущей силой», у Карно как тепловой потен­ циал, разность значений которого определяет направле­ ние перехода теплорода, возможного лишь при Т2' > Т 1. В сущности, оба определения тождественны. Время и производные по времени содержались только у Фурье, тогда как в работе Карно время не фигурировало, что наложило отпечаток на все развитие термодинамики и дало основание Брайяну поставить эпиграфом к его статье в «Энциклопедии математических наук» изрече­ ние «Термодинамика не знает времени». Далее идеи Фурье развивались в направлении нахождения уравне­

нения диффузии.

В1850 г. Клаузиус нашел координату, сопряженную

стемпературой, и познал ее необыкновенные свойства, что сразу открыло новые возможности для развития физики тепловых явлений. Однако Клаузиус был, по-, видимому, несколько смущен необычными и крайне не­ удобными с чисто математической точки зрения свой­ ствами энтропии и попытался прикрыть их фиговым листком обратимости. Гипотеза обратимости наделяла

энтропию свойствами потенциала ((j)dS = Q; rotS = oj,

что открывало широкие возможңостң для решеңңя мно

6 Вступительная статья

жества задач, но сводило почти на нет перспективы применения великого открытия Клаузиуса, установив­ шего роль энтропии как величины, определяющей на­ правление всех в то время известных процессов макро­ скопической физики.

Понятие об обратимости и широкое использование в физике XIX века метода круговых процессов способство­ вало развитию у термодинамиков того времени некото­ рой схоластичности мышления — поисков доказатель­ ства существования обратимой энтропии, придумыванию механизмов для проведения обратимых циклов и обсу­ ждению парадоксов и противоречий, возникавших при применении этого аппарата к реальным процессам. По­ степенное расширение применений метода термодинами­ ческих потенциалов, особенно после обобщения его Гиббсом, изменило это положение.

Тем временем развитие идей Фурье шло своим пу­ тем, в направлении, во-первых, теоретической разра­ ботки чисто математических вопросов и, во-вторых, в направлении приложения теории к решению практиче­ ских задач. Уже в 1822 г. появилась работа Навье [5], положившая основание гидродинамике вязких жидко­ стей. Обобщение идей, развитых, в частности, в работах Навье и в ряде других работ, привело в дальнейшем к созданию теории необратимых процессов. Однако оба направления развивались совершенно независимо.

Прошло много времени, прежде чем стало ясно (впрочем, даже в настоящее время не всем), что «тер­ модинамика, не знающая времени» является фактически

торых делались попытки найти уравнения, содержащие производные по времени и выражения, отражающие не­ обратимость [6—8].

Решительный шаг был сделан в этом направлении только в 1931 г. Онсагером [9, 10], сформулировавшим новый общий принцип, а именно принцип наименьшего рассеяния энергии. Кроме того, Онсагер выдвинул и частный принцип, представлявший собой обобщение уравнений типа Фурье. Согласно этому принципу, необ­

ратимые процессы могут быть описаны линейными диф­ ференциальными уравнениями с постоянными коэффи­ циентами типа:

Условие (2), несмотря на его внешнюю скромность, сы­ грало громадную роль в развитии термодинамики необ­ ратимых явлений. Сам Онсагер проверил его практиче­ скую значимость в большой (выполненной совместно с Фиссом) работе, посвященной изучению необратимых явлений (электропроводности, вязкости и диффузии) в растворах электролитов [10].

Однако бурное развитие термодинамики необрати­ мых явлений началось только после второй мировой войны, в значительной мере благодаря работам голланд­ ско-бельгийской школы (Пригожин, де Гроот, Мазур и их сотрудники). Пригожин предложил новый общий принцип — принцип наименьшего производства энтропии, оказавшийся для решения практических задач более удобным, чем принцип Онсагера. Как всегда бывает при бурном развитии какой-либо теории, основное внимание уделялось поискам новых принципов и решению новых частных задач, а не выяснению связи между принци­ пами и сведению полученных результатов в стройную дедуктивную схему.

Венгерский физик И. Дьярмати, первые работы ко­ торого были посвящены аксиоматике классической тер­ модинамики [И], поставил вопрос о соотношении между принципами Онсагера и Пригожина и формах уравне­ ний последующих приближений, поскольку уравнения Онсагера являются линейным приближением. Дьярмати и его сотрудникам удалось найти общие положения не­ равновесной термодинамики и проверить их правиль­ ность на ряде частных задач, а также наметить пути для формулировки более точных уравнений. Это создало возможности для чисто дедуктивного изложения основ возникшей новой ветви термодинамики.

Большое значение для последующего развития не­ равновесной термодинамики, в частности для разработ­

Вступительная статья

ки наиболее общей ее формулировки, а также для практических применений имел, если так можно выра­ зиться, «перевод» ее на язык теории поля. Необходимость такого шага вытекала из того, что многие, если не все, физики лишь недавно начали понимать сущность необ­ ратимой термодинамики и возможные области , ее при­ менения. Неравновесная термодинамика представляет собой общую феноменологическую или макроскопиче­ скую физику — она включает физику континуума, гидро­ динамику и магнитодинамику вязких сред, электроди­ намику, охватывает также тепловые явления в узком смысле этого слова и поверхностные явления. Большая часть этого обширного материала излагается обычно на языке теории поля, поэтому «перевод» неравновесной термодинамики на этот язык действительно был необхо­ дим. Такой «перевод» был выполнен Дьярмати, который дал также систематическое изложение найденного им нового принципа, объединяющего принципы наимень­ шего рассеяния энергии и наименьшего производства энтропии, и применил этот принцип к ряду задач. Весь этот круг вопросов Дьярмати осветил в своей доктор­ ской диссертации, переработанной им впоследствии в монографию, которая была издана сначала на венгер­ ском, затем на английском языке, а теперь предлагается вниманию советских читателей.

Как показывает практика, изучение какой-нибудь научной дисциплины и особенно овладение ею в той мере, в какой это необходимо для самостоятельной ра­ боты, проходит наиболее успешно, если мы сразу знако­ мимся с критическим изложением принципиальных основ этой дисциплины и с общими методами решения част­ ных задач. Такие методы, как, например, метод термо­ динамических потенциалов Гиббса, дают возможность любому решать задачи термостатики, не придумывая для каждой задачи особого кругового процесса, как это было ранее. Дьярмати как раз предлагает такой метод. Излагая неравновесную термодинамику на языке теории поля, он открывает внимательному читателю путь для решения любых задач, правда, пока в линейном прибли­ жении. В книге рассматриваются лишь традиционные задачи — теплопроводность, диффузия и гидродинамика

вязкой жидкости, но они решаются различными методами, что дает возможность читателю лучше понять как самые методы, так и постановку задач *).

Следует отметить также, что «принцип Дьярмати», объединяющий сформулированные раньше принципы Онсагера и Пригожина, является вариационным прин­ ципом, т. е. записан на наиболее общем языке теорети­ ческой физики. Это облегчает его сравнение с другими общими физическими принципами. Помимо новизны из­ лагаемых идей, достоинством книги является строгая дедуктивность изложения.

Постараемся теперь кратко осветить наиболее суще­ ственные результаты, полученные за последние годы по­ сле выхода венгерского издания книги Дьярмати им и его сотрудниками (которые заслуженно могут быть на­ званы венгерской школой термодинамики необратимых процессов). Полученные Дьярмати и его школой резуль­ таты касаются формулировки общих принципов, их об­

ставляет собой плотность массы, заряда, энергии, им­ пульса или других величин, характеризующих вещество, а Г, — обобщенные интенсивные параметры (Т, —р, Е, Н). Тогда мы можем записать уравнение баланса для а; таким образом:

â = Оі, (3)

•

где a — частная производная по времени, / г — плотность потока и Оі — плотность источника, т. е. количество аи возникшее в единице объема в единицу времени.

В термодинамике необратимых процессов, построен­ ной в основном на постулате Онсагера о линейной связи между потоками и силами, эта связь выражается урав­ нениями (1) и (2), называемыми конститутивными урав­ нениями. Пользуясь ими, можно показать, что уравне-*

') Большое количество задач из других областей содержится в книгах де Гроота и Мазура [12] и особенно Хазе [13]. Решение их методом Дьярмати не представляет труда и, несомненно, помо­ жет читателю лучше овладеть этим методом.