Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

выполняются автоматически. Квазилинейные конститу­ тивные уравнения следуют из универсальной формы (4.33) —(4.35) локального принципа в следующих слу­

чаях:

1. Потоки J і, силы Хі и параметры Гі варьируются независимо. В этом случае любое из первых двух усло­ вий

дает соответствующее квазилинейное конститутивное уравнение, которое удовлетворяет и третьему условию.

2. Потоки /, варьируются независимо от сил Хі и па­ раметров Г,. В этом случае конститутивные уравнения, вытекающие из условия

удовлетворяют также условию

3. Силы Х{ варьируются независимо от потоков / і и параметров Г;. В этом случае квазилинейные конститу­ тивные уравнения, вытекающие из условия

удовлетворяют также условию

В основе только что рассмотренных теорем лежит теорема (Д. 9), относящаяся к вариации суммы потен­ циаловрассеяния по параметрам Г,-.Соответственно (Д. 9) представляет собой дополнительную теорему, ко­ торая обеспечивает справедливость в квазилинейном случае интегрального принципа, записанного в универ­ сальной форме (А. 1) или (А. 18). Иначе говоря, спра­ ведливостьосновного принципа процессов рассеяния доказана также для случая, когда проводимости и со­ противления зависят от полевых величин ГДгД). Таким образом, формулировки универсального типа представ­ ляют собой и в общем случае точный вариационный

2 9 2 Дополнение

принцип. К сожалению, для парциальных форм дело об­ стоит иначе, поскольку для квазилинейных уравнений переноса они не являются точным вариационным прин­ ципом. Следует также отметить, что дополнительная теорема (Д .9) носит чисто математический характер и ее можно использовать не только в термодинамике, а, например, в дифференциальной геометрии и т. д. Более того, теорема, о которой идет речь, остается справедли­ вой не только в рассматриваемом квазилинейном слу­ чае, но и в более общих случаях. Однако мы не будем подробно обсуждать этот вопрос.

Следует обратить внимание на следующее очень важ­ ное с практической точки зрения обстоятельство. Плот­ ность лагранжиана в универсальной форме (А. 1 ) инте­ грального принципа совпадает с взятой с обратным зна­ ком локальной функцией ОМ, величина которой равна нулю (по-крайней мере в том случае, когда локальные принуждения отсутствуют, т. е. в случае независимых сил и потоков). Таким образом, существование абсолют­ ного минимума обеспечивается следующей альтернатив­ ной формой интегрального принципа:

где подынтегральное выражение представляет собой полный квадрат. Вариационный принцип дает возмож­ ность сравнивать различные приближенные решения: для точных решений интеграл (Д. 15) имеет абсолют­ ный минимум. В случае приближенных решений инте­ грал ( Д .15) не равен нулю; отклонение от нуля можно рассматривать как меру точности решения. Поэтому, если мы используем некоторый прямой метод вариацион­ ного исчисления, опираясь при этом на интегральный принцип, сформулированный в универсальной форме, то можно сказать, что наилучшему приближению отвечает наименьшее значение интеграла (Д. 15). Для парциаль­ ных форм, которые не являются интегралами от полных квадратов, дело обстоит иначе, поскольку в этом случае экстремальные значения не равны нулю. Во всяком слу­

чае, при непосредственном практическом применении интегрального принципа термодинамики следует по­ мнить, что методы, основанные на методе наименьших квадратов, принадлежат к наиболее действенным в ма­ тематической физике.

Е. О функциональном формализме Войты

В разделе Б мы выяснили, что из представления че­ рез потоки ( Б .1), которое в случае континуума соответ­ ствует оригинальной формулировке Онсагера [27, 51], нельзя вывести уравнений переноса. Причина этого

стоит иначе, если найдены «внутренние параметры», из которых с помощью простых операций можно получить потоки. Такими параметрами в случае не непрерывных систем, как это уже показал Онсагер [27] и Онсагер и Махлуп [51], являются онсагеровские а- (и казимировские ß-)параметры. Потоки можно получить из них при помощи оператора производной по времени d/dt, т. е., например,

Таким образом, в случае не непрерывных систем пред­ ставление через потоки ( Б .1) и, более того, универсаль­ ную форму (А. 1) можно записать через соответствую­ щие интегральные величины вместо локальных в форме, которая уже была дана Онсагером [27, 51] (см. также [I, 4, 52, 90]). В подобных случаях, конечно, в силу (Е.1) для интегральных величин справедлив вариационный принцип, сформулированный через временной интеграл,

который, например, в универсальной форме имеет вид h

б J {5 [а* (і), âk (0] — [ф К (/), ak (/)] +

+ qp[<M0, âk (/)]]} dt = 0. (Е.2)

К сожалению, для непрерывных систем простое со­ отношение (Е. 1) не выполняется, так как в подобных случаях соотношение между плотностями потоков и про­ изводными по времени от полевых величин а i(r\t) (плотностей) регулируются лишь уравнениями баланса (2.15). Именно поэтому до сих пор никому не удалось сформулировать представление Онсагера через потоки для непрерывного случая. Наконец в 1967 г. Войте уда­ лось дать новую формулировку представления Онсаге­ ра, которая позволяет точно доказать справедливость представления через потоки для непрерывных сред (даже для нелокальных областей). Такое обобщение Войта сделал с помощью функционального формализма, получив при этом принцип в следующей универсальной форме [82, 84]:

^2

б [ £ { щ { г , t), âk(r', t)}dt =

и

t2

функционал Лагранжа. Такая формулировка является точным обобщением соотношения (Е.2), причем поле­ вые величины a,i(r,t) представляют собой плотности, связанные соотношением ра,- = а, с удельными величи­ нами, введенными в (2.15). Уравнения Эйлера — Ла­ гранжа, соответствующие вариационному принципу Вой­ ты (Е. 3)

идентичны системе дифференциальных уравнений вто­ рого порядка

<52(раг) dt2

в которую входят также следующие уравнения переноса первого порядка:

Что касается точного определения величин, входящих в уравнения (Е.З) —(Е.6), то мы отсылаем читателя к ори­ гинальным работам [84, 82], в которых содержится много важных замечаний относительно различий между фор­ мулировкой Войты (Е. 3) и нашей парциальной форму­ лировкой (Б.2). Ниже приводятся результаты анализа (в основном выполненного Войтой), дополненные некото­ рыми новыми соображениями.

1.Функциональный вариационный принцип (Е.З) не охватывает инерционных явлений; так, например, из него нельзя вывести уравнения Навье — Стокса. Поэтому не­ обходимо обобщить (Е. 3) на случай ß-параметров. По­ скольку сделать это очень легко, мы можем рассматри­ вать выражение (Е. 3) как совершенно общее и считать функциональный вариационный принцип Войты полно­ стью эквивалентным нашему универсальному форма­ лизму (А.1) или (А.19).

2.Чтобы получить дифференциальные уравнения пер­ вого порядка (Е.6), описывающие линейные процессы переноса, достаточно не только универсальной (Е.1), но

ипарциальной формы

б J {5 [щ {г, t), âk (r', 0]—Ф[<Мг, t), äk (r', t)]} d t= 0. (E.7)

В этом отношении парциальная форма (Е. 7) эквива­ лентна нашему парциальному принципу (Б .2 ) и даже