Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 81

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

10

Вступительная статья

ние баланса энтропии содержит квадратичную функцию потоков / и градиентов ѴГ, (термодинамических сил). Обобщая функцию рассеяния Рэлея, можно ввести два потенциала рассеяния:

'F s s - j

j

LlkXtXk,

 

І) k—\

(4)

 

f

Ф = -?г

^

Rihhh-

Дьярмати сформулировал новый общий принцип, объединяющий принципы наименьшего производства энтропии Пригожина и наименьшего рассеяния энергии Онсагера. Он ввел «обобщенную функцию Онсагера — Махлупа» Ом, являющуюся разностью между производ­ ством энтропии и суммой обоих потенциалов рассеяния:

os = 2 № , Ом = сг-(Ф + П

(5)

Поскольку основное содержание книги Дьярмати сводится к выяснению общей значимости функции Ом и ее приложениям к решениям различных задач, здесь мы остановимся только на попытках обобщения «принципа Дьярмати» на нелинейные проблемы [16, 17]. Нелиней­ ность может быть введена двояким образом. Так, она может возникнуть, если мы будем рассматривать коэф­ фициенты Lih и Rih как функции Г, сохраняя соотно­ шения взаимности:

/ / = 2 ТгДГ,, Г2........

Г,)ѴГ4>

( 6)

(7)

(8)

Rtk Rki'

(9)

Вступительная статья

11

Дьярмати показал, что в этом случае его интегральный принцип

I PF + Ф — а] dV — min

(10)

остается в силе.

С другой стороны, к нелинейной теории мы прихо­

дим,

разлагая конститутивные уравнения в ряды по L ih

или

Rik и учитывая члены, следующие после первого

(линейные уравнения содержат только первый член). Эти разложения имеют вид

Ji =

f

Lik\ l \

 

 

f

Liki\ r kv r ,

 

 

v ;

+

^

\ ]

+ . . . +

 

 

 

 

 

 

k, /=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

+

ДГ

2

Likt...nVrkVr, ... vr„,

(11)

 

 

 

 

k, /, .... ra=l

 

 

 

 

У

 

 

f

 

 

 

 

ѵ гг =

2

RikJk +

4 -

2

W * '/

+

• • •

 

 

fe=l

 

'

k, !=l

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•••

+ Д

2

Riki...nJkJt ... Jn.

(12)

 

 

 

 

 

Ä,

/,

 

 

 

При этом предполагается, что коэффициенты LiÄn (Rikn) при произведениях термодинамических сил (потоков) постоянны и удовлетворяют соотношениям типа соотно­ шений взаимности

I ik

L k i , L i k I

L i jk L k j i , • • •, R i k == R k i ’

 

 

 

Riki — Rkn = R/ki.........

(13)

Однако статистические методы обоснования соотноше­ ний (13) здесь оказываются уже неприменимыми [16], и Дьярмати замечает, что «пока соотношения взаимности высшего порядка [т. е. типа (13)] не подтверждены в каком-то приближении каким-либо точным и общим ме­ тодом (или экспериментально), построенная на них тео­ рия является только пустым формализмом». Впрочем, в противовес этому пессимистическому заключению он


12 Вступительная статья

цитирует слова Трусделла: «Величина, присутствующая в качестве независимой переменной в одном из консти­ тутивных уравнений, должна присутствовать и во всех остальных, если это не противоречит общим законам физики или симметрии данного вещества».

Исследование свойств квазилинейного приближения, при котором Lih, Rih рассматриваются как функции па­ раметров Г,, привело Дьярмати к заключениям фунда­ ментального характера, относящимся к различным фор­ мулировкам его общего принципа. Поскольку при варьи­ ровании по потокам / і потенциал Ф-, являющийся функцией только сил, представляет собой константу, а при варьировании по силам ѴГ, константой является по­ тенциал Ф, мы можем записать две частные формы об­ щего принципа:

б J

[ог-Ф ]ѵГ^П =

б J

[ps — Ф]гіУ + б cj) Js dQ = 0 ,

(14)

V

 

у

a

 

ö

J [ o - =W ö

]

jf d [ Vp s - + 6WJ ]J s d d VQ 0, =

(15)

V

 

V

Q

 

обычно называемые соответственно представлением че­ рез потоки и представлением через силы. Оказалось, что, рассматривая коэффициенты Lik, Rih как функции Г, невозможно получить из (15) квазилинейные транспорт­ ные уравнения (уравнения переноса типа уравнений ба­ ланса). С другой стороны, полный интегральный прин­ цип (10) и в этом случае позволяет получить соответ­ ствующие уравнения переноса; это доказывает, что именно он является истинным основным принципом не­ обратимой термодинамики.

Рассмотрение квазилинейного приближения позволи­ ло Дьярмати доказать, что в этом случае вариация сум­ мы потенциалов рассеяния равна нулю. Приведем здесь это доказательство:

6о = бjo -J- бѵг<? “Ь 6fo =

- ^ І ^ м ' + І ] д а т 6Г<+ І ] І ѵ 6Г'' (|б)

і=1

і=1

i=l


 

 

Вступительная статья

13

Здесь

последний

член представляет собой вариацию

по IV

 

 

 

до

/ (Э1? I

(ЭФ\ _

 

 

 

= Д - і г * А + - § Г '-'*)•

<17>

Так как матрицы Lik и Нц являются обратными:

f f _ _

2 l^ im R m k = = 2

m—l

 

m = I

имеем

_

 

 

f

у

1 К

V / dBjtn

XJ \

dTf

mk

' * lm

m=1

 

 

 

R i m R m k ’

_

dLtnk = 0. dTi

(18)

(19)

Умножим (19) на Rni и применим еще раз (18); это дает

dRjm

+ RitnRkl

dLtnk

= 0,

( 20)

дТ,

дТі

наконец, заменяя в (17) dRih/dTj с помощью (20), полу­ чаем

- Ж = - т Ъ ^ - [ ХіХк-

2 R M m A '

(21)

7

i, k

1

\

m, 1=1

/

 

 

ör o =

-

бг (47 + Ф) =

0.

(22)

Фаркаш и Ностициус [15] показали, что и в нелинейном случае, когда конститутивные уравнения имеют форму (11) и (12), теорема Дьярмати (21), (22) выполняется. Отсюда следует, что и тогда принцип Дьярмати явля­ ется основным принципом неравновесной термодина­ мики.

Шандор [16] рассмотрел применение принципа Дьяр­ мати к многокомпонентным химическим взаимодей­ ствующим системам, находящимся в неизотермических условиях, как в случае постоянных, так и в случае за­ висящих от Г,- коэффициентов Ljk. В дальнейшем он


14 Вступительная статья

решил задачу для неизотермической многокомпонент­ ной системы, не реагирующей химически, но находя­ щейся под действием электрического и термического полей. В обоих случаях принцип Дьярмати также вы­ полняется [16, 17]. К сожалению, пока еще не имеется данных, позволяющих судить о характере влияния раз­ личных полей на свойства коэффициентов Lih.

Плодотворность принципа Дьярмати в приложении к задачам гидродинамики была показана в последнее время в работах Винчи и Бэрэцза [18, 19]. Винчи [19] решил этим методом задачу о нахождении уравнений турбулентного движения, Бэрэцз [18] проанализировал различные способы вывода транспортных уравнений гидродинамики. Мы остановимся кратко на работе Вин­

чи. Примем, что основные параметры

гидродинамики,

т. е. скорость V, скалярное давление р, тензор вязкого

давления Р” и его симметрическая часть P t,s,

слагаются

из двух частей, первая

из которых

является

средним

значением данной величины, а вторая

ее флуктуацией:

ѵ = ѵ + ѵ',

Р ° = Р и+

Р°',

(23)

р = р + р',

р и = £ и + р и ';

 

плотность р считается постоянной. Тогда и остальные характеристики системы — плотность лагранжиана S и потенциалы рассеяния 4х и Ф распадутся на две части, связанные со средним и флуктуационным движением. Приведем выражения для обеих частей плотности ла­ гранжиана:

& = T ö — '¥ — Ф:

(V - г»)2 — г,

_

— 0 / 0_\S

рѵ\

• V Pvs: (Vo)

_0

р г/5 Pw, .(24а)

S " = Т о ' — Ч ' — Ф' = — рѵУ ■ѵ' ~ Ри ' : (\ѵ'У -

Т)Р

1 «'2

а

о

р ^ '

р V S '

2

 

4г\

(246)

 

 

 

Заметим, что, поскольку флуктуации до некоторой степени можно рассматривать как «частицы» или как


Вступительная статья

15

области континуума, подобные «частицам» различных компонентов, их скорости могут отличаться от средней скорости континуума. Поэтому производная dv/dt имеет довольно сложный вид:

■WsaB-W + ^ v - ^ ' W]v=='W + ^ , , V >v' <25>

Это выражение подобно выражению, описывающему собственное поле скоростей при диффузии в многоком­ понентных системах. В силу (25) уравнение баланса для импульсов также распадается на два уравнения:

+

+

(2 6 )

р-%- + V ■(рѵ'ѵ -f P') - pv(S v') + pv'(V ■V) = 0. (27)

Принимая во внимание уравнения (26) и (27) и вы­ ражения (24а) и (246) для £ и £ ' , мы можем напи­ сать для вариационного принципа Дьярмати следующее выражение:

94 t + ѵ ■(рб + 9Ѵ'Ѵ') - р/] — ‘ ~

-

л(W : (ivf

°РМ: P"s -

- v ' Р

+ V • (p'ö +

рѵ'ѵ) — рѵ (ѵ ■v') + рѵ' (V • »)] —

— -^ -P ^ ;

— б cf {Рѵ -ѵ + Рѵ' - v ') - d Q = 0.

(28)

Будем считать параметрами Г компоненты вектора

средней скорости;

тогда, варьируя (28) по и

Vvß,

приходим к уравнению:

 

P ^ - + V ■(рб + Р ^ Ѵ )-Р / - V (т)„Ѵ • V ) - V ■[2t)(Vv)s] = 0, (29)

16

Вступительная статья

а варьируя по ѵ' и W — к уравнению

р -^ - + V • (р'Ь + рѵ'ѵ) — pt' (V • v') + pv' (V • i>) —

— Ѵ(л„Ѵ • г»') — V • [2ti(Vü')s] = 0. (30)

Предположим, что в (28) и (30) вязкость г) не зависит от координат, а сам континуум является несжимаемым; тогда имеем

Р

+ V ■(рб + рч/ѵ') — г)Аѵ — р/ = 0,

(31)

 

Р ^ Г + Ѵ • (p'f> + рѵ'г») — r)Aü' = 0.

(32)

Таким образом, мы пришли к общеизвестным уравне,- ниям Рейнольдса.

Бэрэцз [18] дал тщательный анализ выводов уравне­ ний неизотермической гидродинамики, исходя из прин­ ципа Дьярмати. Его работа весьма полезна для всех желающих овладеть техникой вывода любых уравнений из принципа Дьярмати. Бэрэцз отметил, что если из объемной части лагранжиана в общем вариационном уравнении

б 11 — I ln Т [ргі + рЧѵ + Jy : (Ѵг>)Л] — ѵ (рг> + Ѵр — pF) -

3 !х

д?х

-

з ? х о

о

dV

 

- - Р ( Ѵ ln T f -

-^(Ѵ ц )2

-z-(VvY : (Vvf

 

 

-

б I

[/, ln T +

Jlv] dQ = 0

(33)

выделить члены, относящиеся к переносу импульса, то

мы получим

 

о

2 Р= V(pv + V p - p F ) + ^ ~ W

2+

д г w : (?»)*• (34)

Эту часть полного лагранжиана

S

мы можем рассма­

тривать как сумму диссипативного лагранжиана S mo

q?X

ПрХ

о

о

(35)

3?дис — ~2~ (Уѵ)2+ ~^r~[(^®)s : (V»)s]

и обратимого S ’обр

 

 

 

 

S o6p=

V (рк + \ р

pF).

 

(36)