Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

откуда

X « 3 , 3 ,

о Цг = 2 ,3 .

Конечно,

скотома

удовлетворяется

этими

значениями

линь

приближенно. Чем

больно

соотношу низ

мещу

X

и

s

пределено,

то Hi достовернее

получается

значения

X и

м:

• V

А н а л о г и ч н о р е ш а ю т с я д р у г и е - с и с т е м ы п р и б л и ш е н н ы х ,

в ч а с т н о с т и эм ­

п и р и ч е с к и х

у р а в н е н и и ,

е с л и ч и с л о у р а в н е н и й б о л ь ш е ,

ч у м ч и с л о

н е и з в е с т н ы х .

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СОЕДИНЕНИЙ

Пусть

г

число

гь каких либо предметов, будем на­

имеется конечное

зывать их

элементами и обозначать буквами

^

|С>^

ч.У\^ Qs

Соединениями называются группы, составленные из данных элементов

по

определенному

правилу.

четания.

Рассмотрим эти

виды соединений:

. Размещения.

■;ЗЛ

\

,

. л

/

•.

из данных

Размещения^

элементов по Пу называются такие соеди­

нения, из которых каждое1'содержит

по элементов и которые отли~

чаются ..одно

от другого

или самими

элементами, или их порядком*.

Поставим задачу:

вычислить,-.сколько можно составить размещений из уь элементов по

fry. Число размещений

из vv

элементов по пу обозначается

.

;

'

Каждый элемент из W

данных является размещением по одному эле­

менту и, следовательно,

iA*v

-

Пусть известно число размещений из

гъ

элементов по лм

, то

есть

известно

Лп*1

Л

. Если к каждому из этих размещений добавить

каждый из оставинхся

элементов,

число которых равно

,

то

получим

размещений из

элементов по

W

< *

Л Of l - t

Г

. 1

Отсюда непосредственно получим:

так как

, *

,

то имеем:

А *

-

-

[ k - i )

A * =■ А к ^ a - \ v o ] -

чАл

-

А * (л -^ -О ]

'

[л--Ь)

Число перестановок из

л,

элементов обозначается

.

Перестановки из

уь

элементов можно рассматривать

как частный

случай размещений из

уь

элементов по гл. , когда

on-s- уь.

й следовательно^

о

г *

- л ъ

J V :

yv

* J+vv

Но

к4 ™::

i)

••••

,

отсюда

—

L 'v - ^ - o j -

1 «Т/^in-1) \_ln- *Х) •

• •

* * V %'l.

5V- 'll

Число

всевозможных

перестановок из

*Х‘ элементов равно

произве­

дению последовательных

натуральных

чисел

от

1

до

№ включи­

тельно.

Сочетания с

Сочетаниями из

данных

К/

элементов

по rv)

называются

такие

сое­

динения, из которых каждое содержит

Рп

элементов

и которые

отли­

чаются одно от

другого

хотя бы одним элементом»

* w

Число

сочетаний

из

гъ

элементов

по

m

обозначается

о

Пусть

из данных

Я/

элементов

составлены

сочетания

по

w элемен­

тов,

количество

их

.

Если

в

каждом сочетании выполнить

перестановки, число

которых равно

,

то

получим

сое­

следования. Но такие

соединения есть

размещения из ^

элемен­

тов по

Рп

и число

их равно

’

Следовательно,

Отсюда

b ^

'

новок, получим

,

ч

I*.

л

~

та!

Формула для вычисления числа сочетаний может

быть записана в

другом виде.

Умножив числ.тель

и знаменатель

на

к

замечая, что

U - '-4) '*

[»г-(

**

-

L-

- r^in-i) (In- n) ♦*

••*\ j i - (yp~0^ ' [ ' ^

M ' * * %' i -

Ъ \

получим

m _

vn\_______

t ^

rn*. (p,-no])

По найденной формуле запишем число

сочетаний из

Yl элементов

по (im-m)

. IVV-Л

УЪ

*г(

с.^

(m- m) 1 [in- (\г- гл)] [

1(ft- ^0 [

ны

и левые, отсюда

получаем

следующее

свойство сочетаний:

.J ^ _

л

k ' w

.

'

^ и, “

^ 'гг

Пример. Даны 4 элемента

^

,

4

,

t>

, d/>. Составить из этих ,

элементов размещения по 3 элемента,

перестановки, сочетания по

3

элемента.

■

.

т>

г ъ

4

• 3

• 2.=

24,

сами размещения:

Р е ш е н и е .

J44. =

&W/J алЦ,сиоЦ a,dlt

-Uk. -fecuoL, 4vA/<vf

4>oU,

tt(tj tcul; qcUo;

to04.

c^ cl4^ •

d»4CuC

оСбЫ*, сЫ 4с

у p

= 4, сами сочетания:

• Co4c^ <хДсЦ-

cccc4^

fj"