Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.10.2024

Просмотров: 48

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

10

ло или нет другое, то события называются независимыми, при этом

имеет

 

место;

 

р (CJC^

• Если события

 

и

зависи­

мые,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В примере

с шарами имеем: событие

С$

- номер

шара четный

и

p U ^ -O jS "

 

. Событие

 

- номер

шара кратный

трем.

Если

надо

 

найти

 

 

,

то

всего возможных

случаев

П/ =*

3,

ибо известно, что вынутый шар имеет номер

кратный трем, а такие-

номера ьа

трех

шарах, йз

них

событию

С,

благоприятствуют

ho -

 

I случаев

( шар & 6 ) .

Отсюда .

 

|

 

,

 

 

Имеем

 

 

P I ^ K slV9

т .е . события

С к

и

зависимые,,

 

 

Аналогично

обозначается;

р'(С 1/^ 1-С^..,.СГч)

-

условная

вероят­

ность

события

С* , вычисленная при условии,

что

события С ^ .-С к ,

произошли.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если производится

опытов и в

(Г

из них произошло со ­

бытие

Д

, то

 

отношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I^U)

 

 

 

 

 

 

называется

частотой (частостью ) события Д в

 

 

 

 

 

Если

j /

— > о о

р то

практически

достоверное что

часто­

та события как угодно близко приближается к его вероятности (до­ казательство будет выполнено в главе Ш)„

Отсюда статистическое определение вероятности; вероятностью события называется предел, к которому отремитоя его частота при бесконечном увеличении числа опытов.

Это определение очень полевно за практике. Когда число слу­ чаев, как всех, так и благоприятствующих событию, неизвестно, то производится большое число опытов и частота события принимается ке приближенная вероятносгъ его .

II

П р и м е р . Бросается однородная симметричная монета.В

результате опыта возможно событие Ji - появление герба. Ве­ роятность этого события

р и г - т

>

 

 

)

Найдем вероятность

события Л

опытным путем.

 

Если

бросить

монету небольшое число раз,

например 10р то

 

 

!Л»

и 8 раз . . .

, при этом часто­

герб может появиться и 2 раза

та появления герба:

 

 

i n j n - i

, pW ) - - ^ , • • •

 

 

Частоты могут отличаться друг от друга значительно, и могут отли­ чаться значительно от вероятности

р (о 0

Если же произвести большое число бросаний, то четко прояв­ ляется закономерность: число выпаданий герба составляет прибли­ зительно половину от общего числа бросаний. Бюффон, например,

бросил монету 4040 раз, при этом 2048 раз вьшга герб, частота выпадания^ герба

 

 

чо SO lOjSG'ob

 

Пирсон

бросил монету

12000 раз,

 

при

этом 6CI9 раз

выпал герб,

частота

I

 

 

 

 

 

выпадания герба

 

 

 

 

 

 

 

 

бскЬ 1 0,5016

 

 

 

 

 

10-000

 

Затем бросил 24000 раз, при этом герб выпал I20I2

раз, частота

выпадания герба

 

 

 

S

 

 

 

\%0\%

-

 

 

 

 

0 ,5 0 0 5

 

 

 

1,4000

 

 

 

 

 

 

 

 

Частота выпадания герба ищ ет

тенденцию при увеличении чис­

ла опытов стремиться

к вероятности

события

.

'г*4

- 12

^ роятн ость события есть предел,, к которому стремится час­ тота события, когда число опытов неограниченно возрастает» Лю­ бую из этих частот можно принять приблизительно за вероятность появления гербао

§ 2 . Умножение вероятностей

Произведением событий называется событие» состоящее в сов­

местном появлении этих событий.

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р .

Извлекается

одна

из

десяти заномерованных

кар­

точек.

Событие

Л

- номер карточки четкий» событие Ь -

номер

крат­

ный трем. Тогда событие Я 'Ь

-

номер

одновременно

четный

и крат­

ный трем ( & б

) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть в результате опыта возможны

уъ случаев,

из них число

случаев, благоприятствующих

событию

Л

 

 

,

число

случа­

е в , благоприятствующих

событию

В -

 

9 а

число

случаев, бла­

гоприятствующих

совместному

появлению событий

Я

и

& -

 

 

( см. рисунок 131, где

случаи изображены точками )„

 

 

 

На основании классического определения вероятности события

имеем:

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р О д ) -

УЪ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножив числитель и

знаменатель

на пл^

, получим

 

 

 

 

 

«,.*

- i f - w

 

 

 

 

 

 

 

 

.J S ia ,-

^> {0)/Я )

-

вероятность

события

Ь

р вычисленная при

условия,

что событие

Я

произошло,

действительно:

поскольку

 

I

13

известно,

что событие Л ироизошло, то возмояншш будут лишь

то случай,

которые благоприятствуют событию Я

р число их

w s\> ИЭ

HE mJVO

благоприятствуют событию ?6 , сяедова-

теяьно*

 

 

 

-

 

 

 

Отсюда:

р { А Ь ) р- U ) ‘ р ( Ъ \ 3 )

(1 .2 Л )

Аналогично:

 

 

*TW

Следовательно9 имеем

Р{А\Ъ) sp^)^t(bj^)-p^)-plvft|ib)

( 1.2Л )

Вероятность произведения двух событий равна произведши® вероятности ОДНОГО М3 Ш2Х Й условной Звроятноота ДРУГОГО*, ЗЙ-

■ численной при условия, что первое событие й1й@до ю сте .

Доказанную теорему вдовно обобщить ва произведет!® любого

числа событийв

Пусть надо вычислить *р(<Л,в^ #

® Обозначай

получим:

p u , А А ) - p U A ) - р(»)-р А |з > )-

 

>Pi)- pCAO’PWM

^ ь )

В общем случае

ш т т г

 

PUV^i** *

‘ "

(Х .2 .3 )

Пусть события

независимы, то

б

Р А М . М А ) . p U t M i l - p u o - - - Н'М'М»"-л>‘- ) - И ' М -

Следовательно,

КхА, JJt - •л ) - р (А ) P l^ iV -'- р ь м

Смотрите также файлы