Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.10.2024

Просмотров: 47

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Имеем: ■3i(i|Eoc"Exl<> t)-4 l^ (t\ j^ ')

- для первого прибора,

pi(|Efc'E d < t)jfcT 4 (E \|l§|)

- ”-т второго прибора.

 

По-условию

-s* ■*-.'4,

Так

как первый

прибор на

одно,

измерение тре-

бует втрое больше времени,

а время

всех

измерений

задано, имеем

Jii, -

i -

 

 

 

 

 

 

‘

 

 

П4~

Ъ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравним ве

оятности

р,

и

, нзйдя их отношение. Для этого

найдем

отношение

аргументов

функции

 

*• (

 

^ '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5»

Так

как функция

 

 

возрастающая, то

и'

■-7 |Ротсюда p i7 ip is

т .е . рационально

взять первый прибор.

 

Pi

 

 

 

§

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7,

Глубина

моря

измеряется

прибором, при котором дисперсия резуль-

татоз

измерений

получается

 

о

. Сколько

надо произвести

равной P7Q м

измерений, чтобы определить глубину с ошибкой менее 15 м при на­

дежности

9С1?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У з

ш е н и е .

Случайная,

величина

X

-

 

результат

измерения

глубины

моря,

-

истинная

глубина,

a.

 

-

средняя

измеренная

глубина.

Согласно

условию

задачи, должно

быть

1 ^ з о ~ 6 т с Л ^ v

с

вероятностью С ,9.

•

•

-

 

 

 

 

 

 

Используя

формулу

доверительной

вероятности, имеем:

 

 

 

 

 

 

0,9 = ^

( 1^ '^ )

 

 

 

 

По

таблице

интегралов вероятностей находим,

что 4РЦ ^ *

0 ,9 9 если

2

= 1,16.

Следовательно,

1'»r,v/ —S3s—

~ !

‘ ‘

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,э

i ЬПО

 

 

 

 

Отсюда

гЪ * 10,3*

т .е . надо

произвести

не

менее II измерений,

Г. Установлено, что дисперсия времени горения лампочки равна

100СС час2 . Сколько лампочек надо взять на проверку, чтобы, сред-

нее%ля

зеел

партии ла.лпочек время горения определить

с ошибкой

не.более

ЗС

часов

при

надежности 95 * ?

 

 

 

 

? е

ш е

к

и

е .

Случайная

величина

X

- время горения

лампоч

ки. Если

tix ,

-

среднее для всей

партии

время

горения,

а

- сред

158

нее

для

взятых

 

 

!<ъ

лампочек

время горения,

т о ,

согласн о

услови

задачи,

долдно

 

 

быть

 

 

 

 

 

 

Ф

 

30 ч а с.

с

вероятностью

0 ,

Используя

формулу доверительной

вероятн ости ,

имеем:

 

 

 

 

г-

 

 

 

• <

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

Lъо\;

 

 

—

 

)

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

95

 

\

i t

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-V

 

2.-|{».соо

 

 

 

 

 

находим,

 

что

•^'(•2:= 0 ,9 5 ,

По таблице интегралов вероятностей

 

eCv'“

 

Ъ =

1 ,4 .

Саедоаамльно,

 

 

 

 

-1,4

 

 

 

 

 

 

Отсюда находим

потребное

 

число

лампочек:

ув =

44.

 

 

 

 

 

 

 

Метод

наименьших

квадратов

(

к

§

5 ) .

 

 

 

 

 

 

 

I .

Закон

внутренн его

трения

грунта

выражается формулой

 

 

 

где

 

ДГ -

 

напряжение

сдви га , О"

_

нормальное

 

 

*

Ф

-

коэ

 

 

давление,

фициект трения, Ь -

 

сцепление.

Для

 

 

 

о

Ф

^

^

было

 

определения

и

выполнено

 

пять

 

измерений

"чГ

при

различных

значениях

(Г .

Резул

ты

представлены

 

таблицей:

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< Г(.-л^

т

 

2

 

 

3

 

 

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1*

 

3

 

 

2

 

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•

X

 

 

 

 

►

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По результатам

 

измерений

 

 

^

 

и

С .

 

 

 

 

 

 

 

 

найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е . Искомые

значения

ъ

и

0

находим

из

того

 

 

^

услови я ,

чтобы

 

полученные

результаты

измерений имели при них на

большую вер оя тн ости ^ .т о

 

е с т ь ,

чтобы

имело м есто :

 

 

 

 

 

Необходимое условиi.е-I

 

 

 

 

 

 

 

- к ' ' * ' *

 

 

 

 

 

 

 

сущ ествования

минимума:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C '.J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

>

( T i . - 4 Jr

t H - crO

- 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< 1 Т<7

^ ■ < Г с | + д . а ~ Ъ Х ‘

( . 4

159

.i'(.l + 5.-v?>+'i*b'} +

t '3"

-

 

+

-

одно

из

уравнений,

4 — 4

+ У й-сг, г > < r i ci l

 

 

 

-

другое уравнение»

4 г

 

 

*■*~ I

4 т

 

 

 

^

V/**

 

 

 

 

 

 

 

 

получили

систему уравнений ( 4 . 5 . 3 )

:

 

 

 

t зХ + | *0 4

** ч

^

-

и b “*it* 4■*3

 

 

•+3*5, *4*4 -*5'Ъ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в которой

Уъ •--

3,

'т

=

1,

Се.--С

,

 

\Cv=ф

Решая систем ;/,

находим:

С =

1 ,1 гГ1

, г =

С ,5*

 

 

 

 

 

 

V Д

I \

 

 

 

2 . Зависимость между

скоростью

судна

‘JT

(в

узлах) и мощностью

Н , развиваемой его двигателем (в лошадиных силах), выразилась

при испытаниях следующими данными:

\Г

5

7

9

I I

12

 

 

 

 

 

н290 560 1144 18102300

Предполагая,

что

зависимость

К

от

lT приближенно

выражается

формулой

H - C o ^ t r ,

найти параметры

Сои

С|

 

 

Р е

ш е

н г е ,

Обозначив

иzX,

получим линейную

зависимость

- И -

 

 

и

таблицу результатов

измерений:

 

Пг

25

.

49

 

81

121

 

 

144

 

 

н

290

56С

 

1144

18X0

23СО

 

 

На основании

этой

таблицы составляем

систему

уравнений:

£е-э“*с^г$4Ц«И&1-И11-Ич4) = l&Q**)60-rii44+ 1510*1^0.

Ul3L^4^»l-tU»H144)-irCl^w 4H b^8i4illa'+l442') - W'Wb* 4^5ьО-У

1*%Н|ЧН + i3.MgiQ-H44‘ 2.$0O.

Решая

систем у,

находим:

С0 = -

209,

17.

Окончательно

имеем:

И *

17

1 ^ -

209

 

 

 

 

 

 

3*

Представить

в виде

многочлена

второй

степени

зависимость

между

X

и

Ч'

, наилучшим

образом согласующуюся с данными измерений:

»

 

-

 

 

’ !

 

 

 

0

--

3

4

5

1

6

j

1--

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

■

2

 

 

4

|

5

 

3 I 2 j I

3

I

V -

 

 

 

 

 

 

 

*i= 2279,

2 0 .Z * ^ - 57-‘ i . X^

= ?7J-

Система уравнении

( 4 . 5 . 3 )

принимает вид:

 

 

 

 

 

 

 

7 С$

+

 

21С, + 91 С*

* 20 ■

 

 

 

 

 

 

 

 

21

С0

+

 

91

 

 

+ 441

{*1

«=

57

 

 

 

 

 

 

 

 

 

91 Сс

+

441С,

f

2279 Ц -

271

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая

систему,

находим:

Cft~

'*,£■»

 

 

-

2 ,0 7 ,

Сг~ 0 , з 3 .

 

 

Окончательно

имеем:

 

^

~

4,7Р ?,- С7%

«■ 0 ,3 3

л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кроме рассказанных выше задач, метол, наименьших

квадратор

может

быть

применен

и

к'другим

задачам.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

такой

пример..

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

для

определения

некоторых

величин

'DC

л

^

опытным

пут

выяснились

соотношении

между

ними,

причем

оказал ось ,

что

'

 

 

 

 

 

 

 

Х -гЧ ~ 5\£

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х% * 'b ^ z \'b fi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С виду

в та

система противоречивая: сложив первые два уравнения,

вступаем б

противоречие’ с

 

третьим.

Однако

ведь

возможны ошибки

эксперимента!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому постараемся

удовлетворить

системе

как

можно

то ч н е е ,

что

сумма

квадратов,

отклонений

точного

значения

величины

от её при'б

женного значения, полученного опытным путем,

была наименьшей, З

чит

надо найти

такие

 

X

 

и

^

,

для

которых

величина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

минимальна,.

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.Получили систему,’

Смотрите также файлы