Файл: Философия и физика [сборник статей]..pdf

Последняя точка зрения обладает рядом преимуществ и

в практическом отношении. Например, основатель киберне­ тики Н. Винер по этому поводу писал: «Все имеющиеся у нас данные имеют принципиальную неточность. Поэтому бессмыс­ ленно сначала получать результат с искусственно повышен­

ной точностью, а затем специально изучать ошибки при рас­

чете, с тем чтобы выяснить его реальную точность. Мы мо­ жем с самого начала выложить все наши карты на стол; в

конце концов при этом мы получим ровно то, что нам нужно, не больше и не меньше... Почему же тогда нельзя встать

на статистическую точку зрения с самого начала и вычислять

одновременно как средний результат, так и ошибку этого результата с единой точки зрения? И если такое признание статистической природы науки уже сейчас принесло большую пользу во многих технических задачах ньютоновского типа,

то во сколько же раз эта польза будет больше при таком

подходе к решению задач, в которых ошибки наблюдения

очень велики?» [10, с. 246—247].

Перейдем, наконец, к квантовой механике, в которой со­

стояние обычно описывают заданием волновой функции, и к

статистической квантовой механике, где состояние можно

характеризовать заданием матрицы плотности. В обоих слу­ чаях по задаваемым таким путем квантовомеханическим со­

стояниям однозначно определяются средние значения всех

наблюдаемых, и обратно, средние значения всех наблюдае­

мых для физической системы являются тем набором сопо­

ставляемых с опытными данными чисел, которые характери­

зуют общие квантовомеханические состояния5. Что же касает­ ся алгебры наблюдаемых, то она в «чистой» квантовой меха­

нике и в статистической квантовой механике одна и та же.

Из свойств этой алгебры следует, что всегда имеются наблю­ даемые, для которых в заданном квантовом состоянии сред­ ние значения не совпадают с их значениями, даваемыми каж­

дым отдельным измерением (т. е. дисперсии не всех величин равны нулю, как это следует из соотношения неопределен­ ностей), поэтому квантовые теории являются существенно

статистическими. Таким образом, во всех физических теори­

ях состояние физической системы можно характеризовать заданием средних значений от всевозможных наблюдаемых.

Определяемое таким путем состояние мы будем называть

статистическим. В частном случае детерминистических тео­

рий средние могут сводиться к значениям наблюдаемых, определяемым по отдельным измерениям, и тогда статистп-

43

щая в единую абстрактную схему все разработанные до на­ стоящего времени главные физические теории, как видно из вышеизложенного, опирается на следующие основные по­

ложения.

I. C любой физической системой может быть сопоставле­

на алгебра наблюдаемых. Это положение (или, если угодно,

исходный постулат) соответствует далеко идущему обобще­ нию принципа наименьшего действия, игравшего в прошлом

важную эвристическую роль в развитии физики [см. 11J.

Всамом деле, если физическая система может быть описана

спомощью принципа наименьшего действия или вариацион­

ного принципа, для нее можно ввести обобщенные координа­

ты и импульсы, далее через посредство скобок Пуассона

вводится лиево произведение, и затем теорию становится возможным переформулировать на языке алгебры наблюдае­

мых. Однако обратное положение неверно—описание с по­

мощью алгебры наблюдаемых является значительно более общим методом, чем принцип наименьшего действия, и с этим фактом приходится считаться в физике элементарных частиц.

II. Структурными свойствами алгебры наблюдаемых определяется структура фундаментальной физической теории.

Соответственно частичная классификация физических теорий

осуществляется путем классификации алгебр наблюдаемых по их структурным свойствам.

В настоящее время все главные физические теории с уче­ том этого положения по своей алгебраической структуре де­ лятся на классические (детерминистические и статистиче­

ские) и квантовые. В философском отношении важной осо­

бенностью новых абстрактных понятий высокой степени общ­

ности является то, что они не только позволяют по-новому взглянуть на уже существующие факты и теории, но и от­

крывают пути для создания новых теорий. В частности, на­

хождение принципиально новых «воображаемых» фундамен­

тальных физических теорий, аналогичных «воображаемой

геометрии» Лобачевского и требующих после своего построе­ ния еще сравнения с опытом, сводится теперь к решению

четко формулируемой математической проблемы о нахожде-

44

Нии абстрактных алгебр с новыми структурными свойствами,

которые в пределе переходили бы в алгебры наблюдаемых

классической и квантовой механики. В результате не только

дается конкретная математическая реализация философского

понятия о теориях разного уровня, связанных между собой предельными переходами, но и открывается возможность

фактической разработки и практической проверки новых фи­ зических теорий.

III. Одной из алгебраических операций в алгебрах на­

блюдаемых является лиево умножение, позволяющее, в част­

ности, рассматривать алгебру наблюдаемых как бесконечно­

мерную алгебру Ли6. C помощью лиева умножения вводятся

динамические уравнения движения (см. формулу 4), опреде­

ляющие изменения наблюдаемых с течением времени.

Важность этого положения связана с тем, что с его по­

мощью устанавливается соответствие с результатами статьи

тесная связь, поэтому результаты, выражаемые на языке алгебр Ли, могут быть переформулированы также на языке теории групп. В результате положение III после уточнения

физического смысла групповых параметров оказывается свя­ занным с инвариантно-групповыми свойствами физических

теорий. Отсюда далее вытекает рассмотренная в [1] класси­

фикация физических теорий по фундаментальным группам,

характеризующим их инвариантные свойства.

Следует отметить, что при алгебраической формулировке динамических уравнений движения (на языке алгебр наблю­

даемых) не используется понятие об измеряемых на опыте

числовых значениях наблюдаемых, поэтому здесь динамиче­ ские уравнения носят характер таких абстрактных физиче­ ских законов, которые непосредственно не зависят от число­ вых значений физических величин.

IV. Состояние физической системы определяется задани­

ем средних значений всех наблюдаемых для этой системы.

Более точно, состояние л определяется как вектор из дуаль­

ного векторного пространства по отношению к векторному пространству наблюдаемых, причем сравнение с опытом осу­ ществляется путем отождествления скалярного произведения

<π∕g> вектора л на вектор g со средним значением наблю­

даемой g в состоянии л7.

Из положения IV вытекает ряд важных общих выводов.

На элементы л можно накладывать дополнительные матема-

45

тические ограничения, в связи с чем физические теории можно

частично классифицировать по виду этих ограничений. Одна­

ко поскольку пространство состояний определяется исходя

из заданной алгебры наблюдаемых, то эти ограничения не могут быть произвольны, они должны зависеть от структуры

алгебры наблюдаемых. Например, для классических теорий

(для которых постоянная h в правой части алгебраического

тождественного соотношения (5) принимается равной нулю)

на состояния можно наложить такие ограничения, чтобы дис­

персии всех величин были равны нулю, т. е. чтобы теория

была детерминистической. Однако в квантовых теориях

с определяемыми из обычной квантовой механики тождест­

венными соотношениями между алгебраическими операция­

ми невозможно найти такие условия, чтобы дисперсии всех

наблюдаемых обратились в нуль. Поэтому квантовые теории с обычными структурными свойствами алгебр наблюдаемых

являются существенно статистическими теориями. В фило­

софском отношении эта статистичность. отражает связь кван­

товых систем с окружающей средой, от которой невозможно

отвлечься8.

Сформулированные и проанализированные выше четыре основных постулата теории физических теорий характеризу­

ют переход физики на новую ступень абстракции. На первых

ступенях абстракции был совершен переход от описания от­

дельных явлений к физическим законам, которые первона­

чально изучались вне связи между собой, затем группы фи­

зических законов были объединены в физические теории типа

классической механики, электродинамики, квантовой меха­

ники и т. д., что явилось важнейшим этапом в познании

внешнего мира, и, наконец, теперь все подобного рода физи­ ческие теории объединяются теорией физических теорий.

Выделение того общего, что имеется у всех главных, под­

тверждаемых на опыте физических теорий, приводит к новым

правлений. Разработка общей теории физических теорий

имеет важное мировоззренческое и методологическое значе­

ние.

46

Приложение

1 Дадим математическое пояснение высказанных положений. Пусть

gι, g2, gɜ— классические или квантовые наблюдаемые, причем в класси­

ческой механике за элементы g можно взять бесконечно дифференцируе­ мые в некоторой области функции обобщенных координат qk и обобщен­

ных импульсов pk (k=l, 2,..., N), а в квантовой механике элементами g

могут служить соответствующие эрмитовы операторы [см. 5]. Для на­

блюдаемых g определены алгебраические операции умножения на произ­ вольные действительные числа (число таких унарных операций беско­

нечно), бинарная операция сложения, а также бинарная операция Йорда­

и бинарная операция лиева умножения, в классической механике опреде­ ляемая по формуле

причем в классической механике, входящую в (5), постоянную h следует положить равной нулю. Остальные тождественные соотношения между алгебраическими операциями в классической и квантовой механике не за­

Pn) — абстрактный элемент алгебры наблюдаемых в классической меха­ нике, qι0,...j qN°, pɪ0,..., р№ — набор действительных чисел. Тогда состоя­

ние π в классической механике характеризуется или заданием этих чисел,

или заданием числовых значений <π | g> наблюдаемых g в состоянии ¡ц:

47