Файл: Философия и физика [сборник статей]..pdf

дения следует отказаться, о чем свидетельствует пример с нерелятивистской классической механикой и нерелятивист­

ской квантовой механикой, где фундаментальная группа

одна и та же, а теории различны. Поэтому возникает про­ блема создания более общей абстрактной математической

схемы теории физических теорий, которая, в частности, вклю­

чала бы не только переходы от нерелятивистских теорий к

релятивистским, но и переходы от неквантовых теорий к

квантовым. Соответственно если ранее был установлен глу­

бокий физико-теоретический смысл постоянной скорости све­ та, стремление которой к бесконечности приводит к переходу одной фундаментальной группы в другую, то теперь необходи­ мо еще установить более глубокий смысл другой фундамен­

тальной физической постоянной — постоянной Планка, харак­

теризующей переход к квантовым теориям. Л. де Бройль по

поводу постоянной Планка писал, что ее «истинный физиче­ ский смысл остается пока таинственным» [2, с. 951.

В данной статье излагаются общие философские и физи­ ческие идеи, приводящие к решению этой проблемы. Наряду с этим рассматриваются основы теории статистических со­ стояний, позволяющие включить в единую, общую схему ста­ тистические и нестатистические физические теории, намеча­

ются пути дальнейшей перестройки физических теорий, свя­

занные с разработкой абстрактных схем высокой степени

общности. Чтобы сделать статью более доступной, матема­

тические формулы, уточняющие смысл общетеоретических положений, приводятся в приложении, знакомство с которым

не обязательно для понимания основного текста.

Общая абстрактная основа классических и квантовых теорий

Первой из важнейших абстрактных математических основ классической и квантовой физики являются геометрические понятия, к числу которых относятся пространственные коор­

динаты, время, являющееся четвертой координатой в прост­

ранстве Минковского, и скорости материальных объектов. Все подобного рода геометрические понятия будут приобре­

тать чисто групповой смысл, если воспользоваться идеями,

ведущими начало от Эрлангенской программы Клейна

[см. 1]. В физике в качестве фундаментальной группы, харак-

36

теризующей инвариантные свойства физических явлений, бе­ рется или группа Галилея, или неоднородная группа Лорен­

ца (группа Пуанкаре). При этом пространственные коорди­

наты, время и скорость будут определяться через параметры

соответствующих групповых преобразований, переход от

нерелятивистской теории к релятивистской можно связать лишь с изменением фундаментальной группы, а важнейшая для релятивистской физики постоянная скорости света при­ обретает четкий групповой смысл.

Второй абстрактной математической основой классиче­

ской и квантовой физики является аналитический аппарат теории дифференциальных уравнений. Как мы видели, глу­

бокий перелом в понимании основ геометрии был достигнут в результате изучения инвариантных свойств геометрических

фигур и выдвижения на первое место понятия о группе, яв­

ляющейся одним из объектов, изучаемых алгеброй. В настоя­

щее время обнаружилось, что многие физические теории,

в том числе классическая и квантовая механика, могут быть

переформулированы в терминах алгебраических понятий,

причем основным математическим аппаратом становится уже

не анализ, а алгебра. Проникновение в различные разделы математики и физики новых абстрактных алгебраических ме­

тодов является одной из особенностей нашего времени, поэ­

тому мы остановимся на этом вопросе более подробно.

Абстрактную группу можно определить как множество элементов, для которых заданы следующие алгебраические

операции: бинарная (т. е. определяемая для двух элементов) операция группового умножения, позволяющая любым двум

взятым в определенном порядке элементам группы ставить в однозначное соответствие третий элемент группы; унарная

операция, сопоставляющая с каждым элементом группы об­

ратный ему элемент; нульарная операция, выделяющая из

всех элементов группы единичный элемент. Указанные три

алгебраические операции для группы связаны между собой

определенными тождественными соотношениями: бинарная

алгебраическая операция удовлетворяет условию ассоциатив­

ности, произведение произвольного элемента на обратный ему

равно единичному элементу и, наконец, произведение любо­

го элемента на единичный элемент равно этому же элементу.

В данное определение мы ввели важнейшее для современ­

ной математики понятие об алгебраической операции, кото­

рое дает возможность нескольким произвольным элементам

(например, двум для бинарной операции или одному для

37

унарной), взятым в определенном порядке, ставить в одно­

значное соответствие элемент из того же множества. Глубоким

обобщением группы является понятие об универсальной ал­

гебре, понимаемой как множество элементов, для которых определены алгебраические операции, связанные между со­ бой некоторыми тождественными соотношениями [см. об этом 3].

В системе точных наук абстрактные алгебраические ме­

тоды, связанные с выделением алгебраических операций и на­

хождением универсальных алгебр в рамках уже существую­

щих или заново разрабатываемых математизированных

теорий, показали себя как методы первостепенной важности.

C их помощью оказывается возможным выделять и изучать

общие закономерности у сложных систем и добиваться уди­

вительно сильных результатов в тех случаях, когда старые аналитические методы оказываются или чрезвычайно гро­

моздкими, или совершенно бессильными. Поскольку прове­

дение большого числа однотипных алгебраических операций

доступно электронным вычислительным машинам, то алгеб­ раические методы приобретают также особое значение в свя­ зи с происходящей в последние десятилетия второй промыш­

ленной революцией [см. 4].

В применении к основам физических теорий важную роль,

как мы видели, играет фундаментальная группа, характери­

зующая инвариантные свойства теории. Чтобы обобщить ме­

тод построения теории физических теорий, основанный на

использовании фундаментальной группы, необходимо перей­

ти к более общей универсальной алгебре, из которой, в ча­

стности, выводилось бы и понятие о фундаментальной группе. Такой алгеброй может служить алгебра наблюдаемых, сопо­

ставляемая с произвольной физической системой.

Уточним понятие об алгебре наблюдаемых. C каждой фи­

зической системой в механике сопоставляется совокупность

обобщенных координат и обобщенных импульсов. Класси­

ческими наблюдаемыми называются произвольные действи­ тельные функции обобщенных координат и импульсов, а

квантовомеханическими наблюдаемыми — соответствующие эрмитовы операторы. Если умножить наблюдаемую на дей­

ствительное число или взять сумму двух произвольных на­ блюдаемых, то снова получим наблюдаемую. Наряду с этим для множества наблюдаемых вводятся еще две бинарные

алгебраические операции умножения, одной из которых слу­ жит операция лиева умножения, определяемая с помощью

38