Файл: Потураев, В. Н. Резина в горном деле.pdf

Рассматриваемую задачу можно решить, используя метод Фурье. Однако это решение в виде разложения тройного ряда по косинусам с собственными числами, определяемыми транс­ цендентными уравнениями, весьма громоздко. Поэтому ограни­ чимся приведением лишь конечного результата, полученного таким способом для приращения 0Р

Приближенные значения средней и максимальной температуры нагрева резиновых элементов могут быть получены более простым путем, используя вариационные методы.

Примем распределение температуры в образце в виде пара­ болической функции типа

Правомочность такого выбора подтверждена эксперимен­ тально [48]. После подстановки (3.37) в функционал (3.36) и мини­ мизации его для определения неизвестных постоянных с( получим систему уравнений

3 -!| + B i,) + Ct ( ^ - 4

Bl2 1

Yl ^ ■ B i , ) + f 4 f f + s

Bi2

+ Т Ш » ) + С ‘ ( - т Ч

88

При сжатии призматического элемента

Для призматического элемента, работающего на сдвиг,

3LX= L2= L3= Д4= 0,125Z>.

Максимальное значение температуры в центре резинового элемента, определяемое величиной Clf будет ниже, а средний по объему уровень приращения температуры, найденный миними­ зацией функционала (3.36), выше, чем соответствующие величины, полученные при точном решении уравнения (3.31).

В качестве приложения рассмотрим два примера определения температурных полей в резиновых деталях призматической формы

пературе окружающей среды 21° С. Механические и теплофизи­ ческие характеристики резин были следующими:

Для обеих резин критерии Био имели значения: Bix = аН1 = 2; Bi2 = ЪН%— 4; Big = hH3 — 3 при Н г = Н 2 = 40 1/м и Н 3 = = 120 1 /м.

89

На рис. 61 показаны графики распределения температурного поля в объеме исследуемых деталей. Кривые 1 и 2 получены спо­ собом точного решения, а кривые 1' и 2' — приближенного, используя вариационные методы.

т,°с

Рис. 61. Распределение температур в резиновом призматичэ ском элементе при сдвиге:

--------- — расчет; точки — эксперимент

Пример 2. Резиновый призматический элемент с размерами

2а х 2Ъ х 2h = 0,030 х 0,060 X 0,024 м из резины типа 2959

подвергался циклическому сжатию при частоте со = 76 рад/с, амплитуде 6 = 0,0015 м и температуре окружающей среды 21°

Рис. 62. Распределение температур в резиновом призматиче­ ском элементе при сжатии:

-------------расчет; точки — эксперимент

Механические и теплофизические характеристики были такими:

На рис. 62 показаны графики распределения температурного поля в рассматриваемом призматическом элементе (температурное поле симметрично относительно осей х, у, z, начало координат^ в центре тяжести элемента).

90

6. РАСЧЕТ ТЕПЛООБРАЗОВАНИЯ В ШАРНИРАХ

Рассмотрим теплообразование в резинометаллическом шарнире при его коаксиальном скручивании и отсутствии радиального поджатия. Полагая, что в резиновом элементе шарнира имеют место лишь касательные напряжения и пользуясь принципом вязкоупругой аналогии, связь между напряжением и деформацией запишем в виде

у0 — амплитудное значение угла закручивания.

При установившемся процессе теплообразования уравнения

и наружной металлической обойме.

Граничные условия, отражающие теплообмен между резиной, металлом и окружающей средой, могут быть приняты в виде:

91

Условия равенства температуры и тепловых потоков на цилин­ дрических поверхностях г = R x и г — Т?2, т. е. на стыке резина — металл, удовлетворим в интегральном смысле:

тде К — коэффициент теплопроводности металла.

Общее решение уравнения (3.39), удовлетворяющее гранич­

Общее решение уравнения (3.41), удовлетворяющее граничнымусловиям (3.44) и (3.45), представим выражением

00

Здесь функция S0 выражается через бесселевы функции мнимого аргумента первого и второго рода

Решение неоднородного уравнения (3.40), удовлетворяющее граничному условию (3.43), запишем в виде суммы общего реше-> ния соответствующего однородного уравнения и частного решения

92