Файл: Потураев, В. Н. Резина в горном деле.pdf

Эффективный модуль упругости равен

Здесь G — модуль сдвига исходного материала при исследуемом режиме нагружения; р — функция поврежденности.

Тогда, удовлетворяя второму граничному условию и учитывая

(3.80)—(3.82), получим, что

Таким образом, при сделанных предположениях напряжение в образце остается постоянным вплоть до разрушения, а упругие деформации изменяются вследствие изменения эффективного мо­ дуля в процессе развития поврежденности.

Распределение температуры в образце нужно было бы описы­ вать уравнением (3.75). Однако из-за недостатка эксперименталь­ ных данных, определяющих коэффициенты я;, уравнение для расчета температурного поля примем в виде

где 9 — приращение температуры; а — коэффициент температуро­ проводности; с — удельная теплоемкость; р — плотность мате­ риала; W* — источник внутреннего теплообразования.

Граничные условия отражают теплообмен между резиной и окружающей средой

где Н г = II2 — коэффициент теплообмена между резиной и возду­ хом; Hs — коэффициент теплообмена между резиной и металлом.

На основании полученных нами экспериментальных данных можно утверждать, что для ряда встречающихся в практике слу­ чаев использования амортизаторов температурное поле в них устанавливается по истечении промежутка времени t0, значение которого пренебрежимо мало по сравнению с общей наработкойобразца, т. е. температурное поле можно считать стационарным

110

и уравнение (3.84) в этом случае перепишется следующим образом:

Можно показать, что при установившемся процессе тепло­ образования приращение температурного поля определяется в основном постоянной его составляющей. Отсюда следует, что существует баланс между количеством тепла, выделяемым в резине за цикл нагружения, и количеством тепла, рассеиваемым в течение этого же цикла в окружающую среду. При этом в уравнении теплопроводности в качестве функции источника можно принять среднее за период времени значение функции W*.

Источник теплообразования, усредненный за цикл, подсчитаем

где a1 — главное растягивающее напряжение.

В рассматриваемом случае главное растягивающее напряжение совпадает по величине с касательным напряжением xXZ0, а напра­ вляющие косинусы его определяют углы а с осями х и z, рав­ ные 45°.

Зависимость между деформацией последействия и напряже­

где % — параметр ползучести.

В качестве ядра ползучести было взято ядро Работнова (2.6). Правая часть уравнения (3.89) не содержит функцию р явно, так как феноменологические соотношения, связывающие деформа­ цию последействия и напряжение, строятся на основании экспе­ риментальных кривых и поэтому зависимость от р учитывается

неявно.

В результате несложных подсчетов для W* получаем выражение

w , = + с К [ т , „ e x p ( - ^ ) c h ^ . ( 3 .9 0 )

Интеграл от второго слагаемого в формуле (3.88) опреде­ лялся численными методами и что с небольшой погрешностью »(менее 3 %) этот интеграл может быть вычислен вторым слагае­ мым в формуле (3.90).

111

Окончательно уравнение для определения темпер атурного поля (3.87) примет вид

Решение этого уравнения ищем методом разложения функции в тригонометрические ряды по косинусам

где собственные числа vm и pn определяются граничными усло­ виями (3.85) и являются корнями трансцендентных уравнений

v tg v = Я ха;

9 tgp = Я 2й;

Функция W*/cp раскладывается в ряд по собственным функ­ циям

W*

ср

т=1 л=1 р=1

где

Ьh

После проведенных вычислений для 0 получается выражение

sin v m sin \хп sin т|р (v£, + Bi|) (p|+Bijj) X

Pnc. 68. Изменение температуры и долговечности точек амортизатора по оси

х:

' а — зависимость температуры от координаты ж; б — зависимость долговечности от коор­ динаты х

где Bi — критерий Био

Bix = аНг;

Bi2 = ЪН2;

Bi3= hHs,

vm, и г)р — корни уравнений (3.92).

При расчете на ЭВМ «Минск-22М» в выражении (3.93) учитыва­ лись шесть первых членов ряда. Полученная зависимость темпе­ ратуры от координат показана на рис. 68, а; 69, а; 70, а.

Изложенная схема расчета может быть реализована шаговым методом. После приложения к образцу нагрузки в исходном ненапряженном и недеформированном состоянии за время первого

Рис. 69, Изменение температуры и долговечности точек амортизатора по оси у:

а, — зависимость температуры от координаты у\ б — зависимость долговечности от коорди­ наты г

шага по времени At1 устанавливается поле напряжений и поле температур. Совместное действие напряжения и температуры в те­

чение времени приводит к развитию поврежденности Ар — pAij* описываемой уравнением (3.68). Поврежденность в свою очередь1

114