Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 163
Скачиваний: 1
Функция распределения
|
F (Г) = Ф |
Т — 77,7 |
|
|
||
|
КО, 12Га + 38,4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Рассчитаем |
критерий |
х 2 и его |
вероятность. Получаем х 2 = |
|||
= 3,09; р (х2) |
= 0,22. |
Определим |
период безотказной |
работы |
||
|
|
|
|
с вероятностью р = 0,9 |
||
|
|
|
|
0,9= 1— Ф |
Т — 77,7 |
|
|
|
|
|
К 0.12Г3 + |
38,4 |
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 15. Эмпирические и теоретические распределения функции и плотности ве роятности стойкости сверл диаметром
10,5 мм:
------ —----- выравнивание |
по методу разде |
ляющих р а з б и е н и й : |
--------------выравнивание |
по реализации износа: —0 —0 — эксперимен тальные данные
отсюда Т0Л = 53 мин.
Таким образом, выравни вание распределения по за кону Бернштейна на основе реализации износа дало луч ший критерий 'согласия, чем по методу разделяющих раз биений (рис. 15). Различие в оценке надежности (по зна чению Т0Л) оказалось несу
щественным. Альфа-распределение стой
кости инструмента. Процесс износа режущего инструмента можно рассматривать как ли нейную случайную функцию. После короткого периода приработки (интенсивного износа) режущего инстру мента следует период нор мального износа, который с достаточной точностью опи сывается линейной зависимо стью с постоянной скоро стью процесса износа.
h (0 = h0 + Bt, |
(83) |
где h (t) — величина |
износа (например, по задней поверхности) |
в момент времени t\ |
h0 — начальная величина износа; В — ско |
рость износа.
Начальная величина износа h0 является величиной весьма
малой по отношению к конечной величине износа. Еще меньшим является различие между величинами начального износа для различных инструментов из выборки. Исходя из этого, зависимости для различных инструментов данной выборки могут быть пред ставлены в виде веера (см. рис. 14) с общим началом в точке (h0, 0),
которая называется полюсом. Такие линейные случайные функ ции, имеющие полюс, называются веерными.
60
Математическое ожидание функции (83)
М {Л (0} = hQ+ М \ В } t,
где М {В} — математическое ожидание скорости изменения па
раметра..
Если отложить по оси ординат величину hk, соответствующую
величине износа, принятой за критерий затупления, то тогда случайное время достижения этого значения hk, т. е. стойкость
t = hk ~ h° . |
(84) |
В |
|
При нормальном распределении случайной величины последняя может принимать любые значения от —оо до -foo. Поскольку возможные значения случайной величины скорости износа В
могут быть только положительными и ограничены интервалом (Ьи Ь2), то распределение В будет усеченным нормальным с плот
ностью
1 {В) — cf (В), |
(85) |
где f (В) — плотность неусеченного распределения; с — норми
рующий множитель (коэффициент усечения), определяемый из условия, что площадь под кривой распределения равна 1. Таким образом, усеченным нормальным распределением случайной вели чины называется распределение, получаемое из нормального при ограничении интервала возможных значений этой величины.
Итак, усеченное нормальное распределение величины скорости износа будет:
f(B) = cf(B) |
С |
ехр |
( б - б ) а |
(86) |
|
s {Ь} ]^2я |
|
2sz {b] |
|
при Ьг < b < Ь2-
Время Т достижения определенной (принятой за критерий
затупления) величины износа режущей кромки инструмента за висит согласно формуле (84) от скорости износа В. Распределение величины В известно, оно является усеченно-нормальным (86).
Теперь следует установить, каким будет закон распределения времени Т, т. е. стойкости инструмента. Другими словами, сле
дует найти распределение функции от случайной переменной. Из математической статистики [14] известно следующее пра
вило о распределении функции от случайной переменной. Если
случайная |
величина |
В |
имеет плотность распределения |
f (В), |
а случайная величина |
Т связана с В зависимостью Т = |
ф (В) |
||
[в нашем |
случае Т — ^ h/t д ll°^ J , то плотность распределения |
|||
случайной величины |
Т |
имеет вид: |
|
|
|
|
f(T) = f[B{T)]B'(T), |
(87) |
|
61
где В (Т) — функция, обратная ср (В) в нашем случае В (Т) =
-
Поэтому на основе зависимостей (84), (86) и (87) после преоб разований получаем: *
|
/ |
СП |
(hk — ho) с exp |
1 |
hk — hp |
b ^ |
|
i (6) C-V2л |
2 |
\ s { b} t |
s {b) |
||
при tx |
< t |
< |
12. |
|
|
|
Введем |
обозначение |
|
|
|
||
|
|
|
hk — ftp. |
a == |
_b__ |
|
|
|
|
P = s{b) ’ |
|
s {b} |
|
Таким образом, распределение примет вид:
f(T) |
с0_ |
|
t*V 2я |
(88)
(89)
где Р — относительный запас стойкости инструмента, имеет раз мерность времени; a — относительная средняя скорость износа или коэффициент однородности изменения скорости износа, без размерная величина.
Распределение (89) называется альфа-распределением.
Заметим, что а = |
7 ^ |
= ■— » гДе иь — коэффициент вари |
ации скорости износа |
[22]. |
Параметры а и р позволяют учиты |
вать многочисленные факторы, влияющие на характер распреде ления стойкости.
В качестве примера приведем альфа-распределение стойкости сверл 4,2 мм, испытанных в количестве 108 шт. Средняя стой
кость Т = 107 мин. Параметры распределения а — 0,48; Р =
=100; с = 1,5.
Плотность распределения имеет вид
|
|
150 |
|
|
( i ^ - 0 , 4 8 ) 2] |
|
||
|
|
](Т) = Т2 У 2л ехр |
|
|
|
|||
Расчет |
критерия |
согласия |
|
дает |
Р (%2) = |
0,39. |
Надежность |
|
сверл |
оценивается на основе зависимости |
|
|
|||||
|
|
|
Р(Т) |
Ф (а) + |
Ф (z) |
|
|
|
|
|
|
|
1 + Ф (а) ’ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
где Ф ( ) — функция |
интеграла |
вероятностей; |
z = |
О |
||||
-^---- a. |
||||||||
В |
нашем случае |
стойкость |
с вероятностью Р = 0,9 будет |
|||||
Гд.д = |
51 |
мин. |
|
|
|
|
|
|
Подробнее см. работу [34].
62
Стойкость резцов, оснащенных твердым сплавом, также опи сывается альфа-распределением. В качестве примера приведем альфа-распределение стойкости резцов, оснащенных твердым спла
вом Т14К8 на операции подрезки торца, материал сталь |
ШХ15, |
||||||||||||||
v = |
134 м/мин, |
s = |
0 , 1 m m / o 6 , |
|
|
|
|
||||||||
t |
= |
0,5 |
|
мм. |
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
Средняя |
|
стойкость |
Т = |
|
|
|
|
||||||
= 125 мин. Параметры рас |
|
|
|
|
|||||||||||
пределения а — 3,2; |
р =370; |
|
|
|
|
||||||||||
с = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f(T) = |
|
370 |
|
X |
|
|
|
|
|
||||
|
|
г- V 2л |
|
|
|
|
|
||||||||
хехр |
|
|
|
370 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Критерий |
согласия имеет |
|
|
|
|
||||||||
вероятность |
Р (%2) = |
0,29. |
|
|
|
|
|||||||||
Стойкость |
с |
|
вероятностью |
|
|
|
|
||||||||
Р = 0,9 |
будет |
составлять |
|
|
|
|
|||||||||
Тол = 82,6 |
мин. |
приведено |
|
|
|
|
|||||||||
|
’ На |
|
рис. |
16 |
|
|
|
|
|||||||
альфа-распределение стойко |
|
|
|
|
|||||||||||
сти |
двух партий |
сверл диа |
|
|
|
|
|||||||||
метром 5 мм: со |
|
стандартной |
|
|
|
|
|||||||||
и |
увеличенной |
|
толщинами |
|
|
|
|
||||||||
сердцевины. |
Распределения |
|
|
|
|
||||||||||
резко |
отличаются |
.друг от |
0 |
|
|
8 |
|||||||||
друга, наглядно показывают, |
|
|
|||||||||||||
что увеличение толщины серд |
Рис. 16. Лльфа-распределение стойкости |
||||||||||||||
цевины |
|
не |
только |
увеличи |
|||||||||||
|
двух партий сверл |
диаметром |
5 мм и |
||||||||||||
вает стойкость, |
но |
и увели |
толщиной сердцевины: |
|
|||||||||||
чивает надежность. |
Заметим, |
1 — стандартной', |
2 |
— увеличенной |
|||||||||||
что |
при а > |
4,5 |
с |
|
погреш |
|
|
|
|
||||||
ностью |
не |
более |
5% |
можно |
|
|
|
|
|||||||
среднюю |
стойкость |
|
принять |
равной медиане |
и |
рассматривать |
|||||||||
a -распределение как частный случай распределения Бернштейна. При а >> 10 альфа-распределение может быть заменено нор
мальным.
Анализ реализаций износа
Важнейшими факторами физического содержания процесса, влияющими на закон распределения, являются модели изнашива
ния. Рассмотрим этот вопрос применительно к режущему инстру менту.
Выше рассматривались случайные величины, характерные тем, что в результате опыта они принимали некоторое одно, заранее
63
неизвестное, но единственное значение. Примерами таких случай ных величин является период стойкости инструмента, результат измерения какого-либо параметра инструмента, взятого из партии, и т. д. Случайное явление изучалось в статике, в фиксированных условиях отдельного опыта.
На практике часто приходится иметь дело со случайными вели чинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта. Примером такой случайной величины является величина износа режущей кромки инструмента в процессе его работы. Такие случайные величины, изменяющиеся в процессе опыта', образуют случайные функции. Случайной функцией называется функция, которая
врезультате опыта может принять тот или иной конкретный вид
[14].Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в ре зультате опыта, называется реализацией случайной функции. Если над случайной функцией произвести группу опытов, то получим группу или семейство реализаций этой функции.
Встречающиеся на практике реализации процессов износа режущего инструмента близки к линейным: скорость износа каждого инструмента в основном постоянна, а для любого взятого инструмента скорость износа случайна — для каждого инстру мента своя. Для описания процессов износа инструмента поэтому целесообразно применить линейные случайные процессы, все реализации которых являются прямыми линиями. Линейные случайные процессы являются весьма удобной моделью процес сов износа инструмента, близки к действительным процессам из носа; очень просто описывают основные особенности процесса износа; требуют минимального количества экспериментальных данных для вычисления характеристик случайного процесса; дают возможность наиболее просто исследовать надежность эле ментов при их износе.
Рассмотрим подробнее вопрос о характере реализаций износа режущего инструмента. Анализ реализаций износа с позиций вероятностного характера процесса позволяет получить более полную качественную и количественную характеристику процесса износа инструмента. Характер реализаций износа режущего инструмента отражает физические закономерности процесса из носа и, следовательно, связан с характером распределения стой кости. Анализ многочисленных реализаций износа различных видов режущего инструмента из разных инструментальных мате риалов позволяет установить некоторые основные положения и закономерности в поведении реализаций износа режущего инстру мента. По внешнему виду реализаций износа можно делать предва рительные заключения о приемлемости того или иного теорети ческого распределения для описания данного конкретного эмпи
рического материала.
Рассмотрим типичные примеры реализаций износа инструмента. На рис. 17 показаны реализации износа метчиков М12 со шли фованным профилем резьбы, изготовленных из стали Х6ВФ с раз
64