Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

Соотношение (96) показывает, что случайная величина у (стой­

кость в минутах) в среднем линейно зависит от фиксированного значения х. Значения ро, Pj и о2 — в общем случае неизвестные

параметры генеральной совокупности, которые следует оценить по выборке объема п, состоящей из п пар значений лу, yt (i — 1, 2, . . ., п), представленных на графике (рис. 24) после усреднения

по группам (здесь и далее числами на графиках обозначено коли­ чество испытаний при данном значении х).

Взяв частные производные от левой части выражения (97) по а и b и приравнивая их нулю, получим систему уравнений для опре­

* Это требование не учитывает того, что количества испытаний в группах могут быть различными. Поэтому оценки получаются хотя и несмещенными, но недостаточно эффективными. Для получения более эффективных оценок необ­ ходимо пользоваться «взвешенным» методом наименьших квадратов [28].

86

Коэффициенты b0 и bx могут быть найдены по формулам, выте­

кающим из уравнений (98):

Можно также найти Ь0 и Ьъ решая систему непосредственной

подстановкой в нее данных из табл. 25, в результате чего получаем систему уравнений:

5510,54 = 95Ь0 + 8 5 ,8blt

5127,01 = 85,8Ь0 + 78,05 Ьг.

Решаем систему методом последовательного исключения не­ известных. Для этого делим уравнения на соответствующие коэф­ фициенты при Ъо и вычитаем из одного уравнения другое, получаем

Подставив в это уравнение два любых значения х, получим две

ординаты г/*, по которым проведем прямую на графике (рис. 24). Она ясно показывает, что, несмотря на отдельные отклонения в ходе эмпирической линии регрессии (а если бы нанести на график все фактические экспериментальные точки, а не только их средние групповые, то эти отклонения были бы гораздо больше), четко вы­ рисовывается прямая зависимость стойкости сверл от толщины сердцевины. Многочисленные отклонения отдельных эмпириче­ ских точек от этого закона есть отражение влияния на стой­ кость многих других неучтенных факторов.

Криволинейная зависимость. Расчет параметров криволиней­ ной регрессии производится также на основе способа наименьших квадратов. Например, нужно найти зависимость стойкости сверл диаметром 28 мм от величины заднего угла на основании ре­ зультатов испытаний партии сверл в количестве 45 шт. Составляем по результатам испытаний табл. 25.

Нанесем на график значения х и ух (рис. 25) и построим эмпи­

рическую линию регрессии. Легко видеть, что ее можно аппрокси­

87

мировать квадратической функцией, т. е. параболой второго по­ рядка

Пользуясь методом наименьших квадратов, получают систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров (60, 6г, Ь.2). Вывод опущен, так как он аналогичен предыдущему:

'%У = пЬ0 + Ь1'%х + ЬаS х2;

Данные для решения этой системы берем из табл. 25.

По данным таблицы составляем систему нормальных уравнений:

После деления всех уравнений на коэффициенты при 6„ по­

Вычтем из второго уравнения первое и из третьего — второе, полученные уравнения разделим на коэффициенты при Ь1 и вычтем

Рассмотрим другой пример криволинейной зависимости типа гиперболы —■зависимость стойкости сверл диаметром 8 мм от обратной конусности. На основе результатов испытаний составим

табл. 26. Нанесем на график значения х и ух я получим эмпири­

ческую линию регрессии (рис. 26). По виду этой ломаной линии можно сделать заключение, что ее следует аппроксимировать гиперболой

М\У) = $0 + Ц-, (Ю З)

88

Таблица 25

Расчет зависимости стойкости сверл диаметром 28 мм от заднего угла