Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

Таблица 26

Расчет зависимости стойкости сверл диаметром 8 мм от обратной конусности

для нахождения оценок параметров которой необходимо решить следующую систему из двух нормальных уравнений:

1

"6» + 2 l T = I \ tJ'

(104)

Подставляя в уравнение (104) данные из табл. 26, получим

ПО&о + 2 7954»! = 1447,00;

2795&0 + 85 414Ьг = 40 153.

£ = 7 ,0 5 + 0,24 -1-.

Подставив в последнее уравнение значения х = 0,01-т-0,06,

получим ряд значений, по которым построим гиперболу — вы­ борочную линию регрессии (рис. 26).

Измерение тесноты связи на основе корреляции

Понятие о тесноте связи. Выше излагались примеры решения первой основной проблемы теории корреляции — установление формы связи. При корреляционном анализе возникает вторая проблема — измерения тесноты связи. Существуют показатели, оценивающие те или иные стороны стохастической связи. Из них важнейшим является коэффициент корреляции, рассматриваемый ниже.

91

Как указывалось в выражении (8), дисперсия суммы двух не­ зависимых случайных величин равна сумме дисперсий этих вели­ чин. Поэтому, если для двух случайных величин х и у окажется, что

D [х -f- у\ 4= D {х} -f- D \у),

то это служит верным признаком наличия зависимости между х и у. Из свойств дисперсии и математического ожидания можно вывести, что зависимость между х и у вытекает из неравенства

Обратное утверждение несправедливо и из равенства (105) независимость х и у не вытекает.

Та часть стохастической связи между х и у, которая сказы­ вается на отличии D {х + у\ от D jx} ~\-D {у), называется

корреляцией. Необходимым и достаточным условием корреляции служит неравенство (105), левая часть которого носит название корреляционного момента. Корреляционный момент зависит от единиц измерения величин х и у. Поэтому на практике чаще исполь­

зуется безразмерная величина

которая называется коэффициентом корреляции.

Коэффициент корреляции есть показатель того, насколько связь между случайными величинами близка к строгой линейной зависимости. Он одинаково отмечает и слишком большую долю случайности, и слишком большую криволинейность этой связи. Выборочный коэффициент корреляции вычисляется по такой же формуле, что и генеральный коэффициент, только здесь берутся выборочные математические ожидания (средние) и дисперсии

Подставив в уравнение (96) правую часть этого равенства получим выборочное уравнение прямой линии регрессии у на х

вида

Существует довольно много различных рабочих формул для вычисления г прямым способом, т. е. при непосредственном исполь­ зовании отдельных значений х( и соответствующих yt. Так, если

92

в формулу (107) вместо s {jc} и s jу) подставить их значения, то

получим наиболее часто применяемую формулу

Yi (xi —x) (У1 —У)

(П О )

V Е (* -* )* 2

Коэффициент корреляции в данном случае выражен только с помощью отклонений от средних, так что все вычисления стано­ вятся однотипными. Когда производится расчет корреляционного уравнения, коэффициент корреляции удобно рассчитывать по следующей формуле:

При вычислении коэффициента корреляции находят следующие суммы квадратов:

( 112)

£ (х „ -хН д^ ) = £ х^ Щ Ы .

При вычислениях можно произвольным образом смещать на­ чало отсчетов для обеих переменных.

Рассмотрим порядок расчета коэффициента корреляции для уравнения (99) связи стойкости сверл диаметром 6 мм с различной толщиной сердцевины (см. табл. 24 и рис. 24). По формуле (111),

в которую подставляем данные из табл. 24, а значение Уг —

= 672101 подсчитываем отдельно, коэффициент корреляции будет:

1^95-78,04 — 85,821^95-672 101 — 5509,94а

Рассмотрим еще один пример расчета корреляционной зави­ симости и коэффициента корреляции. В табл. 27 приведены дан­ ные по величинам угла наклона поперечной кромки ф (у) и заднего угла а (х) для партии сверл диаметром 4,2 мм в количестве 49 шт.

Определим коэффициент корреляции между этими параметрами. Для облегчения расчетов каждое значение х уменьшим на 14, а каждое значение у уменьшим на 40; полученные новые значения х' и у' запишем в графах.

93

По полученным в таблице данным имеем

J ^ ( x - x ) 2 = 2]*2-Ц^=49°-

_ = 490 — 39,51 = 450,49;

2] (* - х) to- 5= 2j'ху ~swisв)

У ^ ( х - х Г - ^ ( у - у ^

V 450,49-2996

Графы х' -+- у ' и ^ (•*' + У')2 служат для проверки правиль­

ности вычислений. Должно выполняться равенство

Измерение связи между переменными обычно начинают с вы­ числения коэффициента корреляции, так как даже в случае криво­ линейной зависимости он характеризует степень приближения кор­ реляционной зависимости к функциональной зависимости и Дает ориентировочное представление о тесноте корреляционной зави­ симости.

Используя коэффициент корреляции, кроме того, легко рас­

95

Выполним расчет для нашей задачи. Необходимо для этого иметь следующие основные показатели:

Для расчета Ь0 надо подставить в уравнение (114) натуральные значения х и г/, а именно

Итак, зависимость имеет вид

r/j. = 59,5 — 1,63х.

Заметим, что углы я|э и а равноправны в отношении того, что

принять за функцию и что за аргумент. Поэтому одинаково пра­ вомерно рассчитать вторую линию регрессии х по у, т. е.

Ху== boxy хуУ

с тем же коэффициентом корреляции.

Величина коэффициента корреляции связана с угловыми коэффициентами двух линий регрессии так:

Гух == ^ b l y x ^ l x y *

96